Error relativo mínimo de mediciones indirectas. Teoría del error. Directrices para determinar errores en las mediciones en un taller de laboratorio de física.

En la mayoría de los casos, durante un experimento, se miden varias cantidades con varios instrumentos y, para obtener el resultado final, estas mediciones deben procesarse mediante operaciones matemáticas: suma, multiplicación, etc. Por lo tanto, es necesario evaluar la precisión del experimento en su conjunto calculando los errores cuadráticos medio y marginal del experimento.

Reglas para calcular el error experimental relativo máximo:

1. El error de la suma está entre el mayor y el menor de los errores relativos de los términos. Por lo general, se tiene en cuenta el error más grande o la media aritmética (en el trabajo de laboratorio usaremos la media aritmética).

2. El error de un producto o cociente es igual a la suma de los errores relativos de los factores o del dividendo y divisor, respectivamente.

3. Error norte grado de base en norte veces el error relativo de la base.

Para calcular el error cuadrático medio del resultado de mediciones indirectas, es necesario garantizar la independencia de los resultados de las mediciones. En este caso, la raíz del error cuadrático medio al calcular el valor W., que es una función de los parámetros medidos directamente X, y, z, ... está determinado por la fórmula:

¿Dónde están las derivadas parciales de la función calculadas en los valores promedio de los parámetros? X, y, z, …, - varianzas corregidas, respectivamente X, y, z, ….

Ejemplo. Determinación del error de medidas indirectas.

Como resultado de mediciones repetidas, se obtuvieron los valores promedio y los errores cuadráticos medios de 3 parámetros mutuamente independientes:

a) error de medición relativo máximo y error relativo máximo en la determinación de la función

b) valor medio y raíz del error cuadrático medio de la determinación de la función

a) Encuentre los errores de medición relativos máximos. X, y, z según la fórmula (13):

Error relativo máximo en la determinación de la función.

Encontremos, según las reglas para calcular el error relativo máximo del experimento:

b) Calcular el valor medio de la función.

Para calcular el error cuadrático medio al determinar la función usando la fórmula (14), encontramos las derivadas parciales:

y calcularlos en valores medios X, y, z:

Sustituyendo en la fórmula (14), obtenemos:

4. Cálculo de características de un modelo de regresión lineal.

Uno de los métodos eficaces para establecer relaciones entre factores es el análisis de correlación-regresión.

La tarea del método de correlación-regresión es encontrar una ecuación empírica que caracterice la relación entre el parámetro resultante Y con un cierto factor de entrada X.

Como forma de comunicación Y Y X La dependencia lineal se usa ampliamente debido a su simplicidad en los cálculos, así como al hecho de que muchos otros tipos de dependencia se pueden reducir a ella.

El cálculo de un modelo de regresión lineal incluye los siguientes pasos:

1. Cálculo de la ecuación teórica de regresión lineal;

2. Evaluar la fuerza de la conexión, calculando el coeficiente de correlación;

3. Evaluación de la importancia del coeficiente de correlación;

4. Evaluar la importancia de los coeficientes de las ecuaciones de regresión;

5. Determinar la adecuación de la ecuación de regresión y los límites de confianza.

Regresión lineal Y en X tiene la forma:

donde α y β son parámetros de regresión (β se denomina coeficiente de regresión).

Las estimaciones estadísticas de los parámetros de regresión α y β se seleccionan de modo que los valores calculados por la fórmula sean lo más cercanos posible a los valores empíricos. Se elige la suma de las desviaciones al cuadrado como medida de proximidad. El método para encontrar parámetros minimizando la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores empíricos de los valores teóricos en los mismos puntos se denomina método de mínimos cuadrados.

Los valores óptimos de los parámetros obtenidos según este método están determinados por las fórmulas:

donde y son los valores promedio X Y Y, que se calculan mediante las fórmulas:

Teniendo en cuenta (15), escribimos la recta de regresión empírica en la forma:

La fuerza de la dependencia de la correlación lineal. Y Y X caracteriza el coeficiente de correlación r. Coeficiente r varía de a 1. Cuanto más cerca esté de , más fuerte será la relación lineal Y Y X, en el caso límite, si , existe una dependencia funcional lineal exacta Y de X. Si entonces Y Y X no correlacionar. Estimando el coeficiente de correlación r sirve como coeficiente de correlación muestral, que se calcula mediante la fórmula:

El coeficiente de correlación determinado a partir de datos de muestra puede no coincidir con el valor real correspondiente a la población general. Para probar la hipótesis estadística sobre la importancia del coeficiente de correlación muestral, utilice t-Prueba t de Student, cuyo valor observado se calcula mediante la fórmula:

Valor crítico t-Los criterios para el número de grados de libertad y el nivel de significancia α se encuentran a partir de tablas de puntos críticos de la distribución de Student. Si , entonces la suposición sobre el valor cero del coeficiente de correlación no se confirma y el coeficiente de correlación muestral es significativo. Si, entonces el valor r cerca de cero.

Para estimar los parámetros incluidos en la ecuación de regresión (16), al resolver problemas prácticos, podemos limitarnos a construir intervalos de confianza. Para una confiabilidad dada γ, los intervalos de confianza para los parámetros y β están determinados por las fórmulas:

¿Dónde está el valor crítico? t-criterio para el número de grados de libertad y nivel de significancia, que se obtiene de las tablas de puntos críticos de la distribución de Student, - la raíz cuadrada de la varianza residual, que se obtiene mediante la fórmula:

Después de obtener una ecuación de regresión empírica, verifique qué tan bien coincide con los resultados observacionales. Para probar la hipótesis sobre la importancia de la ecuación de regresión, utilice F-Criterio de Fisher, cuyo valor observado se calcula mediante la fórmula:

¿Dónde está la varianza corregida? Y, que se calcula mediante la fórmula:

Valor crítico F-Los criterios para el número de grados de libertad y el nivel de significancia α se obtienen de tablas de puntos críticos de la distribución de Fisher-Snedecor. Si , entonces la hipótesis sobre la insignificancia de la ecuación de regresión no se confirma y la ecuación corresponde a los resultados observacionales. Si , entonces la ecuación resultante es insignificante.

Otra característica de la medida de qué tan bien una ecuación empírica describe un sistema de observación dado es el coeficiente de determinación. d, que se calcula mediante la fórmula:

Cuanto más se acerque el coeficiente d a uno, mejor será la descripción.

Una vez construido el modelo, se utiliza para análisis y pronósticos. El pronóstico se realiza sustituyendo el factor en la ecuación (17). La estimación puntual resultante es:

El intervalo de confianza para el valor predicho es:

¿Dónde está el valor crítico? t-criterio para el número de grados de libertad y nivel de significancia, que se obtiene de las tablas de puntos críticos de la distribución de Student.

Ejemplo. Construyendo un modelo de regresión lineal

Con base en datos de observación, determine los parámetros de la ecuación de regresión lineal. Y en X. Encuentre coeficientes de regresión y correlación y pruebe la hipótesis sobre la importancia del coeficiente de correlación muestral. Encuentre intervalos de confianza para los parámetros de la ecuación de regresión. Determine el coeficiente de determinación. Pruebe la hipótesis sobre la importancia de la ecuación de regresión resultante. Encuentre el valor predicho por el modelo. y en x=x 0 y encuentre un intervalo de confianza para él. Tome el nivel de significancia igual a 0,05.

X
Y	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

Para obtener los parámetros de la ecuación de regresión, creemos una tabla. Tabla 2


0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7	0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
9,6			1,66	83,8		0,0479

La última fila de la tabla muestra las sumas de las columnas utilizadas en los cálculos.

Encontremos los valores promedio. X Y Y según la fórmula (16):

Calculemos el coeficiente de regresión usando la fórmula (15):

Y obtenemos una ecuación de regresión empírica sustituyendo en (17):

Usando la fórmula (28), calculamos los valores teóricos y completamos las dos últimas columnas de la Tabla 2.

Calculemos el coeficiente de correlación usando la fórmula (18):

Y probemos la hipótesis sobre su importancia. Encontramos el valor observado del criterio usando la fórmula (19):

Usando la tabla de puntos críticos de la distribución de Student encontramos el punto crítico de la distribución de Student con el número de grados de libertad y el nivel de significancia, obtenemos y comparamos y : por lo tanto, el coeficiente de correlación es significativo, y Y Y X están conectados por una correlación lineal.

Para determinar los intervalos de confianza de los parámetros de la ecuación de regresión lineal (28), encontramos la varianza residual usando la fórmula (22):

Sustituyendo en la fórmula (20), obtenemos un intervalo de confianza para. Al calcular, obtenemos una estimación del intervalo para con confiabilidad.

Obtenemos el intervalo de confianza al usar la fórmula (21):

Entonces, la estimación de intervalo para el parámetro con confiabilidad

Comprobemos la hipótesis sobre la importancia de la ecuación de regresión resultante. Para calcular el valor observado. F-criterios encontraremos la varianza corregida Y usando la fórmula (24): Sustituyendo en la fórmula (23), obtenemos: Usando la tabla de puntos críticos de la distribución de Fisher-Snedecor para el número de grados de libertad y en el nivel de significancia, encontramos Comparando los valores observados y críticos F-criterios, obtenemos por tanto que la ecuación es significativa.

Para evaluar la adecuación del modelo lineal a los valores observados, encontramos también el coeficiente de determinación mediante la fórmula (25):

Este resultado se interpreta de la siguiente manera: 97,1% de variabilidad Y explicado por un cambio en el factor X, y el resto de factores aleatorios representan el 2,9% de la variabilidad. Sin embargo, esta conclusión es válida sólo para el rango de valores considerado. X.

Usamos la ecuación (28) para el pronóstico. Con una estimación puntual para y lo obtenemos sustituyendo en la fórmula (28): El intervalo de confianza lo obtenemos de la fórmula (27):

Finalmente, estimación de intervalos con confiabilidad.

Sean conocidas dos cantidades físicas medidas independientemente y con errores y respectivamente. Entonces son válidas las siguientes reglas:

1. El error absoluto de la suma (diferencia) es la suma de los errores absolutos. Es decir, si

Una estimación más razonable (teniendo en cuenta que los valores son independientes y es poco probable que sus valores verdaderos estén simultáneamente en los extremos de los rangos) se obtiene mediante la fórmula:

En todas las Olimpiadas escolares se permite el uso de cualquiera de estas dos fórmulas. Fórmulas similares son válidas para el caso de varios (más de dos) términos.

Ejemplo:

deja que el valor ,

2. El error relativo del producto (cociente) es la suma de los errores relativos.

Es decir, si

Como en el caso anterior, la fórmula sería más razonable

Fórmulas similares son válidas para el caso de varios (más de dos) factores.

Por lo tanto, como resultado de sumar dos cantidades, primero se calcula el error absoluto de la cantidad y luego se puede calcular el error relativo.

Ejemplo:

deja que el valor ,

3. Regla de exponenciación. Si entonces.

Ejemplo:

4. Regla de multiplicación por una constante. Si .

Ejemplo:

5. Las funciones de cantidades más complejas se descomponen en cálculos más simples, cuyos errores se pueden calcular utilizando las fórmulas presentadas anteriormente.

Ejemplo:

Dejar

6. Si la fórmula de cálculo es compleja y no se puede reducir al caso descrito anteriormente, entonces los escolares familiarizados con el concepto de derivada parcial pueden encontrar el error de medición indirecta de la siguiente manera: sea , entonces

o una estimación más simple:

Ejemplo:

Dejar

7. Los escolares que no estén familiarizados con las derivadas pueden utilizar el método de la frontera, que consiste en lo siguiente: sepamos que para cada cantidad existe un rango en el que se encuentra su verdadero valor. Calculemos el valor mínimo y máximo posible de un valor en el área donde se especifican valores:

Para el error absoluto de un valor, tomamos la media diferencia de los valores máximo y mínimo:

Ejemplo:

Dejar

Reglas de redondeo

Al procesar resultados de medición, a menudo es necesario redondear. En este caso, es necesario asegurarse de que el error que surge durante el redondeo sea al menos un orden de magnitud menor que otros errores. Sin embargo, dejar demasiadas cifras significativas también es incorrecto, ya que supone perder un tiempo valioso. En la mayoría de los casos, basta con redondear el error a dos cifras significativas y el resultado en el mismo orden que el error. Al escribir la respuesta final, se acostumbra dejar solo una cifra significativa en el error, excepto en el caso en que esta cifra sea una, entonces es necesario dejar dos cifras significativas en el error. Además, a menudo el orden de un número se elimina de los corchetes, de modo que el primer dígito significativo del número permanece en el orden de las unidades o de las décimas.

Por ejemplo, supongamos que se midió el módulo de Young del acero y del aluminio y se obtuvieron los siguientes valores (antes de redondear):

, , , .

La respuesta final escrita correctamente se verá así:

Graficando

En muchos problemas propuestos en las Olimpíadas de física para escolares, es necesario eliminar la dependencia de una cantidad física de otra y luego analizar esta dependencia (comparar la dependencia experimental con la teórica, determinar los parámetros desconocidos de la dependencia teórica). Un gráfico es la forma más cómoda y visual de presentar datos y analizarlos más a fondo. Por lo tanto, los criterios de puntuación para la mayoría de los problemas experimentales incluyen puntos por representar gráficamente, incluso si la representación gráfica no es un requisito explícito en la condición. Por lo tanto, si, al resolver un problema, duda de si se necesita un gráfico para esta tarea o no, opte por un gráfico.

Reglas para construir una gráfica.

1. La gráfica se dibuja en papel cuadriculado. Si no se proporcionó papel cuadriculado inmediatamente en la ronda experimental de la Olimpiada, deberá solicitarlo a los organizadores.

2. El gráfico debe estar firmado en la parte superior para que siempre se pueda establecer qué participante construyó este gráfico. El trabajo debe indicar que se ha construido un gráfico apropiado en caso de que el gráfico se pierda durante la revisión.

3. La orientación del papel cuadriculado puede ser horizontal o vertical.

4. La gráfica debe tener ejes de coordenadas. El eje vertical está en el lado izquierdo del gráfico y el eje horizontal está en la parte inferior.

5. El eje vertical debe corresponder a los valores de la función y el eje horizontal a los valores de los argumentos.

6. Los ejes del gráfico se dibujan con una sangría de 1 a 2 cm desde el borde del papel cuadriculado.

7. Se debe etiquetar cada eje, es decir, se debe indicar la cantidad física trazada a lo largo de este eje y (separada por una coma) la unidad de su medida. Las entradas del formato " ", " " y " " son equivalentes, pero las dos primeras opciones son preferibles. El eje horizontal está firmado a la izquierda en el extremo superior y el eje vertical está firmado abajo en el extremo derecho.

8. Los ejes no tienen por qué cruzarse en el punto (0,0).

9. La escala del gráfico y la posición del origen en los ejes de coordenadas se seleccionan de modo que los puntos trazados se ubiquen, si es posible, en toda el área de la hoja. En este caso, es posible que los ceros de los ejes de coordenadas no aparezcan en absoluto en el gráfico.

10. Las líneas dibujadas en papel cuadriculado a lo largo de un centímetro deben caer sobre los valores redondos. Es conveniente trabajar con un gráfico si 1 cm en papel cuadriculado corresponde a 1, 2, 4, 5 * 10 n unidades de medida a lo largo de un eje determinado. Es necesario firmar algunas divisiones en el eje. Las divisiones firmadas deben estar a la misma distancia entre sí. Debe haber al menos 4 divisiones etiquetadas en el eje y no más de 10.

11. Los puntos deben trazarse en el gráfico de manera que sean clara y claramente visibles. Para demostrar que el valor trazado en el gráfico tiene un error, se dibujan segmentos de cada punto hacia arriba y hacia abajo, hacia la derecha y hacia la izquierda. La longitud de los segmentos horizontales corresponde al error del valor trazado a lo largo del eje horizontal, la longitud de los segmentos verticales corresponde al error del valor trazado a lo largo del eje vertical. Así, se designan las áreas de definición del punto experimental, denominadas cruces de error. Es necesario trazar cruces de error en el gráfico, excepto en los siguientes casos: en el planteamiento del problema, se da una instrucción directa para no evaluar errores; el error es inferior a 1 mm en la escala del eje correspondiente. En este último caso, es necesario indicar que el error en los valores es demasiado pequeño para trazarlo a lo largo de este eje. En tales casos, se considera que el tamaño del punto corresponde al error de medición.

12. Esfuércese por garantizar que su horario sea conveniente, comprensible y ordenado. Constrúyelo con un lápiz para que puedas corregir errores. No etiquete el valor correspondiente al lado del punto; esto saturará el gráfico. Si se muestran varias relaciones en el mismo gráfico, utilice diferentes símbolos o colores para los puntos. Para determinar qué tipo de puntos experimentales corresponde a qué dependencia, utilice la leyenda del gráfico. Se permiten cruces en el gráfico (si el borrador falló o no había un buen lápiz a mano), pero deben hacerse con cuidado. No debes usar un corrector de trazos, se ve feo.

Nota: Todas las reglas anteriores se aplican únicamente por razones de conveniencia al trabajar con el cronograma. Sin embargo, al comprobar los trabajos en las Olimpíadas, el jurado utiliza estas reglas como criterio formal: la escala está mal elegida: menos medio punto. Por lo tanto, estas reglas deben observarse estrictamente en la Olimpiada.

Ejemplo:

A la derecha hay un gráfico construido no según los criterios, sino a la izquierda, construido según las reglas anteriores.

Errores en las mediciones de cantidades físicas.

1.Introducción (medición y error de medición)

2.Errores aleatorios y sistemáticos

3.Errores absolutos y relativos

4. Errores de los instrumentos de medida.

5. Clase de precisión de los instrumentos de medida eléctricos.

6.Error de lectura

7.Error absoluto total de mediciones directas.

8.Registrar el resultado final de la medición directa.

9. Errores de mediciones indirectas.

10.Ejemplo

1. Introducción (medición y error de medición)

La física como ciencia nació hace más de 300 años, cuando Galileo creó esencialmente el estudio científico de los fenómenos físicos: las leyes físicas se establecen y prueban experimentalmente mediante la acumulación y comparación de datos experimentales, representados por un conjunto de números, las leyes se formulan en el lenguaje. de las matemáticas, es decir utilizando fórmulas que conectan valores numéricos de cantidades físicas por dependencia funcional. Por tanto, la física es una ciencia experimental, la física es una ciencia cuantitativa.

Conozcamos algunos rasgos característicos de cualquier medida.

Medir es encontrar el valor numérico de una cantidad física de forma experimental utilizando instrumentos de medición (regla, voltímetro, reloj, etc.).

Las mediciones pueden ser directas o indirectas.

La medición directa consiste en encontrar el valor numérico de una cantidad física directamente mediante medición. Por ejemplo, longitud - con una regla, presión atmosférica - con un barómetro.

La medición indirecta consiste en encontrar el valor numérico de una cantidad física utilizando una fórmula que conecta la cantidad deseada con otras cantidades determinadas mediante mediciones directas. Por ejemplo, la resistencia de un conductor está determinada por la fórmula R=U/I, donde U e I se miden con instrumentos de medición eléctricos.

Veamos un ejemplo de medición.

Mida la longitud de la barra con una regla (el valor de división es 1 mm). Sólo podemos decir que la longitud de la barra está entre 22 y 23 mm. El ancho del intervalo "desconocido" es de 1 mm, es decir, igual al precio de división. Reemplazar la regla por un dispositivo más sensible, como un calibre, reducirá este intervalo, lo que conducirá a una mayor precisión de la medición. En nuestro ejemplo, la precisión de la medición no supera 1 mm.

Por lo tanto, las mediciones nunca pueden realizarse con absoluta precisión. El resultado de cualquier medición es aproximado. La incertidumbre en la medición se caracteriza por el error: la desviación del valor medido de una cantidad física de su valor real.

Enumeremos algunas de las razones que conducen a errores.

1. Precisión de fabricación limitada de los instrumentos de medición.

2. Influencia en la medida de las condiciones externas (cambios de temperatura, fluctuaciones de tensión...).

3. Acciones del experimentador (retraso en la puesta en marcha del cronómetro, diferentes posiciones de los ojos...).

4. La naturaleza aproximada de las leyes utilizadas para encontrar cantidades medidas.

Las causas de errores enumeradas no se pueden eliminar, aunque sí se pueden minimizar. Para establecer la confiabilidad de las conclusiones obtenidas como resultado de una investigación científica, existen métodos para evaluar estos errores.

2. Errores aleatorios y sistemáticos

Los errores que surgen durante las mediciones se dividen en sistemáticos y aleatorios.

Los errores sistemáticos son errores correspondientes a la desviación del valor medido del valor real de una cantidad física, siempre en una dirección (aumento o disminución). Con mediciones repetidas, el error sigue siendo el mismo.

Razones de los errores sistemáticos:

1) incumplimiento de la norma por parte de los instrumentos de medición;

2) instalación incorrecta de instrumentos de medición (inclinación, desequilibrio);

3) discrepancia entre los indicadores iniciales de los instrumentos y cero e ignorando las correcciones que surjan al respecto;

4) discrepancia entre el objeto medido y las suposiciones sobre sus propiedades (presencia de huecos, etc.).

Los errores aleatorios son errores que cambian su valor numérico de forma impredecible. Estos errores se deben a una gran cantidad de razones incontrolables que afectan el proceso de medición (irregularidades en la superficie del objeto, viento, sobretensiones, etc.). La influencia de los errores aleatorios se puede reducir repitiendo el experimento muchas veces.

3. Errores absolutos y relativos

Para cuantificar la calidad de las mediciones se introducen los conceptos de errores de medición absolutos y relativos.

Como ya se mencionó, cualquier medición proporciona solo un valor aproximado de una cantidad física, pero se puede especificar un intervalo que contenga su valor real:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Valor D A se llama error absoluto al medir la cantidad A. El error absoluto se expresa en unidades de la cantidad que se mide. El error absoluto es igual al módulo de la desviación máxima posible del valor de una cantidad física del valor medido. Y pr es el valor de una cantidad física obtenido experimentalmente; si la medición se realizó repetidamente, entonces la media aritmética de estas mediciones.

Pero para evaluar la calidad de la medición es necesario determinar el error relativo. mi. e = D A/A pr o e= (D A/A pr)*100%.

Si durante una medición se obtiene un error relativo superior al 10%, entonces se dice que sólo se ha realizado una estimación del valor medido. En los laboratorios de los talleres de física se recomienda realizar mediciones con un error relativo de hasta el 10%. En los laboratorios científicos, algunas mediciones precisas (por ejemplo, la determinación de la longitud de onda de la luz) se realizan con una precisión de millonésimas de porcentaje.

4. Errores de los instrumentos de medida.

Estos errores también se denominan instrumentales o instrumentales. Están determinados por el diseño del dispositivo de medición, la precisión de su fabricación y calibración. Por lo general, se contentan con los errores instrumentales permitidos, informados por el fabricante en el pasaporte de este dispositivo. Estos errores permitidos están regulados por GOST. Esto también se aplica a las normas. Generalmente se denota el error instrumental absoluto. D y A.

Si no hay información sobre el error permitido (por ejemplo, con una regla), entonces se puede tomar como error la mitad del valor de la división.

Al pesar, el error instrumental absoluto está formado por los errores instrumentales de las básculas y pesas. La tabla muestra los errores permitidos más comunes.

Instrumentos de medición encontrados en experimentos escolares.

Medición	Límite de medición	Valor de división	error permitido
gobernante estudiantil
gobernante de demostración
cinta métrica
cubilete
pesas 10,20, 50 mg
pesa 100.200 mg
pesa 500 mg







calibrador
micrómetro
dinamómetro
escalas de entrenamiento
Cronógrafo			1 segundo en 30 minutos
barómetro aneroide	720-780 mmHg.	1mmHg	3mmHg
termómetro de laboratorio	0-100 grados C
amperímetro escolar
voltímetro escolar

5. Clase de precisión de los instrumentos de medida eléctricos.

Los instrumentos de medición eléctricos de puntero, según los valores de error permitidos, se dividen en clases de precisión, que se indican en las escalas del instrumento con los números 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Clase de precisión g pr El dispositivo muestra qué porcentaje es el error absoluto de toda la escala del dispositivo.

g pr = (D y A/A máx.)*100%.

Por ejemplo, el error instrumental absoluto de un dispositivo de clase 2,5 es del 2,5% de su escala.

Si se conoce la clase de precisión del dispositivo y su escala, entonces se puede determinar el error absoluto de medición instrumental.

D y A = (g pr * A máx)/100.

Para aumentar la precisión de las mediciones con un instrumento de medición eléctrico de puntero, es necesario seleccionar un dispositivo con una escala tal que durante el proceso de medición se ubique en la segunda mitad de la escala del instrumento.

6. Error de lectura

El error de lectura se debe a lecturas insuficientemente precisas de los instrumentos de medición.

En la mayoría de los casos, el error de lectura absoluto se considera igual a la mitad del valor de la división. Se hacen excepciones al medir con un reloj (las manecillas se mueven entrecortadamente).

El error absoluto de lectura suele denotarse D oA

7. Error absoluto total de mediciones directas.

Al realizar mediciones directas de la cantidad física A, se deben evaluar los siguientes errores: D y A, D oA y D сА (aleatorio). Por supuesto, deben excluirse otras fuentes de errores asociados con la instalación incorrecta de los instrumentos, la desalineación de la posición inicial de la flecha del instrumento con 0, etc.

El error absoluto total de la medición directa debe incluir los tres tipos de errores.

Si el error aleatorio es pequeño en comparación con el valor más pequeño que puede medirse con un instrumento de medición determinado (en comparación con el valor de división), entonces puede despreciarse y entonces una medición es suficiente para determinar el valor de una cantidad física. De lo contrario, la teoría de la probabilidad recomienda encontrar el resultado de la medición como la media aritmética de los resultados de toda la serie de mediciones múltiples y calcular el error del resultado utilizando el método de estadística matemática. El conocimiento de estos métodos va más allá del plan de estudios escolar.

8. Registro del resultado final de la medición directa.

El resultado final de medir la cantidad física A debe escribirse de esta forma;

A=A pr + D A, e= (D A/A pr)*100%.

Y pr es el valor de una cantidad física obtenido experimentalmente; si la medición se realizó repetidamente, entonces la media aritmética de estas mediciones. D A es el error absoluto total de la medición directa.

El error absoluto suele expresarse en una cifra significativa.

Ejemplo: L=(7,9 + 0,1) milímetros, e=13%.

9. Errores de mediciones indirectas.

Al procesar los resultados de mediciones indirectas de una cantidad física que está funcionalmente relacionada con las cantidades físicas A, B y C, que se miden directamente, primero se determina el error relativo de la medición indirecta. mi=D X/X pr, utilizando las fórmulas dadas en la tabla (sin evidencia).

El error absoluto está determinado por la fórmula. D X=X pr *e,

donde e expresado como una fracción decimal en lugar de un porcentaje.

El resultado final se registra de la misma forma que en el caso de mediciones directas.

Tipo de función	Fórmula
X=A+B+C
X=A-B
X=ABC
X=Un
X=A/B

Ejemplo: Calculemos el error al medir el coeficiente de fricción con un dinamómetro. El experimento consiste en tirar un bloque uniformemente sobre una superficie horizontal y medir la fuerza aplicada: es igual a la fuerza de fricción por deslizamiento.

Usando un dinamómetro, pese el bloque con pesas: 1,8 N. F tr = 0,6 N

μ = 0,33 El error instrumental del dinamómetro (lo encontramos en la tabla) es Δ y = 0,05 N, Error de lectura (la mitad del valor de la división)

Δ o =0,05 N. El error absoluto al medir el peso y la fuerza de fricción es 0,1 N.

Error de medición relativo (quinta línea de la tabla)

, por lo tanto el error absoluto de la medición indirecta μ es 0,22*0,33=0,074

En la práctica de laboratorio, la mayoría de las mediciones son indirectas y la cantidad que nos interesa es función de una o más cantidades medidas directamente:

norte= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Como se desprende de la teoría de la probabilidad, el valor promedio de una cantidad se determina sustituyendo los valores promedio de cantidades medidas directamente en la fórmula (13), es decir,

¯ norte= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) (14)

Se requiere encontrar los errores absolutos y relativos de esta función si se conocen los errores de las variables independientes.

Consideremos dos casos extremos en los que los errores son sistemáticos o aleatorios. No existe consenso respecto al cálculo del error sistemático en mediciones indirectas. Sin embargo, si partimos de la definición de error sistemático como el máximo error posible, entonces es aconsejable encontrar error sistematico según fórmulas

(15) o

Dónde

funciones derivadas parciales norte= ƒ(x, y, z, ...) con respecto al argumento x, y, z..., encontrado bajo el supuesto de que todos los demás argumentos, excepto aquel respecto del cual se encuentra la derivada, son constantes ;
δx, δy, δz errores sistemáticos de argumentos.

Es conveniente utilizar la fórmula (15) si la función tiene la forma de una suma o diferencia de argumentos. Es recomendable utilizar la expresión (16) si la función tiene la forma de producto o cociente de argumentos.

Encontrar error al azar Para mediciones indirectas, debes usar las fórmulas:

(17) o

donde Δx, Δy, Δz, ... intervalos de confianza para probabilidades de confianza dadas (fiabilidades) para los argumentos x, y, z, ... . Hay que tener en cuenta que los intervalos de confianza Δx, Δy, Δz, ... deben tomarse con la misma probabilidad de confianza P 1 = P 2 = ... = P n = P.

En este caso, la confiabilidad para el intervalo de confianza Δ norte también será P.

La fórmula (17) es conveniente de usar si la función norte= ƒ(x, y, z, ...) tiene la forma de suma o diferencia de argumentos. La fórmula (18) es conveniente de usar si la función norte= ƒ(x, y, z, ...) tiene la forma de producto o cociente de argumentos.

A menudo se observa que el error sistemático y el error aleatorio están próximos entre sí y ambos determinan por igual la precisión del resultado. En este caso, el error total ∑ se encuentra como la suma cuadrática de los errores aleatorios Δ y sistemáticos δ con una probabilidad no menor que P, donde P es la probabilidad de confianza del error aleatorio:

Al realizar mediciones indirectas en condiciones irreproducibles la función se encuentra para cada medición individual y se calcula el intervalo de confianza para obtener los valores de la cantidad deseada utilizando el mismo método que para las mediciones directas.

Cabe señalar que en el caso de una dependencia funcional expresada mediante una fórmula conveniente para la logaritmización, es más fácil determinar primero el error relativo y luego a partir de la expresión Δ norte = ε ¯ norte Encuentre el error absoluto.

Antes de comenzar las mediciones, siempre debe pensar en los cálculos posteriores y anotar las fórmulas mediante las cuales se calcularán los errores. Estas fórmulas le permitirán comprender qué mediciones deben realizarse con especial cuidado y cuáles no requieren mucho esfuerzo.

Al procesar los resultados de mediciones indirectas, se propone el siguiente orden de operaciones:

Procese todas las cantidades encontradas mediante mediciones directas de acuerdo con las reglas para procesar los resultados de mediciones directas. En este caso, establezca el mismo valor de confiabilidad P para todas las cantidades medidas.
Evalúe la precisión del resultado de las mediciones indirectas utilizando las fórmulas (15) (16), donde calcula las derivadas para valores promedio de cantidades.
Si el error de las mediciones individuales entra varias veces en el resultado de la diferenciación, entonces es necesario agrupar todos los términos que contienen el mismo diferencial y las expresiones entre paréntesis que preceden al diferencial. tomar módulo; firmar d reemplácelo con Δ (o δ).
Si los errores aleatorios y sistemáticos tienen una magnitud similar entre sí, entonces súmelos de acuerdo con la regla de suma de errores. Si uno de los errores es tres o más veces menor que el otro, descarte el más pequeño.
Escriba el resultado de la medición en la forma:
norte= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) ± Δƒ.
Determinar el error relativo del resultado de una serie de mediciones indirectas.
ε = Δƒ · 100%.
¯¯ ƒ¯

Demos ejemplos de cálculo del error de medición indirecta.

Ejemplo 1. El volumen del cilindro se encuentra usando la fórmula.

V = π re 2 h ,
4

donde d diámetro del cilindro, h altura del cilindro.

Ambas cantidades se determinan directamente. Deje que la medición de estas cantidades dé los siguientes resultados:

d = (4,01 ± 0,03) milímetros,
h = (8,65 ± 0,02) milímetros, con igual confiabilidad P = 0,95.
El valor medio del volumen, según (14), es igual a
V = 3,14 · (4,01) 2 · 8,65 = 109,19 milímetros
4

Usando la expresión (18) tenemos:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

;

Dado que las mediciones se realizaron con un micrómetro, cuyo valor de división es 0,01 milímetros, errores sistemáticos
δd = δh = 0,01 mm. Con base en (16), el error sistemático δV será

El error sistemático resulta comparable al aleatorio, por lo tanto

Al procesar los resultados de mediciones indirectas de una cantidad física que está funcionalmente relacionada con las cantidades físicas A, B y C, que se miden directamente, primero determine el error relativo de la medición indirecta e = DХ/Х inc, utilizando las fórmulas dadas en la mesa (sin evidencia).

El error absoluto está determinado por la fórmula DX = X pr * e,

donde e se expresa como decimal en lugar de como porcentaje.

El resultado final se registra de la misma forma que en el caso de mediciones directas.

Tipo de función	Fórmula
X=A+B+C
X=A-B
X=ABC
X=Un
X=A/B
x=

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm útil) Cómo tomar medidas correctamente http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

Usando un dinamómetro, pesamos el bloque con pesas: 1,8 N. F tr = 0,6 N

µ=0,33. El error instrumental del dinamómetro (lo encontramos en la tabla) es Δ y = 0,05 N, error de lectura (la mitad del valor de la división)

Δ o = 0,05 N. El error absoluto al medir el peso y la fuerza de fricción es 0,1 N.

Error de medición relativo (quinta línea de la tabla)

Por tanto, el error absoluto de la medición indirecta μ es 0,22*0,33=0,074

Respuesta:

Medir una cantidad física significa compararla con otra cantidad homogénea tomada como unidad de medida. La medición se puede realizar mediante:

1. medidas, que son ejemplos de unidad de medida (metro, peso, recipiente de litro, etc.),

2. instrumentos de medida (amperímetro, manómetro, etc.),

3. Instalaciones de medida, entendiéndose como conjunto de medidas, instrumentos de medida y elementos auxiliares.

Las mediciones pueden ser directas o indirectas. En mediciones directas una cantidad física se mide directamente. Las mediciones directas son, por ejemplo, la longitud con una regla, el tiempo con un cronómetro y la corriente con un amperímetro.

En mediciones indirectas Miden directamente no la cantidad cuyo valor es necesario averiguar, sino otras cantidades con las que la cantidad deseada está relacionada mediante una determinada relación matemática. Por ejemplo, la densidad de un cuerpo se determina midiendo su masa y volumen, y la resistencia se determina midiendo su corriente y voltaje.

Debido a la imperfección de las medidas y los instrumentos de medición, así como de nuestros sentidos, las mediciones no se pueden realizar con precisión, es decir. Cada medición da sólo un resultado aproximado. Además, a menudo la razón de la desviación de los resultados de la medición es la naturaleza de la propia cantidad medida. Por ejemplo, la temperatura medida por un termómetro o termopar en un determinado punto de un horno fluctúa debido a la convección y la conducción dentro de ciertos límites. Una medida para evaluar la precisión de un resultado de medición es error de medición (error de medición).

Para evaluar la precisión, se indica el error absoluto o el error de medición relativo. Error absoluto expresado en unidades de la cantidad medida. Por ejemplo, la distancia recorrida por un cuerpo se mide con un error absoluto. El error de medición relativo es la relación entre el error absoluto y el valor de la cantidad medida. En el ejemplo dado, el error relativo es . Cuanto menor sea el error de medición, mayor será su precisión.

Según las fuentes de su origen, los errores de medición se dividen en sistemáticos, aleatorios y graves (errores).

1. Errores sistemáticos- errores de medición, cuyo valor permanece constante durante mediciones repetidas realizadas por el mismo método y utilizando los mismos instrumentos de medición. Las causas de los errores sistemáticos son:

· mal funcionamiento, imprecisiones de los instrumentos de medición

· ilegalidad, inexactitud de la técnica de medición utilizada

Un ejemplo de errores sistemáticos sería medir la temperatura con un termómetro con el punto cero desplazado, medir la corriente con un amperímetro mal calibrado o pesar un cuerpo en una báscula utilizando pesas sin tener en cuenta la fuerza de flotación de Arquímedes.

Para eliminar o reducir errores sistemáticos, es necesario verificar cuidadosamente los instrumentos de medición, medir los mismos valores usando diferentes métodos e introducir correcciones cuando se conocen errores (correcciones por fuerza de flotabilidad, correcciones por lecturas de termómetros).

2. Errores graves (fallos)- un exceso significativo del error esperado en las condiciones de medición dadas. Los errores aparecen como resultado de un registro incorrecto de las lecturas del instrumento, lecturas incorrectas en el instrumento o debido a errores en los cálculos durante mediciones indirectas. La fuente de los errores es la falta de atención del experimentador. La forma de eliminar estos errores es la precisión del experimentador, evitando la reescritura de protocolos de medición.

3. Errores aleatorios- errores cuya magnitud cambia aleatoriamente durante mediciones repetidas de la misma cantidad utilizando el mismo método y los mismos instrumentos. La fuente de errores aleatorios es la irreproducibilidad incontrolada de las condiciones de medición. Por ejemplo, durante una medición, la temperatura, la humedad, la presión atmosférica, el voltaje en la red eléctrica y el estado de los órganos sensoriales del experimentador pueden cambiar de manera incontrolada. No se pueden excluir errores aleatorios. Con mediciones repetidas, los errores aleatorios obedecen a leyes estadísticas y se puede tener en cuenta su influencia.