ほとんどの場合、実験中に複数の計測器で複数の量が測定され、最終結果を得るには、これらの測定値を加算や乗算などの数学的演算を使用して処理する必要があります。 したがって、実験の周辺誤差や平均二乗誤差を計算して、実験全体の精度を評価する必要があります。

最大相対実験誤差を計算するためのルール:

1. 合計の誤差は、項の相対誤差の最大値と最小値の間にあります。 通常、最大誤差または算術平均値のいずれかが考慮されます (実験室での作業では算術平均値を使用します)。

2. 積または商の誤差は、それぞれ因数または被除数と除数の相対誤差の合計に等しくなります。

3. エラー n基底度 nベースの相対誤差の倍。

間接測定結果の二乗平均平方根誤差を計算するには、測定結果の独立性を確保する必要があります。 この場合、値を計算する際の二乗平均平方根誤差は W、これは直接測定されたパラメータの関数です バツ, y, z, ... は次の式で決定されます。

ここで、パラメータの平均値で計算された関数の偏導関数は次のとおりです。 バツ, y, z、…、 - それぞれ修正された分散 バツ, y, z, ….

例。 間接測定の誤差の決定

繰り返し測定した結果、3 つの相互に独立したパラメータの平均値と二乗平均平方根誤差が得られました。

a) 最大相対測定誤差と関数を決定する際の最大相対誤差

b) 関数決定の平均値と二乗平均平方根誤差

a) 最大相対測定誤差を求める バツ, y, z式(13)によると:

関数を決定する際の最大相対誤差

実験の最大相対誤差を計算するためのルールに従って、次のことを見つけてみましょう。

b) 関数の平均値を計算します。

式 (14) を使用して関数を決定する際の二乗平均平方根誤差を計算するには、偏導関数を求めます。

平均値で計算します バツ, y, z:

式 (14) に代入すると、次のようになります。

4. 線形回帰モデル特性の計算

要因間の関係を確立するための効果的な方法の 1 つは、相関回帰分析です。

相関回帰法のタスクは、結果として得られるパラメータ間の関係を特徴付ける経験式を見つけることです。 Y特定の入力要素を使用して バツ.

コミュニケーションの一形態として Yそして バツ線形依存は、計算が簡単であること、また他の多くの種類の依存を線形依存に帰着させることができるため、広く使用されています。

線形回帰モデルの計算には次の手順が含まれます。

1. 理論的な線形回帰式の計算。

2. つながりの強さを評価し、相関係数を計算します。

3. 相関係数の重要性の評価;

4. 回帰式係数の重要性を評価する。

5. 回帰式と信頼限界の妥当性を判断します。

線形回帰 Yの上 バツの形式は次のとおりです。

ここで、α と β は回帰パラメータです (β は回帰係数と呼ばれます)。

回帰パラメータ α および β の統計的推定値は、式によって計算された値が経験値にできるだけ近づくように選択されます。 偏差の二乗和が近さの尺度として選択されます。 同じ点における理論値からの経験値の偏差の二乗和を最小にしてパラメータを求める方法を最小二乗法といいます。

この方法に従って取得される最適なパラメーター値は、次の式で決定されます。

ここで、 と は平均値です バツそして Y、次の式を使用して計算されます。

(15) を考慮して、経験的回帰直線を次の形式で書きます。

線形相関依存性の強さ Yそして バツ相関係数を特徴付ける r。 係数 rは から 1 まで変化します。 に近づくほど、線形関係が強くなります。 Yそして バツ、限定的なケースでは、 の場合、正確な線形関数依存性が存在します。 Yから バツ。 の場合は、 Yそして バツ相関関係はありません。 相関係数を推定すると rはサンプル相関係数として機能し、次の式で計算されます。

サンプルデータから求められた相関係数は、一般母集団に対応する実際の値と一致しない場合があります。 サンプル相関係数の有意性に関する統計的仮説を検定するには、次を使用します。 t- スチューデントの t 検定。観測値は次の式を使用して計算されます。

クリティカル値 t- 自由度の数と有意水準 α の基準は、スチューデント分布の臨界点の表から求められます。 の場合、相関係数のゼロ値に関する仮定は確認されず、サンプルの相関係数は有意です。 の場合、値は rゼロに近い。

実際の問題を解決する場合、回帰式 (16) に含まれるパラメータを推定するには、信頼区間の構築に限定できます。 特定の信頼性 γ に対して、パラメーターの信頼区間と β は次の式で決定されます。

クリティカル値はどこにありますか t- 自由度の数と有意水準の基準。スチューデント分布の臨界点の表から求められます。 - 残差分散の平方根。次の式で求められます。

経験的に回帰式を取得したら、それが観測結果とどの程度一致するかを確認します。 回帰式の重要性に関する仮説をテストするには、次を使用します。 F-フィッシャー基準。その観測値は次の式を使用して計算されます。

修正された分散はどこにありますか Y、次の式で計算されます。

クリティカル値 F- 自由度の数と有意水準 α の基準は、Fisher-Snedecor 分布の臨界点の表から求められます。 の場合、回帰式の有意性に関する仮説は確認されず、式は観測結果と一致します。 の場合、結果として得られる方程式は重要ではありません。

経験式が特定の観測システムをどの程度うまく記述しているかを示す尺度のもう 1 つの特徴は、決定係数です。 d、次の式で計算されます。

係数が近いほど d 1 つにするほど、説明が良くなります。

モデルが構築されると、それは分析と予測に使用されます。 予測は式 (17) に係数を代入することで実行されます。 結果の点推定は次のようになります。

予測値の信頼区間は次のとおりです。

クリティカル値はどこにありますか t- 自由度の数と有意水準の基準。スチューデント分布の臨界点の表から見つかります。

例。線形回帰モデルの構築

観測データに基づいて、線形回帰式のパラメータを決定します Yの上 バツ。 回帰係数と相関係数を見つけて、サンプルの相関係数の有意性に関する仮説を検証します。 回帰式のパラメーターの信頼区間を見つけます。 決定係数を決定します。 結果として得られる回帰式の重要性に関する仮説をテストします。 モデルによって予測された値を見つける yで x=x 0 を設定し、その信頼区間を見つけます。 有意水準を 0.05 とします。

バツ
Y	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

回帰式のパラメータを取得するために、テーブルを作成しましょう。 表2

	0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7		0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
	9,6				1,66	83,8		0,0479

表の最後の行には、計算に使用された列の合計が表示されます。

平均値を求めてみましょう バツそして Y式(16)によると:

式 (15) を使用して回帰係数を計算してみましょう。

そして、(17) に代入して経験的な回帰式を取得します。

式 (28) を使用して理論値を計算し、表 2 の最後の 2 列を記入します。

式 (18) を使用して相関係数を計算してみましょう。

そして、その重要性についての仮説を検証してみましょう。 式 (19) を使用して、基準の観測値を求めます。

スチューデント分布の臨界点の表を使用して、自由度の数と有意水準を使用してスチューデント分布の臨界点を求め、比較します。したがって、相関係数は有意です。 Yそして バツは線形相関で結ばれています。

線形回帰式 (28) のパラメーターの信頼区間を決定するには、式 (22) を使用して残差分散を求めます。

式 (20) に代入して、 の信頼区間を計算すると、信頼性のある の区間推定値が得られます。

式 (21) を使用して信頼区間を取得します。

したがって、信頼性のあるパラメータの間隔推定値は

結果として得られる回帰式の重要性に関する仮説を確認してみましょう。 観測値を計算するには F-基準 修正された分散を見つけます Y式 (24) を使用します。 式 (23) に代入すると、次の結果が得られます。 自由度および有意水準のフィッシャー・スネデコール分布の臨界点の表を使用すると、次のことがわかります。 観測値と臨界値を比較します。 Fしたがって、方程式が有意であることがわかります。

観測値に対する線形モデルの適切性を評価するために、式 (25) を使用して決定係数も求めます。

この結果は次のように解釈されます: 97.1% の変動性 Y因子の変化で説明される バツ、残りのランダム要因は変動の 2.9% を占めます。 ただし、この結論は、考慮された値の範囲に対してのみ有効です。 バツ.

予測には式 (28) を使用します。 のポイント推定値を使用すると、 y式 (28) に代入することで次の値が得られます。 式 (27) から得られる信頼区間は次のとおりです。

最後に、信頼性のある間隔推定

誤差を伴う 2 つの独立して測定された物理量 および がそれぞれ既知であるとします。 この場合、次のルールが有効になります。

1. 和（差）の絶対誤差は絶対誤差の和です。 つまり、もし

より合理的な推定値 (値は独立しており、真の値が同時に範囲の端にある可能性は低いことを考慮に入れて) は、次の式を使用して取得されます。

すべての学校オリンピックでは、これら 2 つの公式のいずれかの使用が許可されています。 同様の式は、複数の (2 つ以上の) 項の場合にも有効です。

例：

値を設定しましょう ,

.

2. 積の相対誤差 (商) は、相対誤差の合計です。

つまり、もし

前のケースと同様に、式はより合理的です

同様の公式は、複数 (2 つ以上) の要因の場合にも有効です。

したがって、2 つの量を加算した結果、最初に量の絶対誤差が計算され、その後、相対誤差が計算されます。

例：

値を設定しましょう ,

3. 累乗のルール。 もしそうなら。

例：

4. 定数の掛け算のルール。 もし 。

例：

5. より複雑な量関数はより単純な計算に分解され、その誤差は上に示した式を使用して計算できます。

例：

させて

6. 計算式が複雑で、上記のケースに当てはめることができない場合、偏導関数の概念に慣れている小学生は、次のように間接測定の誤差を見つけることができます。

または、より単純な見積もり:

例：

させて

7. 導関数に慣れていない学童は、次のことから構成される境界法を使用できます。各量には、その真の値が存在する範囲があることを知らせます。 値が指定されている領域の値の最小値と最大値を計算してみましょう。

値の絶対誤差の場合、最大値と最小値の半分の差を計算します。

例：

させて

丸めルール

測定結果を処理する場合、多くの場合、四捨五入が必要になります。 この場合、丸め中に発生する誤差が他の誤差よりも少なくとも 1 桁小さいことを確認する必要があります。 ただし、貴重な時間を無駄にすることになるため、有効数字を残しすぎるのも誤りです。 ほとんどの場合、誤差を有効数字 2 桁に丸め、結果を誤差と同じ桁にするだけで十分です。 最終的な解答を書くとき、誤差には有効数字を 1 つだけ残すのが通例ですが、この数字が 1 つの場合は例外で、その場合は誤差に有効数字を 2 つ残す必要があります。 また、多くの場合、数値の順序は括弧内に取り出され、数値の最初の有効桁が単位の順序または 10 の位のいずれかのままになります。

たとえば、鋼とアルミニウムのヤング率を測定し、次の値が得られたとします (四捨五入前)。

, , , .

正しく書かれた最終的な答えは次のようになります。

グラフ化

学童向けの物理オリンピックで提案される多くの問題では、ある物理量の別の物理量への依存性を除去し、この依存性を分析する必要があります（実験的な依存性と理論的な依存性を比較し、理論的な依存性の未知のパラメーターを決定します）。 グラフは、データを表示してさらに分析するための最も便利で視覚的な方法です。 したがって、条件でグラフ作成が明示的に要求されていない場合でも、ほとんどの実験問題の採点基準にはグラフ作成のポイントが含まれます。 したがって、問題を解決するときに、このタスクにグラフが必要かどうか疑問がある場合は、グラフを選択することをお勧めします。

グラフ作成のルール

1. グラフは方眼紙に描かれます。 オリンピックの実験ラウンドで方眼紙がすぐに提供されなかった場合は、主催者に問い合わせる必要があります。

2. どの参加者がこのグラフを作成したかを常に確認できるように、グラフの上部に署名する必要があります。 作業では、レビュー中にグラフが失われた場合に備えて、適切なグラフが構築されていることを示す必要があります。

3. 方眼紙の向きは横向きでも縦向きでも構いません。

4. グラフには座標軸が必要です。 グラフの左側が縦軸、下が横軸です。

5. 縦軸は関数の値、横軸は引数の値に対応します。

6. グラフの軸は方眼紙の端から 1 ～ 2 cm の窪みで描きます。

7. 各軸にはラベルを付ける必要があります。つまり、この軸に沿ってプロットされた物理量と、その測定単位 (カンマで区切って) を示す必要があります。 " "、" "、および " " 形式のエントリは同等ですが、最初の 2 つのオプションが推奨されます。 横軸は上端の左側に符号が付けられ、縦軸は右端の下端に符号が付けられる。

8. 軸は点 (0,0) で交差する必要はありません。

9. グラフのスケールと座標軸上の原点の位置は、可能であればプロットされた点がシートの領域全体に配置されるように選択されます。 この場合、座標軸のゼロがグラフ上にまったく表示されない可能性があります。

10. 方眼紙に 1 センチメートルにわたって描かれた線が四捨五入値に当たる必要があります。 グラフ用紙上の 1 cm が、指定された軸に沿った測定単位の 1、2、4、5 * 10 n に対応する場合、グラフを操作するのに便利です。 軸上の一部の区画には署名が必要です。 署名された区画は互いに等距離になければなりません。 軸上にはラベル付きの区画が 4 つ以上、10 つ以下存在する必要があります。

11. 点は、はっきりとはっきりと見えるようにグラフ上にプロットする必要があります。 グラフにプロットされた値に誤差があることを示すために、各点から上下左右に線分を描きます。 水平セグメントの長さは、水平軸に沿ってプロットされた値の誤差に対応し、垂直セグメントの長さは、垂直軸に沿ってプロットされた値の誤差に対応します。 したがって、エラークロスと呼ばれる実験点の定義領域が指定されます。 誤差十字は、次の場合を除き、グラフ上にプロットする必要があります: 問題文で誤差を評価しないように直接指示されている場合、誤差が対応する軸のスケール上で 1 mm 未満である場合。 後者の場合、値の誤差が小さすぎてこの軸に沿ってプロットできないことを示す必要があります。 このような場合、点の大きさが測定誤差に相当すると考えられます。

12. スケジュールが便利で、わかりやすく、きちんとしているように努めてください。 間違いを修正できるように鉛筆で作成します。 ポイントの隣に対応する値にラベルを付けないでください。これにより、グラフが乱雑になります。 同じグラフに複数の関係が表示されている場合は、ポイントに異なる記号または色を使用します。 どのタイプの実験点がどの依存関係に対応するかを判断するには、プロットの凡例を使用します。 グラフ上でクロススルーを使用することはできますが (消しゴムが失敗した場合、または適切な鉛筆が手元になかった場合)、慎重に行う必要があります。 ストローク修正ツールは使用しないでください。見た目が醜いのです。

注記：上記のルールはすべて、スケジュールを操作する際の便宜上の理由のみで発生します。 しかし、オリンピックで作品をチェックするとき、陪審はこれらの規則を正式な基準として使用します。つまり、尺度の選択が適切でなく、マイナス 0.5 ポイントです。 したがって、オリンピックではこれらのルールが厳密に遵守される必要があります。

例：

右側は基準に従わずに作成されたグラフですが、左側は上記のルールに従って作成されたグラフです。

物理量の測定誤差

1.はじめに（測定と測定誤差）

2.ランダムエラーと系統的エラー

3.絶対誤差と相対誤差

4. 測定器の誤差

5. 電気測定器の精度等級

6.読み取りエラー

7.直接測定の合計絶対誤差

8.直接測定の最終結果を記録する

9. 間接測定の誤差

10.例

1. はじめに（測定と測定誤差）

科学としての物理学は、ガリレオが基本的に物理現象の科学的研究を創設した 300 年以上前に誕生しました。物理法則は、一連の数値で表される実験データを蓄積および比較することによって確立され、実験的にテストされます。法則は言語で定式化されます。数学の、つまり 物理量の数値を関数依存関係で結び付ける式を使用します。 したがって、物理学は実験科学であり、物理学は定量科学です。

測定のいくつかの特徴を理解しましょう。

測定とは、測定器（定規、電圧計、時計など）を使って物理量の数値を実験的に求めることです。

測定は直接的または間接的です。

直接測定とは、測定によって物理量の数値を直接決定することです。 たとえば、長さは定規を使用し、気圧は気圧計を使用します。

間接測定は、目的の量を直接測定によって決定された他の量と結び付ける公式を使用して物理量の数値を求めることです。 たとえば、導体の抵抗は式 R=U/I で求められます。ここで、U と I は電気測定器で測定されます。

測定例を見てみましょう。

バーの長さを定規で測定します（目盛りは 1 mm）。 バーの長さは22〜23mmの間であるとしか言えません。 「不明」の幅は分割価格と同じ1mmです。 定規をノギスなどのより感度の高い装置に置き換えると、この間隔が短くなり、測定精度の向上につながります。 この例では、測定精度は 1mm を超えません。

したがって、測定を完全に正確に行うことはできません。 いかなる測定結果も近似値です。 測定における不確実性は、誤差、つまり物理量の測定値の真の値からの偏差によって特徴付けられます。

エラーが発生する理由をいくつか挙げてみましょう。

1. 測定器の製造精度には限界があります。

2. 外部条件（温度変化、電圧変動など）の測定への影響。

3. 実験者のアクション (ストップウォッチの開始の遅れ、目の位置の違いなど)。

4. 測定量を見つけるために使用される法則のおおよその性質。

リストされたエラーの原因は、最小限に抑えることはできても、取り除くことはできません。 科学的研究の結果として得られた結論の信頼性を確立するために、これらの誤りを評価する方法があります。

2. ランダムエラーと系統的エラー

測定中に発生する誤差は、系統的な誤差とランダムな誤差に分けられます。

系統誤差は、物理量の真の値からの測定値の偏差に対応する誤差であり、常に一方向 (増加または減少) にあります。 測定を繰り返しても、誤差は同じままです。

系統的エラーの理由:

1) 測定器が規格に準拠していない。

2) 測定器の設置ミス（傾き、アンバランス）。

3) 機器の初期指標とゼロとの間の不一致、およびこれに関連して生じる修正の無視。

4) 測定された物体とその特性 (空隙の存在など) に関する仮定との間の矛盾。

ランダム エラーは、数値が予測不可能な方法で変化するエラーです。 このような誤差は、測定プロセスに影響を与える多くの制御不能な理由 (物体の表面の不規則性、風の吹き込み、電力サージなど) によって引き起こされます。 実験を何度も繰り返すことでランダム誤差の影響を軽減できます。

3. 絶対誤差と相対誤差

測定の品質を定量化するために、絶対測定誤差と相対測定誤差の概念が導入されます。

すでに述べたように、測定では物理量の近似値しか得られませんが、その真の値を含む間隔を指定できます。

A pr - D A< А ист < А пр + D А

値D A は、量 A の測定における絶対誤差と呼ばれます。絶対誤差は、測定量の単位で表されます。 絶対誤差は、測定値からの物理量の値の最大可能偏差の係数に等しい。 pr は実験的に得られた物理量の値であり、測定が繰り返し実行された場合は、これらの測定値の算術平均です。

ただし、測定の品質を評価するには、相対誤差を決定する必要があります。 e. e = D A/A pr または e= (D A/A pr)*100%。

測定中に 10% を超える相対誤差が得られた場合、測定値の推定が行われただけであると彼らは言います。 物理学ワークショップの実験室では、最大 10% の相対誤差を許容して測定を実行することが推奨されます。 科学実験室では、一部の精密な測定 (光の波長の決定など) が 100 万分の 1 パーセントの精度で実行されます。

4. 測定器の誤差

これらのエラーは、機器または機器とも呼ばれます。 それらは、測定装置の設計、製造および校正の精度によって決まります。 通常、このデバイスのパスポートでメーカーが報告した許容機器誤差に満足しています。 これらの許容誤差は GOST によって規制されています。 これは規格にも当てはまります。 通常、絶対器差は次のように表されます。 D と A.

許容誤差に関する情報がない場合 (定規など)、除算値の半分をこの誤差としてみなすことができます。

計量する場合、絶対器差は秤と分銅の器差から構成されます。 この表は、最も一般的に許容されるエラーを示しています

学校の実験で出てくる測定器。

測定する	測定限界	除算の値	許容誤差
学生定規
デモンストレーション定規
巻き尺
ビーカー
重量 10、20、50 mg
重量 100,200 mg
重量500mg
キャリパー
マイクロメーター
ダイナモメーター
トレーニングスケール
ストップウォッチ			30分に1秒
アネロイド気圧計	720-780 mmHg。	1mmHg	3mmHg
実験室用温度計	0～100℃
学校の電流計
学校の電圧計

5. 電気測定器の精度等級

ポインタ電気測定器は、許容誤差値に基づいて精度クラスに分類されており、機器のスケールには 0.1、0.1、0.1 の数字が表示されます。 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0。 精度等級 g pr デバイスは、絶対誤差がデバイス全体のスケールから何パーセントであるかを示します。

g pr = (D および A/A 最大)*100% 。

たとえば、クラス 2.5 デバイスの絶対器差は、そのスケールの 2.5% です。

デバイスの精度クラスとそのスケールがわかっている場合、絶対的な機器測定誤差を決定できます。

D および A = (g pr * A max)/100。

ポインタ電気測定器による測定の精度を高めるには、測定プロセス中に機器のスケールの後半に位置するようなスケールを備えたデバイスを選択する必要があります。

6. 読み取りエラー

読み取りエラーは、測定器の読み取り精度が不十分なために発生します。

ほとんどの場合、絶対読み取り誤差は除算値の半分に等しいとみなされます。 時計で測定する場合は例外です（針がぎくしゃく動きます）。

読み取りの絶対誤差は通常、次のように表されます。ドア

7. 直接測定の合計絶対誤差

物理量 A の直接測定を実行する場合、次の誤差を評価する必要があります。 DとA、DとAとD сА (ランダム)。 もちろん、機器の不適切な設置、機器の矢印の初期位置と 0 の位置のずれなどに関連する他のエラーの原因は除外される必要があります。

直接測定の絶対誤差の合計には、3 種類の誤差がすべて含まれている必要があります。

ランダム誤差が、特定の測定器で測定できる最小値と比較して (除算値と比較して) 小さい場合は無視でき、物理量の値を決定するには 1 回の測定で十分です。 それ以外の場合、確率理論では、一連の複数の測定結果全体の算術平均値として測定結果を求め、数理統計の方法を使用して結果の誤差を計算することを推奨しています。 これらの方法に関する知識は学校のカリキュラムを超えています。

8. 直接測定の最終結果を記録する

物理量 A の最終的な測定結果は、次の形式で記述されます。

A=A pr + D A、e = (D A/A pr)*100%。

pr は実験的に得られた物理量の値であり、測定が繰り返し実行された場合は、これらの測定値の算術平均です。 D A は、直接測定の絶対誤差の合計です。

絶対誤差は通常、有効数字 1 桁で表されます。

例: L=(7.9 + 0.1)mm、 e=13%。

9. 間接測定の誤差

直接測定された物理量 A、B、C と関数的に関連する物理量の間接測定結果を処理する場合、まず間接測定の相対誤差が求められます。 e=D X/X pr、表に示されている式を使用します (証拠なし)。

絶対誤差は次の式で求められます。 D X=X pr *e、

ここで、e パーセンテージではなく小数で表されます。

最終結果は、直接測定の場合と同じ方法で記録されます。

機能の種類	式
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=An
X=A/B

例： ダイナモメーターを使って摩擦係数を測定したときの誤差を計算してみましょう。 実験では、水平面上でブロックを均等に引っ張り、加えられた力を測定します。これは滑り摩擦力に等しいです。

ダイナモメーターを使用して、ブロックの重量を測定します: 1.8 N。 F tr =0.6N

μ = 0.33、ダイナモメーターの器差 (表から求めます) は Δ、 = 0.05 N、読み取り誤差 (除算値の半分)

Δ o =0.05 N。重量と摩擦力の測定における絶対誤差は 0.1 N です。

相対測定誤差（表5行目）

したがって、間接測定μの絶対誤差は 0.22*0.33=0.074 となります。

実験室での実践では、ほとんどの測定は間接的なものであり、私たちが関心のある量は、1 つまたは複数の直接測定された量の関数です。

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

確率論からわかるように、量の平均値は、直接測定された量の平均値を式 (13) に代入することによって決定されます。

¯ N= ƒ (￣ x, ￣ y, ￣ z, ...) (14)

独立変数の誤差がわかっている場合は、この関数の絶対誤差と相対誤差を見つける必要があります。

エラーが系統的またはランダムである 2 つの極端なケースを考えてみましょう。 間接測定における系統誤差の計算については統一見解がありません。 ただし、系統的誤差の定義を考えられる最大誤差として進める場合は、次のようにすることをお勧めします。 系統的誤差式によると

(15) または

どこ

偏導関数 N= 引数 x、y、z... に関する ƒ(x, y, z, ...)。導関数が求められる引数を除く他のすべての引数が定数であるという仮定の下で求められます。 ;
δx、δy、δz 引数の系統誤差。

式 (15) は、関数が引数の和または差の形をしている場合に使用すると便利です。 関数が引数の積または商の形式を持つ場合は、式 (16) を使用することをお勧めします。

見つけるには ランダムエラー間接的な測定の場合は、次の式を使用する必要があります。

(17) または

ここで、Δx、Δy、Δz、... は、引数 x、y、z、... に対する特定の信頼確率 (信頼性) における信頼区間です。 信頼区間 Δx、Δy、Δz、... は同じ信頼確率 P 1 = P 2 = ... = P n = P で取得する必要があることに留意する必要があります。

この場合、信頼区間 Δ の信頼度は NもPになります。

式 (17) は、次の関数を使用する場合に便利です。 N= ƒ(x, y, z, ...) は、引数の合計または差の形式をとります。 式 (18) は、次の関数を使用する場合に便利です。 N= ƒ(x, y, z, ...) は、引数の積または商の形式をとります。

系統誤差とランダム誤差は互いに近いことがよく観察され、どちらも結果の精度を同等に決定します。 この場合、合計誤差 ∑ は、確率 P 以上のランダム Δ エラーと系統的 δ エラーの二次和として求められます。ここで、ランダム エラーの信頼確率は P です。

間接測定を行う場合 再現不可能な条件下で関数は個々の測定ごとに見つかり、直接測定の場合と同じ方法を使用して信頼区間が計算され、目的の量の値が得られます。

対数化に便利な式で表される関数依存性の場合、最初に相対誤差を決定し、次に式 Δ から決定する方が簡単であることに注意してください。 N = ε ¯ N絶対誤差を求めます。

測定を開始する前に、常に後続の計算について考え、誤差を計算する式を書き留める必要があります。 これらの公式を使用すると、どの測定を特に慎重に行う必要があり、どの測定にそれほど労力を必要としないかを理解できます。

間接測定の結果を処理する場合、次の操作順序が提案されます。

1. 直接測定の結果を処理するためのルールに従って、直接測定によって見つかったすべての量を処理します。 この場合、すべての測定量に対して同じ信頼値 P を設定します。
2. 数量の平均値の導関数を計算する式 (15) (16) を使用して、間接測定の結果の精度を評価します。
   微分結果に個々の測定の誤差が数回混入する場合は、同じ微分を含むすべての項と、微分の前にある括弧内の式をグループ化する必要があります。 モジュロを取る; サイン dΔ（またはδ）に置き換えてください。
3. ランダム誤差と系統誤差の大きさが互いに近い場合は、誤差加算ルールに従ってそれらを加算します。 一方のエラーが他方のエラーより 3 倍以上小さい場合は、小さい方を破棄します。
4. 測定結果を次の形式で記述します。

   N= ƒ (￣ x, ￣ y, ￣ z, ...) ± Δf。

5. 一連の間接測定結果の相対誤差を決定します。

   ε = Δf · 100%。
   ¯¯ ƒ¯

   間接測定の誤差の計算例を示します。

   例1.シリンダーの体積は次の公式を使用して求められます。

   V = π d 2 h 、
   

   4

   ここで、d シリンダー直径、h シリンダー高さ。

   これらの量は両方とも直接決定されます。 これらの量を測定すると次の結果が得られます。

   d = (4.01 ± 0.03) んん,

   h = (8.65 ± 0.02) んん、同等の信頼性 P = 0.95。

   (14) によると、平均ボリューム値は次のようになります。

   V = 3.14 · (4.01) 2 · 8.65 = 109.19 んん
   

   4

   式 (18) を使用すると、次のようになります。

   ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

   ;

   マイクロメーターで測定したため、目盛りは0.01です。 んん、系統的誤差
   δd = δh = 0.01 んん。(16) に基づいて、系統誤差 δV は次のようになります。

   系統的誤差はランダム誤差に匹敵することが判明したため、

直接測定された物理量 A、B、および C に関数的に関連する物理量の間接測定の結果を処理する場合、まず、次の式を使用して、間接測定の相対誤差 e = DХ/Х inc を決定します。表（証拠なし）。

絶対誤差は、式 DX = X pr * e によって決定されます。

ここで、e はパーセンテージではなく小数として表されます。

最終結果は直接測定の場合と同じ方法で記録されます。

機能の種類	式
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=An
X=A/B
X=

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm 便利です）正しく測定する方法 http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

例： ダイナモメーターを使って摩擦係数を測定したときの誤差を計算してみましょう。 実験では、水平面上でブロックを均等に引っ張り、加えられた力を測定します。この力は滑り摩擦力に等しいです。

ダイナモメーターを使用して、ブロックの重量を測定します: 1.8 N. F tr = 0.6 N

μ＝０．３３。 ダイナモメーターの器差（表から求めます）はΔ、＝0.05N、読み取り誤差（除算値の半分）です。

Δ ０ ＝０．０５Ｎ。 重量と摩擦力の測定における絶対誤差は 0.1 N です。

相対測定誤差（表5行目）

したがって、間接測定μの絶対誤差は 0.22*0.33=0.074 となります。

答え：

物理量を測定するとは、それを測定単位とした別の同質の量と比較することを意味します。 測定は以下を使用して行うことができます。

1. 測定単位の例であるメジャー (メートル、重量、リットル容器など)、

2. 測定器（電流計、圧力計など）、

3. 測定設備。これは、一連の測定、測定機器、および補助要素として理解されます。

測定は直接的または間接的です。 直接測定の場合物理量を直接測定します。 直接測定とは、たとえば、定規で長さを測定したり、ストップウォッチで時間を測定したり、電流計で電流を測定したりすることです。

間接測定の場合これらは、値を知る必要がある量ではなく、特定の数学的関係によって目的の量が関連付けられている他の量を直接測定します。 たとえば、物体の密度はその質量と体積を測定することで求められ、抵抗はその電流と電圧を測定することによって求められます。

ものさしや測定器、そして私たちの感覚が不完全なため、正確に測定することができません。 すべての測定では、おおよその結果しか得られません。 さらに、測定結果の偏差の理由は、測定量自体の性質にあることがよくあります。 たとえば、炉内の特定の点で温度計または熱電対によって測定される温度は、特定の制限内で対流と伝導により変動します。 測定結果の精度を評価する尺度は次のとおりです。 測定誤差（測定誤差）.

精度を評価するには、絶対誤差または相対測定誤差が表示されます。 絶対誤差測定された量の単位で表されます。 たとえば、物体の移動距離は絶対誤差で測定されます。 相対測定誤差は、測定量の値に対する絶対誤差の比率です。 与えられた例では、相対誤差は です。 測定誤差が小さいほど、精度が高くなります。

発生源によると、測定誤差は系統的、ランダム、および重大な（ミス）に分類されます。

1. 系統的誤差- 測定誤差。同じ測定器を使用し、同じ方法で繰り返し測定を行ったときに値が一定のままです。 系統的エラーの原因は次のとおりです。

・測定器の故障、誤差

・使用された測定技術の違法性、不正確さ

系統的誤差の例としては、ゼロ点がずれた温度計で温度を測定すること、誤って校正された電流計で電流を測定すること、アルキメデスの浮力を考慮せずに分銅を使用して体重計で物体の重量を測定することなどが挙げられます。

系統誤差を排除または軽減するには、測定器を注意深くチェックし、同じ値を異なる方法で測定し、誤差がわかっている場合は補正を導入する（浮力の補正、温度計の測定値の補正）必要があります。

2. 重大なエラー (ミス)- 所定の測定条件下で予想される誤差を大幅に超える。 エラーは、機器の測定値の誤った記録、機器の誤った測定値、または間接測定中の計算エラーの結果として発生します。 エラーの原因は実験者の不注意です。 これらのエラーを排除する方法は、測定プロトコルの書き換えを避ける、実験者の正確さです。

3. ランダムエラー- 同じ機器を使用し、同じ方法で同じ量を繰り返し測定する際に、その大きさがランダムに変化する誤差。 ランダム誤差の原因は、測定条件の再現性が制御されていないことです。 たとえば、測定中に、温度、湿度、大気圧、電気ネットワークの電圧、実験者の感覚器官の状態が制御不能に変化する可能性があります。 ランダムなエラーを排除することはできません。 測定を繰り返すと、ランダム誤差は統計法則に従い、その影響を考慮に入れることができます。