Les ratios que nous avons considérés reflètent l'aspect quantitatif du processus d'atténuation des rayons X. Arrêtons-nous brièvement sur l'aspect qualitatif du processus, ou sur ces processus physiques qui provoquent un affaiblissement. Il s'agit d'abord de l'absorption, c'est-à-dire conversion de l'énergie des rayons X en d'autres types d'énergie et, d'autre part, diffusion, c'est-à-dire changement de direction de propagation du rayonnement sans changer la longueur d'onde (diffusion Thompson classique) et avec changement de longueur d'onde (diffusion quantique ou effet Compton).
1. Absorption photoélectrique. Les quanta de rayons X peuvent extraire des électrons des couches électroniques des atomes de matière. Ils sont généralement appelés photoélectrons. Si l’énergie des quanta incidents est faible, ils éliminent les électrons des couches externes de l’atome. Les photoélectrons reçoivent une grande énergie cinétique. Avec une augmentation de l'énergie, les quanta de rayons X commencent à interagir avec les électrons situés sur les coques les plus profondes de l'atome, dans lesquelles l'énergie de liaison avec le noyau est supérieure à celle des électrons des coques externes. Avec une telle interaction, presque toute l'énergie des photons X incidents est absorbée, et une partie de l'énergie cédée aux photoélectrons est moindre que dans le premier cas. En plus de l'apparition de photoélectrons, dans ce cas, des quanta de rayonnement caractéristique sont émis en raison de la transition des électrons de niveaux supérieurs vers des niveaux plus proches du noyau.
Ainsi, à la suite de l'absorption photoélectrique, un spectre caractéristique apparaît substance donnée est le rayonnement caractéristique secondaire. Si un électron est éjecté de la couche K, alors tout le spectre des raies apparaît, caractéristique de la substance irradiée.
Riz. 2.5. Distribution spectrale du coefficient d'absorption.
Considérons la variation du coefficient d'absorption massique t/r, due à l'absorption photoélectrique, en fonction de la longueur d'onde l du rayonnement X incident (Fig. 2.5). Les ruptures de courbe sont appelées sauts d'absorption, et la longueur d'onde qui leur correspond est appelée limite d'absorption. Chaque saut correspond à un certain niveau d'énergie de l'atome K, L, M, etc. À l gr, l'énergie d'un quantum de rayons X est suffisante pour faire sortir un électron de ce niveau, ce qui entraîne une forte augmentation de l'absorption des photons de rayons X d'une longueur d'onde donnée. Le saut de longueur d'onde le plus court correspond à la suppression d'un électron du niveau K, le second du niveau L, et ainsi de suite. La structure complexe des frontières L et M est due à la présence de plusieurs sous-niveaux dans ces coques. Pour les rayons X de longueurs d'onde légèrement supérieures à l gr, l'énergie des quanta est insuffisante pour extraire un électron de la coque correspondante, la substance est relativement transparente dans cette région spectrale.
La dépendance du coefficient d'absorption sur l et Z dans l'effet photoélectrique est défini comme :
t / r = Cl 3 Z 3 (2.11)
où C est le coefficient de proportionnalité, Z est le numéro de série de l'élément irradié, t/r est le coefficient d'absorption massique, l est la longueur d'onde du rayonnement X incident.
Cette dépendance décrit les sections de la courbe de la figure 2.5 entre les sauts d'absorption.
2. Diffusion classique (cohérente) explique la théorie ondulatoire de la diffusion. Cela se produit dans le cas où un quantum de rayons X interagit avec un électron d'un atome et que l'énergie du quantum est insuffisante pour faire sortir l'électron de ce niveau. Dans ce cas, selon la théorie classique de la diffusion, les rayons X provoquent des oscillations forcées des électrons liés des atomes. Les électrons oscillants, comme toutes les charges électriques oscillantes, deviennent une source d’ondes électromagnétiques qui se propagent dans toutes les directions.
L’interférence de ces ondes sphériques conduit à l’apparition d’un diagramme de diffraction, naturellement lié à la structure du cristal. Ainsi, c'est la diffusion cohérente qui permet d'obtenir des diagrammes de diffraction, à partir desquels on peut juger de la structure de l'objet diffusant. La diffusion classique se produit lorsque des rayons X mous dont la longueur d'onde est supérieure à 0,3 Å traversent un milieu. Le pouvoir de diffusion d’un atome est égal à :
, (2.12)
et un gramme d'une substance
où I 0 est l'intensité du faisceau de rayons X incident, N est le nombre d'Avogadro, A est le poids atomique, Z est le numéro de série de la substance.
De là, vous pouvez trouver le coefficient de masse de diffusion classique s cl /r, puisqu'il est égal à P / I 0 ou 
.
En substituant toutes les valeurs, on obtient 
.
Puisque la plupart des éléments Z/[email protected] (sauf pour l'hydrogène), alors
ceux. le coefficient de masse de diffusion classique est approximativement le même pour toutes les substances et ne dépend pas de la longueur d'onde des rayons X incidents.
3. Diffusion quantique (incohérente). Lorsqu'une substance interagit avec un rayonnement X dur (longueur d'onde inférieure à 0,3 Å), la diffusion quantique commence à jouer un rôle important lorsqu'un changement dans la longueur d'onde du rayonnement diffusé est observé. Ce phénomène ne peut pas être expliqué par la théorie des vagues, mais il l’est par la théorie quantique. Selon la théorie quantique, une telle interaction peut être considérée comme le résultat d'une collision élastique de quanta de rayons X avec des électrons libres (électrons des coques externes). Les quanta de rayons X cèdent une partie de leur énergie à ces électrons et les font passer à d’autres niveaux d’énergie. Les électrons qui ont reçu de l’énergie sont appelés électrons de recul. Les quanta de rayons X d'énergie hn 0 à la suite d'une telle collision s'écartent de la direction d'origine d'un angle y et auront une énergie hn 1 inférieure à l'énergie du quantum incident. La diminution de la fréquence du rayonnement diffusé est déterminée par la relation :
hn 1 \u003d hn 0 - E otd, (2.15)
où E rec est l'énergie cinétique de l'électron de recul.
La théorie et l'expérience montrent que le changement de fréquence ou de longueur d'onde lors de la diffusion quantique ne dépend pas du nombre ordinal de l'élément. Z, mais dépend de l'angle de diffusion y. Où
l y - l 0 = l = ×(1 - cos y) @ 0,024 (1 - confortable) , (2,16)
où l 0 et l y sont la longueur d'onde du quantum de rayons X avant et après diffusion,
m 0 est la masse d'un électron au repos, c est la vitesse de la lumière.
Les formules montrent qu'à mesure que l'angle de diffusion augmente, l augmente de 0 (à y = 0°) à 0,048 Å (à y = 180°). Pour les rayons mous d'une longueur d'onde d'environ 1 Å, cette valeur représente un petit pourcentage d'environ 4 à 5 %. Mais pour les faisceaux durs (l = 0,05-0,01 Å), un changement de longueur d'onde de 0,05 Å signifie un changement de l de moitié, voire plusieurs fois.
Du fait que la diffusion quantique est incohérente (l est différent, l'angle de propagation du quantum réfléchi est différent, il n'y a pas de stricte régularité dans la propagation des ondes diffusées par rapport au réseau cristallin), l'ordre dans l'agencement de les atomes n’affectent pas la nature de la diffusion quantique. Ces rayons X diffusés participent à la création du fond général de la radiographie. La dépendance de l'intensité de fond sur l'angle de diffusion peut être théoriquement calculée, ce qui n'a aucune application pratique dans l'analyse par diffraction des rayons X, car L'arrière-plan a plusieurs causes et sa valeur générale n'est pas facile à calculer.
Les processus d'absorption photoélectronique, de diffusion cohérente et incohérente que nous considérons déterminent principalement l'atténuation des rayons X. En plus d'eux, d'autres processus sont également possibles, par exemple la formation de paires électron-positon résultant de l'interaction des rayons X avec les noyaux atomiques. Sous l'influence de photoélectrons primaires à énergie cinétique élevée, ainsi que de fluorescences de rayons X primaires, secondaires, tertiaires, etc. rayonnement caractéristique et les photoélectrons correspondants, mais avec des énergies plus faibles. Enfin, une partie des photoélectrons (et une partie des électrons de recul) peuvent surmonter la barrière de potentiel à la surface de la substance et s'en échapper, c'est-à-dire il peut y avoir un effet photoélectrique externe.
Tous les phénomènes constatés ont cependant un effet bien moindre sur le coefficient d'atténuation des rayons X. Pour les rayons X dont les longueurs d'onde vont du dixième à l'angström, qui sont habituellement utilisés dans l'analyse structurelle, tous ces effets secondaires peuvent être négligés et on peut supposer que l'atténuation du faisceau de rayons X primaire se produit d'une part en raison de par diffusion et, d’autre part, par des processus d’absorption. Le coefficient d'atténuation peut alors être représenté comme la somme de deux coefficients :
m/r = s/r + t/r , (2.17)
où s/r est le coefficient de diffusion de masse, qui prend en compte les pertes d'énergie dues à la diffusion cohérente et incohérente ; t/r est le coefficient d'absorption massique, qui prend en compte principalement les pertes d'énergie dues à l'absorption photoélectrique et à l'excitation des rayons caractéristiques.
La contribution de l'absorption et de la diffusion à l'atténuation du faisceau de rayons X n'est pas équivalente. Pour les rayons X utilisés en analyse structurelle, la diffusion incohérente peut être négligée. Si nous prenons en compte le fait que la valeur de la diffusion cohérente est également faible et approximativement constante pour tous les éléments, alors nous pouvons supposer que
m/r » t/r , (2.18)
ceux. que l'atténuation du faisceau de rayons X est déterminée principalement par l'absorption. A cet égard, pour le coefficient d'atténuation massique, les lois considérées ci-dessus pour le coefficient d'absorption massique pour l'effet photoélectrique seront valables.
Sélection de rayonnement . La nature de la dépendance du coefficient d'absorption (atténuation) sur la longueur d'onde détermine dans une certaine mesure le choix du rayonnement dans les études structurelles. Une forte absorption dans le cristal réduit considérablement l’intensité des points de diffraction dans le diagramme de rayons X. De plus, la fluorescence qui se produit en cas de forte absorption illumine le film. Par conséquent, il n'est pas rentable de travailler à des longueurs d'onde légèrement inférieures à la limite d'absorption de la substance étudiée. Cela peut être facilement compris à partir du schéma de la Fig. 2.6.
1. Si une anode composée des mêmes atomes que la substance étudiée émet, alors nous obtiendrons que la limite d'absorption, par exemple
Figure 2.6. Modification de l'intensité des rayons X lors du passage à travers une substance.
Le bord K d'absorption du cristal (Fig. 2.6, courbe 1) sera légèrement décalé par rapport à son rayonnement caractéristique vers la région des longueurs d'onde courtes du spectre. Ce décalage est de l'ordre de 0,01 à 0,02 Å par rapport aux raies marginales du spectre des raies. Elle s'effectue toujours dans la position spectrale d'émission et d'absorption du même élément. Puisque le saut d'absorption correspond à l'énergie qu'il faut dépenser pour retirer un électron du niveau extérieur à l'atome, la ligne la plus dure de la série K correspond à la transition vers le niveau K à partir du niveau le plus éloigné de l'atome. Il est clair que l’énergie E nécessaire pour extraire l’électron de l’atome est toujours légèrement supérieure à celle libérée lorsque l’électron passe du niveau le plus éloigné au même niveau K. De la fig. 2.6 (courbe 1), il s'ensuit que si l'anode et le cristal étudié sont la même substance, alors le rayonnement caractéristique le plus intense, notamment les raies K a et K b , se situe dans la région de faible absorption du cristal par rapport à la limite d’absorption. Par conséquent, l’absorption d’un tel rayonnement par le cristal est faible et la fluorescence est faible.
2. Si l'on prend une anode dont le numéro atomique Z 1 de plus que le cristal étudié, alors le rayonnement de cette anode, selon la loi de Moseley, se déplacera quelque peu vers la région des ondes courtes et sera localisé par rapport à la limite d'absorption de la même substance étudiée, comme le montre la Fig. 2.6, courbe 2. Ici, la raie K b - est absorbée, ce qui entraîne l'apparition d'une fluorescence qui peut interférer avec la prise de vue.
3. Si la différence entre les numéros atomiques est de 2-3 unités Z, alors le spectre d'émission d'une telle anode se déplacera encore plus vers la région des ondes courtes (Fig. 2.6, courbe 3). Ce cas est d'autant plus défavorable que, d'une part, l'émission de rayons X est fortement affaiblie et, d'autre part, une forte fluorescence illumine le film lors de la prise de vue.
La plus adaptée est donc l'anode dont le rayonnement caractéristique se situe dans la zone de faible absorption par l'échantillon étudié.
Filtres. L’effet d’absorption sélective que nous envisageons est largement utilisé pour atténuer la partie courte du spectre. Pour ce faire, une feuille de plusieurs centièmes d’épaisseur est placée sur le trajet des rayons. mm. Le film est fabriqué à partir d'une substance dont le numéro de série est inférieur de 1 à 2 unités à celui Z anode. Dans ce cas, selon la Fig. 2.6 (courbe 2), le bord de la bande d'absorption de la feuille se situe entre les raies d'émission K a - et K b - et la raie K b -, ainsi que le spectre continu, seront être grandement affaibli. L'atténuation de K b par rapport au rayonnement K a est d'environ 600. Ainsi, nous avons filtré le rayonnement b du rayonnement a, dont l'intensité ne change presque pas. Le filtre peut être une feuille constituée d'un matériau dont le numéro de série est inférieur de 1 à 2 unités. Z anode. Par exemple, lorsque l'on travaille sur le rayonnement du molybdène ( Z= 42), le zirconium peut servir de filtre ( Z= 40) et niobium ( Z= 41). Dans la série Mn ( Z= 25), Fe( Z= 26), Co( Z= 27) chacun des éléments précédents peut servir de filtre pour le suivant.
Il est clair que le filtre doit être situé à l'extérieur de la chambre dans laquelle le cristal est prélevé, afin que le film ne soit pas exposé aux rayons de fluorescence.
Contrairement à de nombreuses spéculations répandues à cette époque sur la structure de l'atome, le modèle de Thomson était basé sur des faits physiques qui non seulement justifiaient le modèle, mais donnaient également certaines indications sur le nombre de corpuscules dans l'atome. Le premier de ces faits est la diffusion des rayons X ou, comme l'a dit Thomson, la production de rayons X secondaires. Thomson considère les rayons X comme des pulsations électromagnétiques. Lorsque de telles pulsations frappent des atomes contenant des électrons, alors les électrons, entrant en mouvement accéléré, rayonnent, comme décrit par la formule de Larmor. La quantité d'énergie émise par unité de temps par les électrons dans une unité de volume sera
où N est le nombre d'électrons (corpuscules) par unité de volume. En revanche, l'accélération d'un électron
où E p est l'intensité du champ du rayonnement primaire. Par conséquent, l’intensité du rayonnement diffusé
Puisque l'intensité du rayonnement incident selon le théorème de Poynting est égale à
alors le rapport de l'énergie dissipée à l'énergie primaire
Charles Glover-Barkla, qui reçut le prix Nobel en 1917 pour la découverte de rayons X caractéristiques, l'était en 1899-1902. en tant qu'"étudiant de recherche" (étudiant de troisième cycle) chez Thomson à Cambridge, et c'est ici qu'il s'est intéressé aux rayons X. En 1902, il était maître de conférences à l'University College de Liverpool et, en 1904, alors qu'il étudiait les rayons X secondaires, il découvrit leur polarisation, ce qui était en parfait accord avec les prédictions théoriques de Thomson. Lors de la dernière expérience de 1906, Barkla fit diffuser le faisceau primaire par des atomes de carbone. Le faisceau diffusé était incident perpendiculairement au faisceau primaire et était ici à nouveau diffusé par le carbone. Ce faisceau tertiaire était complètement polarisé.
En étudiant la diffusion des rayons X provenant des atomes légers, Barkla a découvert en 1904 que le caractère des rayons secondaires est le même que celui des rayons primaires. Pour le rapport de l'intensité du rayonnement secondaire au rayonnement primaire, il a trouvé une valeur indépendante du rayonnement primaire, proportionnelle à la densité de la substance :
De la formule de Thomson
Mais densité \u003d n A / L, où A est le poids atomique d'un atome, n est le nombre d'atomes dans 1cm3, L - Numéro d'Avogadro. Ainsi,
Si on met le nombre de corpuscules dans un atome égal à Z, alors N = nZ et
Si l'on substitue les valeurs e, m, L au côté droit de cette expression, alors on trouve K. En 1906, alors que les nombres e et m n'étaient pas exactement connus, Thomson découvrit à partir des mesures de Barkle pour l'air que Z=A, c'est-à-dire que le nombre de corpuscules dans un atome est égal au poids atomique. La valeur de K obtenue pour les atomes légers par Barkle en 1904 était K = 0,2. Mais en 1911, Barclay, utilisant les données améliorées de Bucherer pour e/m, les valeurs de e et L obtenues Rutherford Et Geiger, reçu K = 0,4, et donc Z=1/2. Comme il s’est avéré un peu plus tard, cette relation est valable dans la région des noyaux légers (à l’exception de l’hydrogène).
La théorie de Thomson a aidé à résoudre un certain nombre de problèmes, mais a laissé de nombreuses autres questions en suspens. Le coup décisif porté à ce modèle a été porté par les expériences de Rutherford en 1911, dont nous parlerons plus loin.
Un modèle d'anneau similaire pour l'atome a été proposé en 1903 par un physicien japonais. Nagaoka. Il a suggéré qu'il y avait une charge positive au centre de l'atome, autour de laquelle tournent des anneaux d'électrons comme les anneaux de Saturne. Il a réussi à calculer les périodes d'oscillations effectuées par des électrons avec de légers déplacements sur leurs orbites. Les fréquences ainsi obtenues décrivaient plus ou moins approximativement les raies spectrales de certains éléments*.
* (Il convient également de noter que le modèle planétaire de l’atome a été proposé en 1901. J. Perrin. Il a mentionné cette tentative dans la conférence Nobel donnée le 11 décembre 1926.)
Le 25 septembre 1905, V. Win fit un rapport sur les électrons lors du 77e Congrès des naturalistes et médecins allemands. Dans ce rapport, il dit entre autres choses ce qui suit : "C'est aussi une grande difficulté pour la théorie électronique d'expliquer les raies spectrales. Puisque chaque élément correspond à un certain groupement de raies spectrales qu'il émet lorsqu'il se trouve dans un état de luminescence, alors chaque atome doit représenter un système inchangé. Le plus simple serait de considérer l'atome comme un système planétaire, constitué d'un centre chargé positivement autour duquel tournent des électrons négatifs, comme les planètes. Mais un tel système ne peut pas être inchangé. en raison de l'énergie émise par les électrons. Nous sommes donc obligés de nous tourner vers un système dans lequel les électrons sont au repos relatif ou ont des vitesses négligeables - une représentation dans laquelle il y a beaucoup de doute.
Ces doutes se sont encore accrus à mesure que de nouvelles propriétés mystérieuses des rayonnements et des atomes étaient découvertes.
DIFFUSION DIFFUSE DES RAYONS X- diffusion des rayons X par une substance dans des directions pour lesquelles elle n'est pas effectuée État de Bragg-Wolfe.
Dans un cristal idéal, diffusion élastique des ondes par des atomes situés aux nœuds d'un périodique. le réseau, par conséquent, n’apparaît que lorsqu’il est déterminé. directions. vecteur Q, coïncidant avec les directions des vecteurs de réseau réciproques g: Q = k 2 -k 1, où k 1 et k 2 - vecteurs d'ondes des ondes incidentes et diffusées, respectivement. La distribution de l'intensité de diffusion dans l'espace du réseau réciproque est un ensemble de pics de Laue-Bragg en forme de D aux nœuds du réseau réciproque. Les déplacements d'atomes des sites du réseau violent la périodicité du cristal et les interférences. la situation change. Dans ce cas, en plus des maxima (qui persistent si un réseau périodique moyen peut être distingué dans un cristal déformé), une composante lisse apparaît dans la distribution de l'intensité de diffusion. Je 1 (Q), correspondant à D. r. R. l. sur les imperfections des cristaux.
Parallèlement à la diffusion élastique, D. r. R. l. peut être dû à des processus inélastiques accompagnés d'une excitation du sous-système électronique du cristal, c'est-à-dire la diffusion Compton (voir Effet Compton) et diffusion avec excitation plasma (voir Plasma à l'état solide). A l'aide de calculs ou expériences, ces composantes peuvent être exclues en mettant en évidence le D. r. R. l. sur les imperfections des cristaux. Dans les substances amorphes, liquides et gazeuses, où il n'y a pas d'ordre à longue distance, la diffusion est uniquement diffuse.
Répartition de l'intensité Je 1 (Q)D. R. R. l. cristal dans une large gamme de valeurs Q, correspondant à la cellule unitaire entière du réseau réciproque ou à plusieurs cellules, contient des informations détaillées sur les caractéristiques du cristal et ses imperfections. expérimental Je 1 (Q) peut être obtenu par une méthode utilisant le monochromatique. Rayons X et vous permet de faire pivoter le cristal autour de différents axes et de changer la direction des vecteurs d'onde k 1 , k 2, variant ainsi, Q dans une large gamme de valeurs. Des informations moins détaillées peuvent être obtenues Debye - Méthode Scherrera ou Méthode Laue.
Dans un cristal idéal D.r.r.l. dû uniquement aux déplacements thermiques et zéro fluctuation atomes du réseau et peuvent être associés aux processus d’émission et d’absorption d’un ou plusieurs. . Au petit Q principal le rôle est joué par la diffusion à un phonon, dans laquelle seuls les phonons avec q = Q-G, Où g est le vecteur de réseau réciproque le plus proche de Q. L'intensité d'une telle diffusion je 1T ( Q) dans le cas de cristaux idéaux monoatomiques, il est déterminé par f-loy
Où N- le nombre de cellules élémentaires du cristal, F-amplitude structurelle, - Facteur de Debye-Waller, t est la masse d'un atome,
- les fréquences et . vecteurs de phonons jème branche avec vecteur d'onde q. Au petit q fréquence , c'est-à-dire qu'à l'approche des nœuds du réseau réciproque, elle augmente de 1/ q 2. Spécification des vecteurs q, parallèles ou perpendiculaires aux directions , , dans les cristaux cubiques, où sont uniquement données par des considérations, on peut trouver les fréquences d'oscillation pour ces directions.
Dans les cristaux non idéaux, les défauts de taille finie conduisent à un affaiblissement des intensités des réflexions régulières je 0 (Q) et à D.r.r.l. Je 1 (Q) sur un statique déplacements et modifications des amplitudes structurelles dus à des défauts ( s- numéro de cellule à proximité du défaut, - type ou orientation du défaut). Dans des cristaux légèrement déformés avec une faible concentration de défauts (nombre de défauts dans un cristal) et 
intensité D.r.r.l.
où et sont les composantes de Fourier.
Les déplacements diminuent avec la distance r du défaut comme 1/ r 2 , de sorte que, à petit q et à proximité des sites de réseau réciproques Je 1 (Q) augmente comme 1/ q 2. Angle dépendance Je 1 (Q) est qualitativement différent pour des défauts de types et de symétries différents, et la valeur Je 1 (Q) est déterminé par le degré de distorsion autour du défaut. Etude de répartition Je 1 (Q) dans les cristaux contenant des défauts ponctuels (par exemple, atomes interstitiels et lacunes dans les matériaux irradiés, atomes d'impuretés dans des solutions solides faibles), permet d'obtenir des informations détaillées sur le type de défauts, leur symétrie, leur position dans le réseau, la configuration de atomes formant le défaut, tenseurs dipôles de forces, avec lesquels les défauts agissent sur le cristal.
Lorsque les défauts ponctuels sont combinés en groupes, l'intensité Je 1 dans le domaine des petits q augmente fortement, mais il s'avère concentré dans des régions relativement petites de l'espace du réseau réciproque à proximité de ses nœuds, et à ( R0- taille du défaut) diminue rapidement.
Etude de zones de D. intensive de rivière. R. l. permet d'étudier la taille, la forme et d'autres caractéristiques des particules de la deuxième phase dans les solutions de vieillissement, . boucles de petit rayon en irradiées ou déformées. matériaux.
Quand signifie. concentrations de gros défauts, le cristal est fortement déformé non seulement localement à proximité des défauts, mais aussi en général, de sorte que dans la majeure partie de son volume. En conséquence, le facteur Debye-Waller et l'intensité des réflexions correctes je 0 diminuer de façon exponentielle, et la distribution Je 1 (Q) est qualitativement reconstruit, formant des pics élargis légèrement décalés des sites réciproques du réseau, dont la largeur dépend de la taille et de la concentration des défauts. Expérimentalement, ils sont perçus comme des pics de Bragg élargis (quasi-lignes sur le Debyegram), et dans certains cas une diffraction est observée. doublets constitués de paires de pics je 0 et Je 1. Ces effets se manifestent dans les alliages vieillissants et les matériaux irradiés.
Dans un concentré solutions, cristaux d'ordre à un composant, la non-idéalité des ferroélectriques n'est pas due à otd. défauts et fluctuations. inhomogénéités de concentration et de vnutr. paramètres et Je 1 (Q) peut être commodément considéré comme une diffusion par qème. fluctuation vague de ces paramètres ( q = Q-G). Par exemple, dans les solutions binaires A - B avec un atome par cellule, en négligeant la diffusion statique. compensations
Où F Un et fB-facteurs de diffusion atomique des atomes A et B, Avec- concentration - paramètres de corrélation, - probabilité de remplacer une paire de nœuds séparés par un vecteur réseau UN, atomes A. Après avoir déterminé Je 1 (Q) dans toute la cellule du réseau réciproque et après avoir effectué la transformée de Fourier f-tion , peut être trouvé pour la décomp. coordination sphères. Diffusion sur statique les compensations sont exclues en fonction des données d'intensité Je 1 (Q) dans plusieurs cellules du réseau réciproque. Distribution Je 1 (Q) peut également être utilisé pour détermination des énergies d'ordre d'une solution pour différents UN dans le modèle d'interaction de paire et sa thermodynamique. caractéristiques. Caractéristiques D.r.r.l. métallique solutions ont permis de développer la diffraction. méthode de recherche surface de ferme alliages.
Dans des systèmes qui sont dans des états proches des points de transition de phase du 2ème type et critiques. points sur les courbes de désintégration, les fluctuations augmentent fortement et deviennent à grande échelle. Ils suscitent de vives critiques. D.r. R. l. au voisinage des sites de réseau réciproque. Son étude fournit des informations importantes sur les caractéristiques des transitions de phase et le comportement de la thermodynamique. quantités proches des points de transition.
Diffusion diffuse des neutrons thermiques par l'électricité statique inhomogénéités similaires à celles de D. r. R. l. et est décrit par des f-lams similaires. L'étude de la diffusion des neutrons permet d'étudier également la dynamique caractéristiques des vibrations et fluctuations atomiques. inhomogénéités (voir Diffusion inélastique des neutrons).
Lit. : James R., Principes optiques de diffraction des rayons X, trans. de l'anglais, M., 1950 ; Iveronova V. I., Revkevich G. P., Théorie de la diffusion des rayons X, 2e éd., M., 1978 ; Iveronova V. I., Katsnelson A. A., Ordre à courte portée dans les solutions solides, M., 1977 ; Cowley J., Physique de la diffraction, trad. de l'anglais, M., 1979 ; Krivoglaz M A., Diffraction des rayons X et des neutrons dans des cristaux non idéaux, K., 1983 ; le sien, Diffusion diffuse des rayons X et des neutrons par inhomogénéités de fluctuation dans des cristaux non idéaux, K., 1984.
M. A. Krivoglaz.
FACTEUR DE DIFFUSION ATOMIQUE
Diffusion des rayons X par les électrons
atomes
K
S
E S Ee S f S Ee S f ,
1/2
K0
r(r)
e 2 1 1 car 2 2
Ee E0 2
MC
R.
2
F ,
r(r) - distribution de produits électroniques
densité dans un atome
S = K - K0
2
s-s0
Pour simplifier les calculs, nous allons
calculer la distribution des électrons
dans un atome à symétrie sphérique
fonction. Ensuite, vous pourrez écrire.
ES
Eee S
Facteur de diffusion atomique
r r
z r r dr
0
Ici z est le nombre d'électrons dans l'atome
Supposons qu'une onde plane arrive sur l'atome
1
K
S
s
E
A0
K0
C
Un J
il
Soit à l'origine c'est-à-dire
au point A0, la phase de l'onde est nulle
0 0
Chaque point de l'atome (c'est-à-dire chaque
s0
rj
B
2
E E0 e
électron) sous l'action de l'onde E
commence à rayonner une forme sphérique
vague. Électron situé A0
émet une onde
E 0 je t
E A0
e
R.
Ici R est la distance du point A0 au point d'observation M dans la direction
vecteur s (lignes 1 et 2). Le plan primaire atteindra le point Aj avec la phase
j k s0 ,rj
Puis l'onde sphérique secondaire 2 émise par un électron situé
au point où Aj ressemblera
1M
K
s
E
A0
B
C
Un J
2
Nous supposerons que A0M>>ІrjІ
S
La vague 2 atteindra le point d'observation M c
phase supplémentaire due au segment
chemins AjC=(s,rj).
la phase supplémentaire sera égale à k(s,rj)
K0
Puis la phase complète de la vague 2 a atteint
le point M ressemblera à
s0
rj
EAj
E0 je t k s0 ,rj
e
R.
k s,rj k s0 ,rj rjK rjK 0
K - K 0 ,rj S,rj
EM
Un J
E0 je t k s-s0 ,rj E0 je t je Srj
e
e e
R.
R. Laisse le faisceau tomber
dirigé le long de l'axe X
Calculons l'intensité
élément dispersé
volume dv
DVD-DDR
r d rsin d dr Un atome peut être approximativement considéré comme un volume avec une
répartition des charges. Distinguons l'élément de volume dv dans le volume de l'atome
à une distance r du centre de l'atome. La densité électronique à ce stade
désigné par r(r). Amplitude de l'onde diffusée par l'élément
le volume dv peut s'écrire comme (Laissons tomber R pour plus de simplicité)
dE Ee r e
je s s0 ,r
dv Ee r r e
ik S,r
dv
Remplaçons explicitement l'élément volume dans cette relation. Alors
l'amplitude totale diffusée par tous les électrons de l'atome sera
est égal à l'intégrale sur tout le volume
E Ee r e
iSr cos
dv
V
Ee d r r r 2 dr eiS cos sin d
r Se souvenir de la définition du facteur de diffusion atomique
E S Ee S f ,
f S f ,
ES
Eee S
l'expression ci-dessus peut être réécrite comme
fS
2
0
0
0
2
c'est parce que
d
r
r
r
docteur
e
péché d
ia parce que x
sin x dx nous est déjà familier grâce à la section précédente
Type intégral e
ia parce que x
e
péché x dx
sinax
hache
L'intégration sur et r conduit à l'expression f péché /
0
péché (Sr)
2
4 r r (r)
docteur
Sr
C'est le facteur de diffusion atomique.
Cela dépend de la répartition
densité électronique à l'intérieur d'un atome.
Etudions le comportement de la fonction f(S). Si
l'argument de la fonction tend vers zéro,
fraction sous intégrale
tend à l'unité et donc Etudions le comportement de la fonction f(S). Si l'argument de la fonction tend à
zéro, la fraction sous l'intégrale tend vers l'unité et
donc f(S) tend vers Z/
s0
péché (Sr)
1
Sr
f péché / 4 r 2 r (r) dr z
0
fsin/Z
Si l'argument S augmente, la fonction f(S) diminue et tend vers zéro
S4
péché
péché (Sr)
0
Sr
f péché / 0
Type de dépendance de la fonction de diffusion atomique
à partir du péché / pour les atomes neutres de Zn et d'Al.
(Z pour Zn=40 et pour Al=13).
10.
Les estimations faites ci-dessus sont faites sous la condition que les électrons dansLes atomes sont pratiquement libres et l'équation du mouvement d'un électron peut être
écrivez comme mr eE. La situation réelle est plus compliquée : les électrons dans
les atomes se déplacent sur leurs orbites et ont leurs propres fréquences
fluctuations et, par conséquent, il est nécessaire de considérer le problème
mouvement d'un électron lié sous l'action d'un périodique externe
force perturbatrice pendant le mouvement d'un électron, c'est-à-dire mr kr 2r eE . Et ça
0
pas tout. Il faut également prendre en compte l'atténuation lors du mouvement
des électrons. L’équation complète du mouvement ressemblera alors à
monsieur kr 0 2r eE
Dans ce cas, l’amplitude de l’onde diffusée par l’électron lié est
peut s'écrire sous la forme
2
E E 2
0 2 je
e
ou pour tous
électrons dans un atome
2
E E 2
2
n 0 n ik
e
Il ressort de la relation écrite que, premièrement, l'amplitude
la diffusion est représentée par un nombre complexe et, par conséquent,
une absorption supplémentaire apparaît presque intrinsèque
fréquences de résonance et, deuxièmement, l'amplitude dépend fortement de
fréquence de l'onde incidente, c'est-à-dire il y a une dispersion. Comptabilisation correcte de ces
corrections effectuées dans les ouvrages de Lorentz.
11.
.Si la longueur d'onde du rayonnement incident est suffisamment éloignée de
bord de la bande d’absorption, le facteur atomique est simplement f0.
Cependant, à mesure que la longueur d'onde du rayonnement incident se rapproche
bord de la bande d’absorption, le facteur atomique devient
valeur complexe et doit être écrit comme
f f 0 f je f
où f0 est la fonction de diffusion atomique,
obtenu sous l'hypothèse d'électrons libres de l'atome, et f" et
f" - corrections de dispersion dont la première prend en compte
diffusion supplémentaire pour le cas des électrons liés, et
la seconde est une absorption supplémentaire près des fréquences naturelles
vibrations des électrons dans un atome. Les corrections de dispersion dépendent
sur la longueur d'onde et ne dépendent pratiquement pas du péché. Et depuis f0
diminue avec l'augmentation de l'angle de diffusion, corrections de dispersion
commencent à jouer un rôle croissant aux grands angles
diffusion.
Fonctions de diffusion atomique pour le cas des électrons libres dans un atome dans
sin / et les corrections de dispersion correspondantes dans
en fonction de la longueur d'onde pour tous les éléments du tableau périodique
sont généralement présentés sous forme de tableau. La plupart valeurs exactes ces quantités sont données
dans les tableaux internationaux. (Tableaux internationaux de cristallographie aux rayons X, vol.14, Birmingham, IDC, 1980)
12.
Amplitude de diffusion atomique des électronsDans les expériences de diffraction, avec les rayons X
le rayonnement utilise des électrons avec des énergies allant de dizaines à centaines
keV (les électrons d'une énergie de 50 keV ont une longueur d'onde de 0,037Å). chemin
Des calculs simples, on peut montrer que l'amplitude de l'atome
la diffusion des électrons est liée à l'amplitude de la diffusion atomique
radiographies par l'expression suivante
L'analyse de l'expression écrite montre qu'aux grands angles
diffusion, où fx est petit, fe> Z et diminue inversement proportionnellement
(péché /)2 . En diffraction électronique et en microscopie électronique,
une valeur qui est un multiple de l'amplitude de diffusion atomique est utilisée et
inclus dans la première approximation de Born de la théorie de la diffusion
des électrons, c'est-à-dire
13.
La forme des fonctions de diffusion atomique de l’atome d’hydrogène pourRayons X et électrons, calculés en
la première approximation Born.
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
14.
Les estimations des amplitudes de diffusion atomique des électrons, faites ci-dessus,conduire à des fonctionnalités importantes dans l’application de la diffusion
électrons par rapport aux rayons X. D'un
D'autre part, une amplitude de diffusion électronique plus élevée (de deux à trois ordres de grandeur) augmente considérablement la luminosité du diagramme de diffraction et
ainsi que la possibilité de focaliser le faisceau d'électrons incident
permet d'étudier de très petits cristaux dans
systèmes polycristallins. Par contre, on remarque
absorption d'électrons avec des énergies de l'ordre de plusieurs dizaines de keV
ouvre une opportunité avantageuse pour étudier la structure des minces
couches superficielles d'une épaisseur de 10-6-10-7 cm. Pour comparaison dans
radiographie dans des conditions optimales, une couche est enregistrée
environ 10-2-10-4cm.
Dépendance plus faible de l'amplitude de diffusion atomique
électrons comparés aux rayons X d'un atome
les chiffres vous permettent de mener des études structurelles pour les poumons
atomes.
La présence de spin et de moment magnétique dans les électrons ouvre
opportunités supplémentaires pour étudier la structure magnétique
matériaux.
15.
Fonctions de diffusion atomique pour le casélectrons libres dans un atome en fonction de
valeurs sin / et le correspondant
corrections de dispersion en fonction de la longueur
vagues pour tous les éléments du tableau périodique
sont généralement présentés sous forme de tableau. La plupart
les valeurs exactes de ces quantités sont données dans
tableaux internationaux. (Tableaux internationaux
pourX-Ray Crystallography, vol.1-4, Birmingham, IDC,
MOU école secondaire №21
Résumé de physique
"DIFFUSION DES RAYONS X
SUR LES MOLÉCULES FULLÉRÈNES»
j'ai fait le travail
élève 11 classe "G"
Lykov Vladimir Andreïevitch
Professeur:
Kharitonova Olga Alexandrovna
3.5. Diffraction Fraunhofer des rayons X par des atomes de cristal38
Objectifs de travail
1. Simulation informatique de la diffusion des rayons X par des molécules de fullerène et des fragments de cristaux de fullérite.
2. Étude de la pseudosymétrie rotationnelle de la distribution angulaire de l'intensité des rayons X diffusés.
2. Partie théorique
2.1. fluctuations
2.1.1. Mouvements oscillatoires unidimensionnels
Considérons le mouvement périodique unidimensionnel d'un point matériel. La périodicité du mouvement signifie que la coordonnée du point x est une fonction périodique du temps t :
En d’autres termes, à tout instant, l’égalité
f(t + T) = f(t), (1.2)
où la valeur constante T est appelée période d'oscillation.
Il est essentiel que la coordonnée puisse être non seulement cartésienne, mais aussi un angle, etc.
Il existe de nombreux types de mouvements périodiques. Par exemple, tel est le mouvement uniforme d’un point matériel le long d’un cercle.
surface liquide).
Fig.1.3. Une balle suspendue à un fil.
Figure 1.4. flotter à la surface d'un liquide.
Figure 1.5. Tube en forme de U avec liquide.
Figure 1.6. Un circuit électrique contenant un condensateur de capacité C et une bobine d'inductance L.
Dans l'exemple 1.3. l'angle de déviation change périodiquement. Enfin, dans l'exemple 1.6. la charge du condensateur et le courant dans la bobine changent périodiquement. Cependant, tout cela processus physiques décrit par les mêmes fonctions mathématiques.
2.1.2. vibrations harmoniques
Le type d'oscillations le plus simple est l'harmonique. La coordonnée d'un point matériel au fil du temps avec des oscillations harmoniques change selon la loi
x(t) =Acos(poids + j0) (1.3)
où A est l'amplitude de déplacement (le déplacement maximum du point par rapport à la position d'équilibre), w est la fréquence liée à la période par la relation
w = 2p / T. (1,4)
La position d'équilibre est la localisation d'un point matériel dans lequel la somme des forces agissant sur lui est égale à zéro.
L'argument cosinus wt + j0 dans la fonction (1.3) est appelé phase d'oscillation. On peut voir que la phase est une quantité sans dimension et une fonction linéaire du temps. La constante j0 est appelée phase initiale.
Oscillations des systèmes physiques illustrées à la Fig.1.1. – 1.6. ferait des oscillations strictement harmoniques dans les conditions supplémentaires suivantes :
Système 1.1. – en l'absence de résistance de l'air, système 1.2. - en l'absence d'épines, système 1.3. – aux petits angles et sans résistance de l'air, systèmes 1.4. et 1.5. – en l'absence de viscosité du liquide, système 1.6. - en l'absence de résistance active de la bobine et des fils.
Pour simplifier, considérons d’abord les oscillations harmoniques unidimensionnelles, lorsqu’un point matériel est déplacé le long d’une ligne droite.
En calculant la dérivée de la fonction (1.3) par rapport au temps, on obtient la vitesse du point matériel :
v(t) = -wAsin(wt+j0) (1.5)
On voit que la vitesse est aussi une fonction périodique du temps.
Prenons maintenant la dérivée de la fonction (1.5) par rapport au temps et obtenons l'accélération du point matériel.
a(t) = -w2 Acos(poids+j0) (1.6)
En comparant les fonctions (1.3) et (1.6), nous obtenons que la coordonnée et l'accélération sont liées par l'expression suivante
une(t) = -w2 x(t),(1.7)
qui est exécuté à tout moment.
En d’autres termes, pour toute oscillation harmonique unidimensionnelle, l’accélération d’une particule est directement proportionnelle à sa coordonnée et le coefficient de proportionnalité est négatif.
Figure 1.7. Dépendances temporelles des coordonnées (cercles), de la vitesse (carrés) et de l'accélération (triangles) d'une particule effectuant des oscillations harmoniques unidimensionnelles. Amplitudes A=2, période T=5, phase initiale j0=0.
Comme on le sait, l'accélération d'une particule (selon la loi fondamentale de la dynamique) est directement proportionnelle à la force agissant sur la particule. Par conséquent, si la force est directement proportionnelle à la coordonnée de signe opposé, alors la particule effectuera une oscillation harmonique. De telles forces sont appelées restauration.
Un exemple important de force de rappel est la force de Hooke (force élastique). Ainsi, si la force de Hooke agit sur un point matériel, alors ce point effectue des oscillations harmoniques.
Puisqu’on considère des oscillations unidimensionnelles, pour analyser le problème, il suffit de projeter le vecteur force de Hooke sur un axe parallèle à cette force. Si le zéro de référence de la coordonnée x est choisi au point où la force de rappel est nulle, alors la projection de la force est
où le coefficient k est appelé rigidité.
En comparant les équations (1.7) et (1.8), et en utilisant la 2ème loi de Newton, nous obtenons une expression importante pour la fréquence d'oscillation :
Cela signifie que la fréquence d'oscillation est décrite par les paramètres du système physique et ne dépend pas des conditions initiales. En particulier, l'expression (1.9) détermine la fréquence des oscillations harmoniques des systèmes représentés sur la Fig. 1.1. et 1.2.
À titre d'exemple instructif, considérons les mouvements unidimensionnels effectués par des poids attachés à des ressorts (voir Fig. 1.8).
Figure 1.8. Poids à ressort.
Supposons que les masses des ressorts soient négligeables par rapport aux masses des poids.
Les charges sont considérées comme des points matériels.
Tout d’abord, considérons le système représenté sur la figure 18. UN. Supposons que la charge soit initialement déplacée vers la gauche et que, par conséquent, le ressort soit étiré. En même temps, 3 forces agissent sur la charge (point matériel) : la gravité mg, la force élastique F et la force de réaction normale du support N. On néglige le frottement dans ce problème (voir Fig. 1.9).
Figure 1.9. Forces exercées sur une charge reposant sur un support lisse, lorsque le ressort est tendu.
Écrivons la deuxième loi de Newton pour le corps illustré à la Fig. 1.9.
ma = mg + F + N(1,10)
La force élastique lors de petites déformations des ressorts est décrite par la loi de Hooke
F = –kd(1.11)
où d est le vecteur de déformation du ressort, k est le facteur de rigidité du ressort.
A noter que lorsque la charge est en mouvement, la tension du ressort peut être remplacée par une compression. Dans ce cas, le vecteur de déformation d changera de direction dans le sens opposé, donc la même chose se produira avec la force de Hooke (1.11). Il s'ensuit notamment qu'avec la compression initiale du ressort, l'équation vectorielle du mouvement (1.10) aura la même forme :
ma = mg – kd + N(1,12)
On choisit l'origine des coordonnées au point où se situe la charge avec un ressort non déformé. On dirige l'axe X horizontalement, l'axe Y verticalement, c'est-à-dire perpendiculaire au support (voir Fig. 1.9).
Puisque la charge se déplace horizontalement le long du support, la projection de l'accélération sur l'axe Y est nulle. La force de gravité est alors entièrement compensée par la réaction normale du support.
N + mg = 0 (1,13)
La projection de l’équation du mouvement (1.12) sur l’axe X donne l’équation scalaire :
ma = –kd,(1.14)
où a est la projection horizontale de l'accélération de la charge, d est la projection du vecteur de déformation du ressort.
En d’autres termes, l’accélération est dirigée le long de l’axe horizontal X et est égale à
une = – (k/m) ré(1,15)
Encore une fois, on constate que l'équation (1.15) est valable aussi bien pour la traction que pour la compression du ressort.
Puisque l'origine des coordonnées est choisie pour qu'elle coïncide avec la fin du ressort non déformé, la projection de déformation coïncide avec la valeur de la coordonnée horizontale de la charge x :
une = – (k/m) x (1,16)
Par définition, la projection de l'accélération est égale à la dérivée seconde de la coordonnée correspondante par rapport au temps. Par conséquent, l’équation unidimensionnelle du mouvement (1.16) peut être réécrite sous la forme
En d’autres termes, la projection de l’accélération est directement proportionnelle à la coordonnée et le coefficient de proportionnalité a un signe négatif.
L'équation (1.17) est une différentielle du second ordre, la théorie générale de la résolution de telles équations est étudiée au cours de l'analyse mathématique. Cependant, il est facile de prouver par substitution directe que la fonction d’oscillation harmonique (1.3) satisfait l’équation (1.17). Comme cela a déjà été prouvé précédemment, la fréquence d'oscillation est exprimée par la formule (1.9).
L'amplitude A et la phase initiale j0 des oscillations sont déterminées à partir des conditions initiales.
Supposons que la charge soit initialement déplacée vers la droite de la position d'équilibre d'une distance d0 et que la vitesse initiale de la charge soit égale à zéro. Ensuite, à l’aide des fonctions (1.3) et (1.5), on écrit les équations suivantes pour le temps t=0 :
d0 =Acos(j0) (1.18)
0 = -wAsin(j0) (1.19)
La solution du système (1.18) - (1. 19) sont les valeurs suivantes A = d0 et j0= 0.
Pour d'autres conditions initiales, les grandeurs A et j0 prendront naturellement d'autres valeurs.
Considérons maintenant le système illustré à la figure 1.8. b. Dans ce cas, seules deux forces agissent sur la charge : la force de gravité mg et la force d'élasticité F (voir Fig. 1.10). Il est clair qu'en position d'équilibre, ces forces se compensent, le ressort est donc étiré.
Laissez la charge se déplacer légèrement verticalement. Alors l'équation vectorielle du mouvement aura une forme similaire à l'équation (1.12)
ma = mg - kd(1, 20)
et quelle que soit la direction du déplacement vertical (vers le haut ou vers le bas).
Tous les vecteurs de l'équation (1. 20) sont dirigés verticalement, il est donc conseillé de projeter cette équation sur l'axe de coordonnées vertical. Dirigons l'axe vers le bas et choisissons l'origine des coordonnées au point où le corps est en équilibre (voir Fig. 1.10).
Fig.1.10. Forces agissant sur une charge suspendue à un ressort.
En projetant (1.18) sur l’axe X, on obtient :
une = g - (k/m) ré(1,21)
où a est la projection de l'accélération du corps, d est la projection de la déformation du ressort.
Pour résoudre l’équation (1.21), il est utile de revenir à la position d’équilibre de la charge. L'équation de Newton pour cette position est :
0 = g – (k/m) d0(1,22)
où d0 sont les déformations du ressort à l’équilibre de charge. Le vecteur d0 est donc égal à
On voit qu'en position d'équilibre du corps, le ressort est bien étiré, puisque le vecteur d0 est dirigé parallèlement au vecteur g, c'est-à-dire vers le bas.
Nous plaçons maintenant l'origine des coordonnées au point d'équilibre de la charge sur le ressort, et alors l'équation (1.21) prendra la forme :
une = g – (k/m) (x + d0) (1,24)
où d0 est le module du vecteur déformation du ressort d0.
En substituant dans l'équation (1.24) la valeur d0 obtenue à partir de la relation (1.23), on obtient :
une = g - (k/m) (x+ (m/k) g)
une = – (k/m) x (1,25)
L'équation résultante coïncide complètement avec l'équation (1.16). Ainsi, le corps représenté sur la Fig. 1.8. b, effectue également un mouvement oscillatoire harmonique, décrit par la fonction (1.3), ainsi que la charge dans le système illustré à la Fig. 1.8. UN. Fréquence d'oscillation La seule différence réside dans la direction de l'oscillation (verticale au lieu d'horizontale). Mais la fréquence d'oscillation est toujours déterminée par la raideur du ressort et la masse de la charge selon la formule (1.9).
Il est caractéristique que la déformation initiale du ressort dans le système soit illustrée à la Fig. 1.8. b n'affecte pas la fréquence d'oscillation.
2.1.3. Ajout de vibrations
2.1.3.1. Ajout de deux oscillations harmoniques de mêmes amplitudes et fréquences
Prenons l'exemple des ondes sonores, lorsque deux sources créent des ondes avec les mêmes amplitudes A et fréquences ω. Installer une membrane sensible à distance des sources. Lorsque l'onde « franchit » la distance entre la source et la membrane, la membrane commence à osciller. L'impact de chacune des ondes sur la membrane peut être décrit par les relations suivantes, à l'aide des fonctions oscillatoires :
x1(t) = Acos(ωt + φ1),
x2(t) = Acos(ωt + φ2).
x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1,27)
L'expression entre parenthèses peut s'écrire différemment en utilisant la fonction trigonométrique de la somme des cosinus :
Pour simplifier la fonction (1.28), nous introduisons de nouvelles quantités A0 et φ0 satisfaisant la condition :
A0 = φ0 = (1,29)
On substitue les expressions (1.29) dans la fonction (1.28), on obtient
Ainsi, la somme des oscillations harmoniques de mêmes fréquences ω est une oscillation harmonique de même fréquence ω. Dans ce cas, l'amplitude de l'oscillation totale A0 et la phase initiale φ0 sont déterminées par les relations (1.29).
2.1.3.2. Ajout de deux oscillations harmoniques de même fréquence, mais d'amplitude et de phase initiale différentes
Considérons maintenant la même situation, en modifiant les amplitudes d'oscillation dans la fonction (1.26). Pour la fonction x1 (t) on remplace l'amplitude A par A1, et pour la fonction x2 (t) A par A2. Alors les fonctions (1.26) peuvent s’écrire sous la forme suivante
x1 (t) = A1 cos(ωt + φ1), x2 (t) = A2 cos (ωt + φ2) ; (1.31)
Trouvons la somme des fonctions harmoniques (1.31)
x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(ωt + φ1) + A2 cos (ωt + φ2) (1,32)
L'expression (1.32) peut s'écrire différemment en utilisant la fonction trigonométrique du cosinus de la somme :
x(t) = (A1cos(φ1) + A2cos(φ2)) cos(ωt) – (A1sin(φ1) + A2sin(φ2)) sin(ωt) (1,33)
Afin de simplifier la fonction (1.33), nous introduisons de nouvelles quantités A0 et φ0 satisfaisant la condition :
Mettons au carré chaque équation du système (1.34) et additionnons les équations résultantes. On obtient alors la relation suivante pour le nombre A0 :
Considérons l'expression (1.35). Montrons que la valeur sous la racine ne peut pas être négative. Puisque cos(φ1 - φ2) ≥ -1, cela signifie que c'est la seule valeur qui peut affecter le signe du nombre sous la racine (A12 > 0, A22 > 0 et 2A1A2 > 0 (d'après la définition de l'amplitude)). Considérons le cas critique (le cosinus est égal à moins un). Sous la racine se trouve la formule du carré de la différence, qui est toujours positive. Si nous commençons à augmenter progressivement le cosinus, alors le terme contenant le cosinus commencera également à croître, alors la valeur sous la racine ne changera pas de signe.
Calculons maintenant le rapport pour la valeur φ0 en divisant la deuxième équation du système (1.34) par la première et en calculant l'arc tangent :
Et maintenant remplaçons dans la fonction (1.33) les valeurs du système (1.34)
x = A0(cos(φ0) cosωt – sin(φ0) sinωt) (1.37)
En transformant l'expression entre parenthèses selon la formule de la somme des cosinus, on obtient :
x(t) = A0 cos(ωt + φ0) (1,38)
Et encore une fois, il s’est avéré que la somme de deux fonctions harmoniques de la forme (1.31) est aussi une fonction harmonique du même type. Plus précisément, l'addition de deux oscillations harmoniques de même fréquence ω est aussi une oscillation harmonique de même fréquence ω. Dans ce cas, l'amplitude de l'oscillation résultante est déterminée par la relation (1.35), et la phase initiale, par la relation (1.36).
2.2. Vagues
2.2.1. Propagation des vibrations dans l'environnement matériel
Tenez compte des fluctuations de l’environnement matériel. Un exemple est l’oscillation d’un flotteur à la surface de l’eau. Si un oiseau survolant un flotteur agit en tant qu'observateur, il remarquera que le flotteur forme des cercles autour de lui, ce qui, étonnamment, avec le temps, en s'éloignant, augmente le rayon. Mais si le rôle de l'observateur est celui d'une personne debout sur le rivage, il verra alors des « bosses » et des « creux » qui, alternativement, s'approchent du rivage. Ce phénomène est appelé onde progressive.
Afin de comprendre les propriétés de la vague, on néglige la résistance de l'air, la viscosité de l'eau et de l'air, c'est-à-dire forces dissipatives. Alors énergie mécanique les gouttelettes d'eau peuvent être considérées comme conservées. Dans ce cas, le mouvement des vagues peut être représenté schématiquement comme le montre la figure 1, en remplaçant les gouttelettes d'eau par des boules numérotées. Notons la boule flottante numéro 1.
Riz. 2.1. Représentation schématique d'une onde transversale.
On voit que la cause du mouvement est la balle n°1, c'est-à-dire flotter. Avec l’aide de l’interaction, cela implique la balle n°2 en mouvement, la balle n°2 implique la balle n°3, et ainsi de suite. Mais l'interaction entre les particules ne se produit pas instantanément, donc la boule numéro 2 sera en retard dans le temps. Vous pouvez également remarquer que la boule n°13 oscille de la même manière que la boule n°1. Nous pouvons alors conclure que la balle n°2 sera en retard de 1/12 de la période sur la n°1.
Par conséquent, la période de la vague (T) peut être appelée la période d'oscillation de la balle n°1, l'amplitude de la vague (A) est l'écart maximal de la balle par rapport à l'axe horizontal et la longueur d'onde (λ) est distance minimale entre les hauts des bosses les plus proches ou les bas des creux les plus proches.
Dans l'exemple considéré précédemment, l'onde se propageait perpendiculairement aux oscillations de la source, autrement dit, on considérait une onde transversale.
Les ondes longitudinales sont des ondes qui se propagent parallèlement au mouvement de la source. Si l'on considère schématiquement les ondes longitudinales (Fig. 2.2), alors on peut voir qu'au fil du temps, la source d'oscillations (balle n°1) oscille de gauche à droite et implique d'autres particules dans le même mouvement oscillatoire. Ensuite, pour une onde longitudinale, la définition de la période d’onde décrite ci-dessus restera inchangée, mais les définitions de longueur d’onde et d’amplitude seront différentes. Les concepts généralisés ressembleront à ceci : longueur d'onde - la distance minimale entre les billes se déplaçant avec les mêmes phases ; l'amplitude de l'onde est l'écart maximal par rapport à la position d'équilibre.
2.2.2. fonction d'onde
Considérons une source qui effectue des oscillations harmoniques dans un milieu matériel avec une fréquence w. Alors son mouvement est décrit par une fonction de la forme . Soit la phase initiale j0 égale à zéro. Ensuite, la coordonnée source est la fonction suivante du temps.
x = Acos(poids) (2.1)
En raison de l'interaction, les particules de l'environnement sont impliquées dans des mouvements, qui seront également des oscillations harmoniques. Mais l'interaction interparticulaire ne se produit pas instantanément, de sorte que les vibrations des particules voisines se produiront avec un décalage dans le temps. En raison du taux de transmission fini et constant de l'interaction, ce décalage des oscillations dans le temps est directement proportionnel à la distance de la particule suivante à la source.
Il résulte des exemples précédents que, de ce fait, des perturbations appelées perturbations ondulatoires vont se propager dans le milieu. Dans le cas des ondes de surface, cette perturbation est la déviation des particules d'eau de la surface dans un état de repos. Dans le cas des ondes sonores, la perturbation est l’écart de la densité de l’air par rapport à la densité moyenne de l’air au repos. Quel que soit le type d'ondes (longitudinale ou transversale), cette perturbation doit être décrite par une fonction du temps et des coordonnées.
Au point source, la perturbation est fonction du temps, ce qui coïncide avec (2.1)
y(0, t) = Acos(poids). (2.2)
Considérons la propagation d'une perturbation harmonique dans la direction donnée par l'axe de coordonnées 0Z. D'après ce qui précède, les particules du milieu matériel, situées à une distance z de la source, effectuent des oscillations harmoniques avec un retard dans le temps (en raison de la vitesse finie de propagation de l'interaction). Par conséquent, la perturbation au point z et à un instant arbitraire t coïncide avec la perturbation au point z = 0 de la source à un instant antérieur t¢
y(z, t) = y(0, t¢) (2.3)
La vitesse de propagation d'une perturbation dans un milieu donné s'exprime clairement par la vitesse de bosse (ou dépression) des ondes de surface ou la vitesse de compaction (ou raréfaction) d'une onde sonore. Cette vitesse vf est appelée vitesse de phase de l'onde. Ainsi, une bosse, une dépression ou tout autre type de perturbation du milieu parcourt la distance z dans le temps z/vf.
La vitesse de phase permet de relier les instants de temps t¢ et t par la relation suivante
En utilisant les relations (2.2) - (2.4), on obtient une expression de la fonction de perturbation sous la forme suivante :
L’expression résultante est appelée fonction d’onde harmonique ou, en bref, onde harmonique.
Dans le cas de milieux homogènes et de petites perturbations, la vitesse de phase est une valeur constante.
On introduit une nouvelle grandeur, appelée nombre d'onde, par la relation suivante :
k = ω / vf(2,6)
En utilisant le numéro d’onde, la fonction d’onde harmonique (2.5) peut s’écrire :
y(z, t) = Acos(ωt – kz) (2.7)
Considérons la quantité A. Cette quantité est l'amplitude de l'onde. Comme déjà mentionné, l'amplitude de l'onde est l'écart maximal de la particule par rapport à la position d'équilibre. L'amplitude des vagues peut changer avec le temps (en raison de forces externes).
La phase de l'onde sera appelée la grandeur sous le signe de la fonction trigonométrique. Selon les conditions initiales, la phase de la fonction d'onde peut contenir un terme constant j0 ¹ 0. La phase de l'onde est fonction de deux arguments de temps et de position.
Notez que la fonction (2.8) décrit un processus ondulatoire infini dans l’espace et le temps.
Considérons la signification physique de la quantité k. Choisissons l'instant t=0. La fonction d'onde (2.8) prend la forme :
La fonction (2.9) peut être interprétée comme une photographie instantanée du processus ondulatoire. On voit que cette fonction est périodique dans l’espace.
Selon la définition de la période, l'égalité suivante est vraie pour toutes les valeurs de la coordonnée z
UNE Cos(k (z + l)) = UNE Cos(k z)
La valeur l est appelée la longueur d'onde. Elle représente la distance minimale entre des points de même phase (bosses, dépressions, etc.).
Si les cosinus sont égaux, alors les arguments diffèrent de 2π
k (z+l) = kz +2π (2.9)
Par transformations simples, on obtient l'expression suivante :
λ = 2π/k(2.10)
Il s'ensuit que la valeur de k est inversement proportionnelle à la longueur d'onde λ.
Considérons l'ensemble des points de l'espace auxquels la phase de l'onde reste égale à zéro.
poids – kz = 0(2,11)
La transformation algébrique donne :
Le rapport z/t, situé à gauche, a été défini ci-dessus comme la vitesse de phase. D’après (2.13), la vitesse de phase d’une onde harmonique plane est égale à
Il ressort également de la relation (2.15) que pour une onde progressive harmonique à un instant fixe, le taux d'augmentation de phase par unité de longueur est précisément la quantité k (nombre d'onde) égale à
k = w / vF(2.14)
L'exemple des ondes harmoniques a été considéré ci-dessus. Mais dans la nature, de telles vagues sont très rares. Les vagues amorties sont plus courantes, c'est-à-dire ondes dont la vitesse (due à la résistance de l'air, au frottement ou à d'autres forces dissipatives) disparaît avec le temps. Les fonctions obtenues précédemment ne sont pas valables pour les ondes amorties.
Ci-dessus, nous avons considéré des ondes se propageant le long de l'interface entre deux milieux et des ondes se propageant dans des volumes de matière. Par exemple, seules les ondes sonores longitudinales peuvent se propager dans l’air, tandis que les ondes sonores longitudinales et transversales peuvent se propager dans le métal.
De plus, les ondes peuvent être distinguées par la forme de la surface à phase constante. Les cas particuliers importants sont les ondes planes et sphériques.
2.2.3. Ondes électromagnétiques
On sait qu’un champ magnétique changeant génère un champ électrique. Si nous supposons qu’un champ électrique changeant génère un champ magnétique, nous pouvons alors supposer, comme Maxwell l’a fait, qu’une onde électromagnétique se formera à cause de cela. Et ce n’est que plus tard, en 1886, que Hertz prouva expérimentalement que Maxwell avait raison. Hertz dans ses expériences, réduisant le nombre de tours de la bobine et la surface des plaques du condensateur, ainsi que les écartant, a fait la transition d'un circuit oscillant fermé à un circuit oscillant ouvert (vibrateur Hertz), qui est deux tiges séparées par un éclateur. Si, dans un circuit oscillant fermé, un champ électrique alternatif est concentré à l'intérieur du condensateur, alors dans un circuit ouvert, il remplit l'espace entourant le circuit, ce qui augmente considérablement l'intensité du rayonnement électromagnétique. Les oscillations dans un tel système sont supportées par e. provenant d'une source connectée aux plaques du condensateur, et l'éclateur est utilisé pour augmenter la différence de potentiel à laquelle les plaques sont initialement chargées. Pour exciter les ondes électromagnétiques, le vibrateur Hertz 8 était connecté à un inducteur. Lorsque la tension aux bornes de l'éclateur a atteint la valeur de claquage, une étincelle est apparue et des oscillations libres et amorties se sont produites dans le vibrateur. Lorsque l'étincelle disparut, le circuit s'ouvrit et les oscillations cessèrent. Après cela, l'inducteur a rechargé le condensateur, une étincelle est apparue et des oscillations ont été à nouveau observées dans le circuit, etc. Pour enregistrer les ondes électromagnétiques, Hertz a utilisé un autre vibrateur ayant la même fréquence d'oscillations naturelles que le vibrateur rayonnant, c'est-à-dire accordé à la résonance avec le vibrateur. Lorsque les ondes électromagnétiques atteignaient le résonateur, une étincelle électrique sautait dans son espace.
En utilisant le vibrateur décrit, Hertz a atteint des fréquences de l'ordre de 100 MHz et a reçu des ondes dont la longueur était d'environ 3 m.p.n. Lebedev, à l'aide d'un vibrateur miniature constitué de fines tiges de platine, a obtenu des ondes électromagnétiques millimétriques d'une longueur d'onde de λ = 6-4 mm. C’est ainsi que les ondes électromagnétiques ont été découvertes expérimentalement. Hertz a également prouvé que la vitesse d’une onde électromagnétique est égale à la vitesse de la lumière :
Ensuite, il a été prouvé que les ondes électromagnétiques sont transversales. La source des ondes électromagnétiques sont les charges oscillantes. Un système de champs électriques et magnétiques apparaît dans l'espace entourant la charge. Un « instantané » d’un tel système de champs est présenté à la figure 2.3.
Une caractéristique qualitative des oscillations électromagnétiques peut être donnée à la fois sous forme de fréquence d'oscillation, exprimée en hertz, et en longueurs d'onde. Plus la fréquence d'oscillation est élevée, plus la longueur d'onde de l'onde propagée est courte. L'ensemble du spectre de ces ondes est conditionnellement divisé en 16 gammes suivantes :
Longueur d'onde | Nom | Fréquence |
| plus de 100 km | Vibrations électriques basse fréquence | 0-3kHz |
| 100 km - 1 mm | les ondes radio | 3 kHz - 3 THz |
| 100-10km | myriamètre (très basses fréquences) | 3 à 3 kHz |
| 10 - 1km | kilomètre (basses fréquences) | 30 - 300 kHz |
| 1km - 100m | hectomètre (moyennes fréquences) | 300 kHz - 3 MHz |
| 100 - 10 m | décamètre (hautes fréquences) | 3 à 30 MHz |
| 10 - 1 m | mètre (très hautes fréquences) | 30 - 300 MHz |
| 1 m - 10 cm | décimètre (ultra-élevé) | 300 MHz - 3 GHz |
| 10 à 1 cm | centimètre (très haut) | 3 à 30 GHz |
| 1 cm - 1 mm | millimètre (extrêmement élevé) | 30 - 300 GHz |
| 1 à 0,1 mm | décimillimètre (hyper-haut) | 300 GHz - 3 THz |
| 2 mm - 760 nm | Rayonnement infrarouge | 150 GHz - 400 THz |
| 760 - 380 nm | Rayonnement visible (spectre optique) | 400 - 800 THz |
| 380 - 3 nm | Rayonnement ultraviolet | 800 THz - 100 PHZ |
| 10 mn - 13h | rayonnement X | 30Phz - 300Ehz |
| <=10 пм | Rayonnement gamma | >=30 Hz |
Les ondes lumineuses sont l’un des types d’ondes électromagnétiques les plus courants. Mais dans notre travail, nous considérerons un autre type d'ondes électromagnétiques : les rayons X.
2.2.4. Rayons X
L’un des exemples les plus clairs d’ondes électromagnétiques est celui des rayons X.
En 1895, V.K. Roentgen (1845 - 1923) a mené des recherches sur le courant électrique dans des gaz hautement raréfiés. Aux électrodes soudées dans un tube de verre, à partir duquel l'air était préalablement pompé à une pression d'environ 10 à 3 mm Hg. Art., une différence de potentiel de plusieurs kilovolts a été appliquée. Il s'est avéré que dans ce cas, le tube devient une source de rayons, que Roentgen appelle « rayons X ». Roentgen lui-même a étudié les propriétés fondamentales des « rayons X » à la suite de trois années de travail, pour lesquelles il a reçu le prix Nobel en 1901 - le premier parmi les physiciens. Les rayons découverts par lui furent par la suite appelés à juste titre rayons X.
Figure 2.3. Schémas de tubes à rayons X.
a) l'un des premiers tubes Roentgen, b) Tube à rayons X de la fin du 20e siècle.
K est une cathode thermique, A est une anode haute tension, T est l'incandescence de la cathode chaude, E sont des faisceaux d'électrons accélérés (lignes pointillées), P sont des flux de rayons X (lignes pointillées), O sont des fenêtres dans le tube. corps pour la sortie des rayons X.
Selon la recherche scientifique moderne, les rayons X sont un rayonnement électromagnétique invisible à l'œil dont la longueur d'onde appartient à la gamme dont les limites sont approximatives de 10-2 à 10 nanomètres.
Les rayons X sont émis lors de la décélération des électrons rapides dans la matière (ils forment un spectre continu) et lors des transitions des électrons des couches électroniques externes de l'atome vers les couches internes (et donnent un spectre de raies).
Les propriétés les plus importantes des rayons X sont les suivantes :
Les rayons traversent tous les matériaux, y compris ceux qui sont opaques à la lumière visible. L'intensité des rayons transmis I diminue de façon exponentielle avec l'épaisseur x de la couche de substance
Je(x) = I0exp(–m/x),(2.16)
où I0 est l'intensité des rayons incidents sur la couche du matériau irradié.
Le coefficient m caractérise l'atténuation du flux de rayons X par la substance et dépend de la densité du matériau r et de sa composition chimique. De nombreuses expériences ont montré qu’il existe, en première approximation, une dépendance
Les faisceaux de rayons X traversent des planches épaisses, des tôles, le corps humain, etc. Le pouvoir pénétrant important des rayons X est actuellement largement utilisé dans la détection des défauts et en médecine.
Les rayons X provoquent la luminescence de certains composés chimiques. Par exemple, un écran recouvert de sel BaPt(CN) 4 brille en jaune-vert lorsqu'il est exposé aux rayons X.
Les rayons X, tombant sur les émulsions photographiques, les font noircir.
Les rayons X ionisent l’air et d’autres gaz, les rendant électriquement conducteurs. Cette propriété est utilisée dans les détecteurs qui détectent les rayons X invisibles et mesurent leur intensité.
Les rayons X ont un fort effet physiologique. L'irradiation prolongée d'organismes vivants avec des flux intenses de rayons X conduit à l'apparition de maladies spécifiques (appelées « maladie des radiations ») et même à la mort.
Comme mentionné précédemment, les rayons X sont émis lors de la décélération des électrons rapides dans la matière et lors de la transition des électrons des couches électroniques externes de l'atome vers les couches internes (et donnent un spectre de raies). Les détecteurs de rayons X sont basés sur les propriétés des rayons X. Ainsi, comme détecteurs, sont le plus souvent utilisés : les émulsions photographiques sur films et plaques, les écrans luminescents, les détecteurs à gaz et à semi-conducteurs.
2.3. Diffraction des ondes
2.3.1. Diffraction et interférence des ondes
Les effets typiques des vagues sont les phénomènes d’interférence et de diffraction.
Initialement, la diffraction était appelée la déviation de la propagation de la lumière par rapport à une direction rectiligne. Cette découverte a été faite en 1665 par l'abbé Francesco Grimaldi et a servi de base au développement de la théorie ondulatoire de la lumière. La diffraction de la lumière était la lumière qui s'incurvait autour des contours d'objets opaques et, par conséquent, la pénétration de la lumière dans la région de l'ombre géométrique.
Après la création de la théorie des ondes, il s'est avéré que la diffraction de la lumière est une conséquence du phénomène d'interférence des ondes émises par des sources cohérentes situées en différents points de l'espace.
Les ondes sont dites cohérentes si leur différence de phase reste constante dans le temps. Les sources d'ondes cohérentes sont des oscillations cohérentes de sources d'ondes. Les ondes sinusoïdales dont les fréquences ne changent pas dans le temps sont toujours cohérentes.
Les ondes cohérentes émises par des sources situées en différents points se propagent dans l'espace sans interaction et forment un champ d'ondes total. À proprement parler, les vagues elles-mêmes ne « s’additionnent » pas. Mais si un appareil d'enregistrement est situé à n'importe quel point de l'espace, alors son élément sensible sera mis en mouvement oscillatoire sous l'action des ondes. Chaque onde agit indépendamment des autres et le mouvement de l'élément sensible est la somme des oscillations. En d’autres termes, dans ce processus, non
ondes, mais des oscillations provoquées par des ondes cohérentes.
Riz. 3.1. Système de deux sources et d'un détecteur. L est la distance de la première source au détecteur, L' est la distance de la deuxième source au détecteur, d est la distance entre les sources.
À titre d'exemple de base, considérons l'interférence des ondes émises par deux sources ponctuelles cohérentes (voir Fig. 3.1). Les fréquences et phases initiales des oscillations de la source coïncident. Les sources sont à une certaine distance d les unes des autres. Le détecteur qui enregistre l'intensité du champ d'ondes généré est situé à une distance L de la première source. Le type de figure d'interférence dépend des paramètres géométriques des sources d'ondes cohérentes, de la dimension de l'espace dans lequel les ondes se propagent, etc.
Considérons les fonctions des ondes qui sont le résultat d'oscillations émises par deux sources ponctuelles cohérentes. Pour ce faire, commençons l'axe z comme indiqué sur la figure 3.1. Les fonctions d’onde ressembleront alors à ceci :
Introduisons le concept de différence de trajet d'onde. Pour ce faire, considérez les distances des sources au détecteur d'enregistrement L et L'. La distance entre la première source et le détecteur L diffère de la distance entre la deuxième source et le détecteur L' de la valeur t. Pour trouver t, considérons un triangle rectangle contenant t et d. Ensuite, vous pouvez facilement trouver t en utilisant la fonction sinus :
Cette valeur sera appelée la différence de trajectoire des vagues. Et maintenant, nous multiplions cette valeur par le nombre d'onde k et obtenons une valeur appelée différence de phase. Notons-le par ∆φ
Lorsque deux ondes « atteignent » le détecteur de fonction (3.1), elles prendront la forme :
Afin de simplifier la loi selon laquelle le détecteur va osciller, nous mettons à zéro la valeur (–kL + j1) dans la fonction x1(t). Écrivons la valeur L' dans la fonction x2(t) selon la fonction (3.4). Par de simples transformations, on obtient cela
On voit que les relations (3.3) et (3.6) sont les mêmes. Auparavant, cette valeur était définie comme la différence de phase. En partant de ce qui précède, la relation (3.6) peut être réécrite comme suit :
Maintenant, nous ajoutons les fonctions (3.5).
(3.8)
En utilisant la méthode des amplitudes complexes, on obtient la relation pour l'amplitude de l'oscillation totale :
où φ0 est déterminé par la relation (3.3).
Une fois que l’amplitude de l’oscillation totale a été trouvée, l’intensité de l’oscillation totale peut être trouvée comme le carré de l’amplitude :
(3.10)
Considérez le graphique de l'intensité de la fluctuation totale pour différents paramètres. L'angle θ varie dans l'intervalle (cela peut être vu sur la figure 3.1), la longueur d'onde varie de 1 à 5.
Considérer cas particulier quand L>>d. Un tel cas se produit généralement dans les expériences de diffusion des rayons X. Dans ces expériences, le détecteur de rayonnement diffusé est généralement situé à une distance bien supérieure aux dimensions de l'échantillon étudié. Dans ces cas, des ondes secondaires pénètrent dans le détecteur, qui peuvent être approximativement considérées comme des ondes planes avec une précision suffisante. Dans ce cas, les vecteurs d'ondes des ondes individuelles des ondes secondaires émises par différents centres de rayonnement diffusé sont parallèles. On suppose que les conditions de diffraction de Fraunhofer sont satisfaites dans ce cas.
2.3.2. Diffraction des rayons X
La diffraction des rayons X est un processus qui se produit lors de la diffusion élastique des rayons X et consiste en l'apparition de rayons déviés (diffractés) se propageant sous certains angles par rapport au faisceau primaire. La diffraction des rayons X est due à la cohérence spatiale des ondes secondaires qui apparaissent lorsque le rayonnement primaire est diffusé par les électrons qui composent les atomes. Dans certaines directions, déterminées par le rapport entre la longueur d'onde du rayonnement et les distances interatomiques dans la substance, les ondes secondaires s'ajoutent, étant dans la même phase, ce qui donne lieu à un faisceau de diffraction intense. Autrement dit, sous l’action du champ électromagnétique de l’onde incidente, les particules chargées présentes dans chaque atome deviennent sources d’ondes sphériques secondaires (diffusées). Des ondes secondaires distinctes interfèrent les unes avec les autres, formant des faisceaux de rayonnement à la fois amplifiés et atténués se propageant dans des directions différentes.
On peut supposer que la diffusion ne s'accompagne pas de dispersion et, par conséquent, la fréquence des ondes diffusées coïncide avec la fréquence de l'onde primaire. Si la diffusion est élastique, alors le module du vecteur d'onde ne change pas non plus.
Considérons le résultat de l'interférence des ondes secondaires en un point éloigné de tous les centres de diffusion à une distance bien supérieure aux distances interatomiques dans l'échantillon étudié (irradié). Supposons que le détecteur soit situé à ce point et les oscillations provoquées par les ondes diffusées arrivées à ce point s'ajoutent. Étant donné que la distance entre le diffuseur et le détecteur dépasse largement la longueur d'onde du rayonnement diffusé, les sections des ondes secondaires arrivant au détecteur peuvent être considérées comme plates avec un degré de précision suffisant et leurs vecteurs d'onde sont parallèles. Ainsi, l'image physique de la diffusion des rayons X, par analogie avec l'optique, peut être appelée diffraction de Fraunhofer.
En fonction de l'angle de diffusion q (l'angle entre le vecteur d'onde de l'onde primaire et le vecteur reliant le cristal et le détecteur), l'amplitude de l'oscillation totale atteindra un minimum ou un maximum. L'intensité du rayonnement enregistrée par le détecteur est proportionnelle au carré de l'amplitude totale. Par conséquent, l'intensité dépend de la direction de propagation des ondes diffusées atteignant le détecteur, de l'amplitude et de la longueur d'onde du rayonnement primaire, ainsi que du nombre et des coordonnées des centres de diffusion. De plus, l’amplitude de l’onde secondaire formée par un atome individuel (et donc l’intensité totale) est déterminée par le facteur atomique, qui est une fonction décroissante de l’angle de diffusion q, qui dépend de la densité électronique des atomes.
Considérons la distribution d'intensité du rayonnement produit par n sources ponctuelles cohérentes d'ondes monochromatiques. La géométrie d'un système composé de n sources ponctuelles cohérentes d'ondes monochromatiques et d'un détecteur pouvant se déplacer le long d'une ligne droite est représentée sur la Fig. 5.1.
Figure 3.3. Géométrie d'un système de n sources.
Les nombres 1,2,3,4,…,n désignent les positions des sources ponctuelles.
L'axe X est dirigé le long de la ligne de mouvement du détecteur. Où Z1 ,Z2, Z3, Z4 ,…, Zn, sont les distances entre la première, la deuxième, la troisième, …, la nième source et le récepteur, le long de l'axe X il y a une addition des intensités d'oscillations, L- distance à l'axe Xà la ligne reliant les sources.
Afin de trouver l’intensité de n sources, nous utilisons la relation (3.10). On additionne les amplitudes de manière vectorielle. Alors pour n sources la fonction (3.10) prend la forme :
Il s'agit de l'équation permettant de calculer l'intensité du rayonnement de n sources, où
Ici, il peut être calculé comme suit :
En remplaçant (3.12), (3.13) et (3.14) dans (3.11) on obtient :
2.3.4. facteur atomique
Le facteur atomique est une grandeur qui caractérise la capacité d'un atome ou d'un ion isolé à diffuser de manière cohérente des rayons X, des électrons ou des neutrons (on distingue respectivement le facteur atomique des rayons X, des électrons ou des neutrons). Le facteur atomique détermine l'intensité du rayonnement diffusé par un atome dans une certaine direction.
Considérons l'interaction d'une onde de rayons X avec un atome individuel. Champ électrique Les ondes génèrent des forces périodiques agissant sur toutes les particules chargées qui composent l'atome - sur les électrons et sur le noyau. L'accélération reçue par une particule est inversement proportionnelle à la masse de la particule. Chaque particule devient une source d’onde secondaire (c’est-à-dire diffusée). L'intensité du rayonnement est proportionnelle au carré de l'accélération, de sorte que le rayonnement diffusé est généré pratiquement uniquement par les électrons, de sorte que le facteur atomique des rayons X dépend de la distribution de la densité électronique dans l'atome.
Les électrons sont dispersés à l’intérieur de l’atome et la taille de l’atome est proportionnelle à la longueur de l’onde des rayons X. Par conséquent, les ondes secondaires créées par les électrons individuels de l’atome présentent une différence de phase. Ce déphasage Dφ dépend de la direction de propagation de l'onde diffusée par rapport à la direction du vecteur d'onde de l'onde primaire. Par conséquent, l’amplitude du rayonnement diffusé par un atome dépend de l’angle de diffusion.
Le facteur atomique f (ou fonction de diffusion atomique) est défini comme le rapport de l'amplitude d'onde diffusée par un atome à l'amplitude d'onde diffusée par un électron libre. La valeur du facteur atomique dépend de l'angle de diffusion q et de la longueur d'onde du rayonnement l. La quantité g = sin(q) / l est utilisée comme argument de la fonction facteur atomique dans les études de diffraction des rayons X.
Si l'angle polaire q = 0, alors la valeur du facteur atomique est égale au nombre d'électrons dans l'atome (en d'autres termes, le numéro atomique élément chimique dans le tableau périodique). À mesure que l’angle de diffusion q augmente, le facteur atomique f(g) diminue de façon monotone jusqu’à zéro. Une forme typique de la fonction de diffusion atomique est représentée sur la figure 3.4.
3.5. Diffraction Fraunhofer des rayons X par des atomes de cristal
Supposons qu'un faisceau de rayons X d'une certaine longueur d'onde l soit dirigé sur un échantillon cristallin. Dans la recherche physique (lors du déchiffrement de la structure atomique par la méthode de diffraction des rayons X, d'analyse élémentaire spectrale des rayons X, etc.), un schéma géométrique de l'expérience est généralement mis en œuvre avec les caractéristiques géométriques suivantes (voir Fig. 1).
Figure 3.5. Schéma géométrique d'irradiation d'un petit échantillon avec un faisceau de rayons X étroit.
1 – Générateur de rayons X (par exemple, tube à rayons X), 2 – collimateur, 3 – échantillon de test. Les flèches pointillées représentent les flux de rayons X.
Un faisceau étroit de rayons X est formé à l’aide d’un collimateur. L'échantillon cristallin irradié est situé à la sortie du collimateur à une distance bien supérieure à la taille de l'échantillon. Dans les études de diffraction des rayons X, les échantillons sont préparés avec une taille inférieure à la section transversale du faisceau. L'échantillon est dit « baigné » dans le faisceau de rayons X incidents (voir légende sur la figure 3.5).
On peut alors supposer avec une bonne précision qu’une onde électromagnétique plane de longueur l arrive sur l’échantillon étudié. En d’autres termes, tous les atomes de l’échantillon sont exposés à des ondes planes cohérentes avec des vecteurs d’ondes parallèles k0.
Les rayons X sont des ondes électromagnétiques transversales. Si l'axe de coordonnées Z est dirigé le long du vecteur d'onde k0, alors les composantes des champs électriques et magnétiques d'une onde électromagnétique plane peuvent s'écrire sous la forme suivante :
EX = EX0 cos(poids – k0 z + j0) EY = EY0 cos(poids – k0 z + j0)
BX = BX0 cos(poids – k0 z + j0) BY = BY0 cos(poids – k0 z + j0)
où t est le temps, w est la fréquence du rayonnement électromagnétique, k0 est le nombre d'onde, j0 est la phase initiale. Le nombre d'onde est le module du vecteur d'onde et est inversement proportionnel à la longueur d'onde k0 = 2π/l. La valeur numérique de la phase initiale dépend du choix du temps initial t0=0. Les grandeurs EX0, EY0, BX0, BY0 sont les amplitudes des composantes (3.16) correspondantes des champs électrique et magnétique de l'onde.
Ainsi, toutes les composantes (3.16) d'une onde électromagnétique plane sont décrites par des fonctions harmoniques élémentaires de la forme :
Y = A0 cos(poids – kz+ j0) (3.17)
Considérons la diffusion d'une onde X plane monochromatique sur un ensemble d'atomes de l'échantillon étudié (sur une molécule, un cristal de taille finie, etc.). L'interaction d'une onde électromagnétique avec les électrons des atomes conduit à la génération d'ondes électromagnétiques secondaires (diffusées). Selon l'électrodynamique classique, la diffusion par un électron individuel se produit dans un angle solide de 4p et présente une anisotropie significative. Si le rayonnement X primaire n'est pas polarisé, alors la densité de flux du rayonnement d'onde diffusé est décrite par la fonction suivante
où I0 est la densité de flux de rayonnement primaire, R est la distance entre le point de diffusion et l'endroit où le rayonnement diffusé est détecté, q est l'angle de diffusion polaire, qui est mesuré à partir de la direction du vecteur d'onde de l'onde primaire plane k0 (voir Fig. 3.6). Paramètre
» 2,818×10-6 nm(3,19)
historiquement appelé le rayon classique de l’électron.
Figure 3.6. Angle de diffusion polaire q d'une onde primaire plane sur un petit échantillon de Cr étudié.
Un certain angle q définit une surface conique dans l'espace. Le mouvement corrélé des électrons à l’intérieur d’un atome complique l’anisotropie du rayonnement diffusé. L'amplitude d'une onde de rayons X diffusée par un atome s'exprime en fonction de la longueur d'onde et de l'angle polaire f(q, l), que l'on appelle l'amplitude atomique.
Ainsi, la distribution angulaire de l'intensité d'une onde de rayons X diffusée par un atome est exprimée par la formule
et présente une symétrie axiale par rapport à la direction du vecteur d'onde de l'onde primaire k0. Le carré de l'amplitude atomique f 2 est appelé facteur atomique.
En règle générale, dans les configurations expérimentales de diffraction des rayons X et d'études spectrales des rayons X, le détecteur de rayons X diffusés est situé à une distance R bien supérieure aux dimensions de l'échantillon diffusé. Dans de tels cas, la fenêtre d'entrée du détecteur découpe un élément de la surface de la phase constante de l'onde diffusée, qui peut être supposée plate avec une grande précision.
Figure 3.8. Schéma géométrique de la diffusion des rayons X par les atomes de l'échantillon 1 dans les conditions de diffraction Fraunhofer.
2 – Détecteur de rayons X, k0 – vecteur d'onde de l'onde de rayons X primaire, les flèches en pointillés représentent les flux de rayons X primaires, les flèches en pointillés – les flux de rayons X diffusés. Les cercles indiquent les atomes de l'échantillon étudié.
De plus, les distances entre atomes voisins de l'échantillon irradié sont inférieures de plusieurs ordres de grandeur au diamètre de la fenêtre d'entrée du détecteur.
Par conséquent, dans cette géométrie de détection, le détecteur perçoit un flux d'ondes planes diffusées par des atomes individuels, et les vecteurs d'onde de toutes les ondes diffusées peuvent être supposés parallèles avec une grande précision.
Les caractéristiques ci-dessus de la diffusion des rayons X et leur enregistrement ont été historiquement appelées diffraction de Fraunhofer. Cette description approximative du processus de diffusion des rayons X sur les structures atomiques permet de calculer le diagramme de diffraction (distribution angulaire de l'intensité du rayonnement diffusé) avec une grande précision. La preuve en est que l'approximation de diffraction de Fraunhofer est à la base des méthodes de diffraction des rayons X pour étudier une substance, qui permettent de déterminer les paramètres des cellules unitaires des cristaux, de calculer les coordonnées des atomes, d'établir la présence de différentes phases dans un échantillon, déterminer les caractéristiques des défauts cristallins, etc.
Considérons un petit échantillon cristallin contenant un nombre fini N d'atomes avec un certain nombre chimique.
Nous introduisons un système de coordonnées rectangulaires. Son début est compatible avec le centre de l'un des atomes. La position de chaque centre atomique (centre de diffusion) est donnée par trois coordonnées. xj, yj, zj, où j est le numéro atomique.
Laissez l’échantillon étudié être exposé à une onde de rayons X primaire plane avec le vecteur d’onde k0 dirigé parallèlement à l’axe Oz du système de coordonnées sélectionné. Dans ce cas, l'onde primaire est représentée par une fonction de la forme (3.17).
La diffusion des rayons X par les atomes peut être à la fois inélastique et élastique. La diffusion élastique se produit sans modifier la longueur d'onde des rayons X. Avec la diffusion inélastique, la longueur d'onde du rayonnement augmente et les ondes secondaires sont incohérentes. Dans ce qui suit, seule la diffusion élastique des rayons X par les atomes est considérée.
Soit L la distance entre l'origine des coordonnées et le détecteur. Supposons que les conditions de diffraction de Fraunhofer soient satisfaites. En particulier, cela signifie que la distance maximale entre les atomes de l'échantillon irradié est inférieure de plusieurs ordres de grandeur à la distance L. Dans ce cas, l'élément sensible du détecteur est exposé à des ondes planes de vecteurs d'ondes k parallèles. Les modules de tous les vecteurs sont égaux au module du vecteur d'onde k0 = 2π/l.
Chaque onde plane provoque une oscillation harmonique d'une fréquence
Si l'onde primaire est approchée de manière satisfaisante par une harmonique plane, alors toutes les ondes secondaires (diffusées par les atomes) sont cohérentes. La différence de phase des ondes diffusées dépend de la différence entre les trajets de ces ondes.
Traçons un axe auxiliaire Ou depuis l'origine des coordonnées jusqu'au point où se trouve la fenêtre d'entrée du détecteur. Alors chaque secondaire se propageant dans la direction de cet axe peut être décrit par la fonction
y = A1 fcos(poids– kr+ j0) (3.22)
où l'amplitude A1 dépend de l'amplitude de l'onde primaire A0, et la phase initiale j0 est la même pour toutes les ondes secondaires.
L'onde secondaire émise par un atome situé à l'origine des coordonnées va créer une oscillation de l'élément sensible du détecteur, décrite par la fonction
A1 f(q) cos(poids – kL+ j0) (3.23)
D'autres ondes secondaires créeront des oscillations de même fréquence (3.21), mais différant de la fonction (3.23) par un déphasage, qui à son tour dépend de la différence de trajet des ondes secondaires.
Pour un système d'ondes monochromatiques cohérentes planes se déplaçant dans une certaine direction, le déphasage relatif Dj est directement proportionnel à la différence de marche DL
Dj = k × DL (3,24)
où k est le nombre d'onde
k = 2π/l. (3.25)
Pour calculer la différence de marche des ondes secondaires (3.23), nous supposons d'abord que l'échantillon irradié est une chaîne unidimensionnelle d'atomes située le long de l'axe de coordonnées Ox (voir Fig. 3.9). Les coordonnées atomiques sont données par les nombres xi, (j = 0, 1, …, N–1), où x0 = 0. La surface de la phase constante de l'onde plane primaire est parallèle à la chaîne d'atomes, et le le vecteur d'onde k0 lui est perpendiculaire.
Nous allons calculer un diagramme de diffraction plat, c'est-à-dire distribution angulaire de l'intensité du rayonnement diffusé dans le plan illustré à la Fig. 3.9. Dans ce cas, l'orientation de l'emplacement du détecteur (c'est-à-dire la direction de l'axe auxiliaire Or) est donnée par l'angle de diffusion, qui est mesuré à partir de l'axe Oz, c'est-à-dire sur la direction du vecteur d'onde k0 de l'onde primaire.
Figure 3.9. Schéma géométrique de la diffraction de Fraunhofer dans un plan donné sur une chaîne rectiligne d'atomes
Sans perte de généralité du raisonnement, on peut supposer que tous les atomes sont situés sur le demi-axe droit Ox. (sauf pour l'atome situé au centre des coordonnées).
Puisque les conditions de diffraction de Fraunhofer sont satisfaites, les vecteurs d'onde de toutes les ondes diffusées par les atomes arrivent à la fenêtre d'entrée du détecteur avec des vecteurs d'onde parallèles k.
De la figure 3.9, il s'ensuit que l'onde émise par un atome de coordonnée xi parcourt la distance jusqu'au détecteur L – xisin(q). Ainsi, l'oscillation de l'élément sensible du détecteur, provoquée par l'onde secondaire émise par l'atome de coordonnée xi, est décrite par la fonction
A1 f(q) cos(wt – k(L– xj sin(q)) + j0) (3.26)
Le reste des ondes diffusées qui pénètrent dans la fenêtre du détecteur, qui se trouve dans une position donnée, ont une forme similaire.
La valeur de la phase initiale j0 est déterminée essentiellement par le moment du début de la référence temporelle. Rien n’empêche de choisir j0 égal à –kL. Alors le mouvement de l'élément sensible du détecteur sera représenté par la somme
Cela signifie que la différence de marche des ondes diffusées par les atomes de coordonnées xi et x0 est –xisin(q), et la différence de phase correspondante est égale à kxisin(q).
La fréquence w des oscillations des ondes électromagnétiques dans la gamme des rayons X est très élevée. Pour les rayons X de longueur d'onde l = Å, la fréquence w est d'environ 1019 s-1 par ordre de grandeur. Les équipements modernes ne peuvent pas mesurer les valeurs instantanées des champs électriques et magnétiques (1) avec des changements de champ aussi rapides, c'est pourquoi tous les détecteurs de rayons X enregistrent la valeur moyenne du carré de l'amplitude des oscillations électromagnétiques.
L'intensité enregistrée des rayons X diffusés par les atomes de l'échantillon irradié est le carré de l'amplitude de la vibration totale (11). Pour calculer cette valeur, il convient d'utiliser la méthode des amplitudes complexes. On écrit chaque terme de la somme (11) sous la forme complexe
A1 fexp (3.28)
où i est l'unité imaginaire, Djj est le déphasage égal à kxjsin(q) dans l'image physique considérée.
L'expression (12) peut être réécrite sous la forme
A1 feiwte–iDjj (3.29)
Le facteur dépendant du temps décrit les oscillations du champ électromagnétique avec la fréquence w. Le module de cette quantité est égal à un. En conséquence, l'amplitude complexe de l'oscillation électromagnétique exprimée par la fonction (12) a la forme :
A1 fexp[–iDjj] (3.30)
L'amplitude complexe de l'oscillation totale enregistrée par le détecteur est égale à la somme des quantités (3.30), et la sommation est effectuée sur tous les centres de diffusion - c'est-à-dire sur tous les atomes de l’échantillon irradié. Le carré de la partie réelle de cette somme détermine l'intensité détectée du rayonnement X diffusé
jusqu'au coefficient instrumental (facteur déterminé par les caractéristiques de l'appareil d'enregistrement).
L'intensité (3.31) est fonction de l'angle polaire q et décrit dans le plan xoz la distribution angulaire des rayons X diffusés par une chaîne d'atomes située le long de l'axe ox.
Considérons maintenant la diffusion des rayons X par un ensemble fini d’atomes dans le même plan. Supposons qu'une onde de rayons X plane avec un vecteur d'onde k0 perpendiculaire au plan atomique soit incidente sur ce système d'atomes.
Associer aux axes du système physique donnés Coordonnées cartésiennes. Dirigons l'axe oz le long du vecteur k0, et plaçons les axes ox et oY dans le plan atomique. La position de chaque atome est donnée par deux coordonnées xj et yj, où j = 0,… N – 1. Soit l'origine des coordonnées alignée avec le centre de l'un des atomes, qui porte le numéro j = 0.
Considérons la diffusion des rayons X dans un demi-espace z > 0. Dans ce cas, on peut supposer que le détecteur se déplace le long d'un hémisphère d'un certain rayon R, bien plus grand que la taille de l'échantillon irradié. La direction vers le détecteur dans les conditions de diffraction Fraunhofer coïncide avec les vecteurs d'onde k des ondes diffusées arrivant à la fenêtre d'entrée du détecteur. Cette direction est caractérisée par deux angles : la polaire q, qui est tracée à partir de l'axe oz (comme dans les figures 3.9 et 3.10), et l'azimut Ф, qui est mesuré à partir de l'axe ox dans le plan xoY (voir figure 3.10). En d’autres termes, q est l’angle entre les vecteurs d’onde des ondes k0 primaires et k diffusées. L'azimut Ф est l'angle entre l'axe OX et la projection du vecteur k sur le plan XOY.
Comme dans le cas précédent d'une chaîne d'atomes unidimensionnelle, l'amplitude de la vibration totale enregistrée par le détecteur est déterminée par les déphasages relatifs des ondes cohérentes diffusées par les atomes individuels. Le déphasage des ondes diffusées est lié à la différence de marche par la relation (3.24), comme dans le cas considéré ci-dessus.
Trouvons la différence de marche entre les ondes diffusées par les atomes de coordonnées (x0=0, y0=0) et (x, y) dans la direction donnée par le vecteur d'onde k (c'est-à-dire certains angles q et Ф). Traçons l'axe auxiliaire OU le long de la projection du vecteur k sur le plan XOY (voir Fig. 3.10).
Figure 3.10. Sur le calcul de la différence de marche des ondes secondaires diffusées sur un système planaire d'atomes dans les conditions de diffraction Fraunhofer.
Le point F sur l'axe OU est la projection du centre du jème atome. La longueur du segment OF est xcos(Ф) + ysin(Ф), qui peut être obtenue par une transformation de coordonnées ou une construction géométrique. La projection du segment OF sur la direction du vecteur d'onde k donne la différence de marche requise - la longueur du segment OG, égale à
Dl = péché(q). (3.32)
Par conséquent, le déphasage des ondes secondaires diffusées par les atomes de coordonnées (x0=0, y0=0) et (xj, yj) dans la direction donnée par certains angles q et Ф est égal à
Djj = k péché(q). (3.33)
L'intensité enregistrée du rayonnement X diffusé est exprimée par une formule similaire à (3.31) :
Enfin, considérons la diffraction Fraunhofer des rayons X par un objet tridimensionnel. Utilisons le système de coordonnées cartésiennes utilisé dans le problème précédent. L'image physique ne diffère de la précédente que par le fait que les centres de certains atomes ont des coordonnées zj¹ 0.
La surface de la phase constante de l'onde monochromatique du plan primaire atteint des centres de diffusion avec différentes coordonnées z¹ 0 à différents moments. En conséquence, la phase initiale de l'onde diffusée par l'atome de coordonnée z¹ 0 sera en retard sur la phase de l'onde diffusée par l'atome de coordonnée z = 0 par wDt, où Dt = z / v, v est la propagation de l'onde rapidité. La fréquence et la longueur d'onde sont liées par la relation
w = 2pv / l(3,35)
par conséquent, le déphasage de l'onde diffusée est de -2pz/l ou -kz.
D'un autre côté, si la coordonnée du jème atome est zj¹ 0, la différence de marche par rapport à l'onde diffusée "zéro" augmente en outre de zcos(q). En conséquence, le déphasage d'une onde diffusée par un atome de coordonnées arbitraires (xj, yj, zj) dans la direction spécifiée par les angles q et Ф est égal à
Djj = k ( sin(q) + zjcos(q) -zj). (3.36)
L'intensité des rayons X diffusés enregistrés par le détecteur est exprimée par la formule suivante :
3. Partie pratique
3.1. pseudosymétrie
3.1.1. Pseudosymétrie rotationnelle des diagrammes de diffraction
La symétrie est l'invariance d'un système physique ou géométrique par rapport à divers types de transformations.
Les différents types de symétrie sont déterminés par les transformations sous lesquelles le système donné est invariant. Il existe une symétrie de translation, une symétrie de rotation, une symétrie de similarité, etc.
La symétrie est l'une des propriétés fondamentales de l'Univers. Même les lois fondamentales de la physique : la conservation de l'énergie, de la quantité de mouvement et du moment cinétique sont associées à certaines transformations symétriques du continuum espace-temps.
Une transformation particulière sous laquelle un système donné est invariant est appelée opération de symétrie. L'ensemble des points qui restent fixes sous une transformation symétrique forme un élément de symétrie. Par exemple, si l'opération de symétrie est la rotation, alors l'élément de symétrie correspondant sera l'axe autour duquel la rotation s'effectue.
La symétrie des systèmes physiques finis dont les éléments de symétrie se coupent au moins en un point est appelée symétrie ponctuelle. La symétrie ponctuelle comprend l'invariance par rapport à la rotation d'un certain angle (symétrie de rotation), l'invariance par rapport à la réflexion dans un certain plan (symétrie du miroir), l'invariance par rapport à l'inversion en un point donné (symétrie d'inversion).
La symétrie de la grande majorité des objets physiques n’est pas absolue. Cela signifie que le système physique ou géométrique n'est pas complètement invariant sous la transformation considérée.
Pour une description quantitative des écarts par rapport à la symétrie exacte, une fonctionnelle appelée degré d'invariance ou coefficient de pseudosymétrie est utilisée.
Supposons que toute caractéristique physique de l'objet étudié soit décrite par une fonction d'un point. Cette fonction peut être la densité de masse, la température, le potentiel électrique, la densité charge électrique etc. Nous la symétrie d'un objet donné par rapport à une transformation donnée par une opération. Ensuite, le degré d'invariance est déterminé par la formule suivante (4.1), où V est le volume de l'objet. Sous l'intégrale au numérateur se trouve le produit de la fonction et la fonction du même objet soumis à transformation. Le numérateur est appelé la convolution de la fonction par rapport à l'opération. Le dénominateur est Intégrale définie par le volume de l'objet à partir du carré de la fonction.
Le dénominateur de la formule (4.1) sert de normalisation, donc la valeur de la fonctionnelle peut varier de 0 à 1. Si le système physique considéré est totalement invariant par rapport à l'opération, alors le coefficient de pseudosymétrie est égal à un. La valeur = 0 correspond au cas où la symétrie du système par rapport au fonctionnement est totalement absente.
Le concept de degré d'invariance peut également être étendu pour décrire la symétrie de la distribution angulaire de l'intensité des rayons X diffusés. Tout d'abord, nous nous intéressons à l'invariance des diagrammes de diffraction par rapport à la rotation d'un certain angle azimutal autour du point correspondant à l'angle polaire q = 0. Autrement dit, le but de l'étude est la symétrie de rotation de l'angle polaire. répartition de l'intensité des rayons X diffusés, et la rotation s'effectue autour du vecteur d'onde k0 du rayonnement primaire.
Pour étudier les caractéristiques de la symétrie de rotation des diagrammes de diffraction, nous pouvons adapter la fonctionnelle générale (1). La fonction étudiée dans ce cas est la distribution angulaire de l'intensité des rayons X diffusés I(q, Ф), et l'opération de symétrie est la rotation du diagramme de diffraction de l'angle azimutal a autour du point central du diagramme avec un angle polaire q = 0. Ainsi, une caractéristique quantitative de la symétrie de rotation du diagramme de diffraction est la fonctionnalité suivante :
Les intégrales internes sont prises sur la plage de l'angle azimutal ФО , et les intégrales externes sont prises sur la plage de l'angle polaire qО .
Il convient de prêter attention à certaines caractéristiques importantes de tous les diagrammes de diffraction. Sur la figure 4.1. On constate que le maximum central de l'intensité du rayonnement diffusé se situe au centre du diagramme polaire. Ce maximum présente une symétrie élevée, proche de la symétrie du groupe limite С¥. Dans la distribution angulaire du rayonnement diffusé, le maximum central occupe une certaine plage d'angles polaires qÎ . La demi-largeur du maximum central dépend essentiellement de la longueur d'onde des rayons X l et du nombre d'atomes diffusants.
Il est également très important que l'intensité du maximum central dépasse largement l'intensité de tous les autres points de la distribution angulaire bidimensionnelle des rayons X diffusés. Au contraire, à mesure que l’angle polaire augmente, l’intensité du rayonnement diffusé diminue en moyenne fortement. Cela signifie que la région périphérique du diagramme de diffraction (la région des angles polaires dépassant une certaine valeur qM) n'a pratiquement aucun effet sur la valeur du coefficient de pseudosymétrie rotationnelle (4.2).
En conséquence, la principale contribution au degré d’invariance (4.2) vient du maximum central. En d’autres termes, la symétrie élevée du maximum central supprime les éléments de symétrie de tous les autres éléments caractéristiques du diagramme de diffraction.
Pour une étude détaillée de la pseudosymétrie rotationnelle de la distribution angulaire du rayonnement X diffusé, il convient de calculer les fonctionnelles de la forme suivante :
Les intégrales externes sur l'angle polaire ont des limites qui peuvent être fixées par le chercheur, ce qui permet d'étudier la pseudosymétrie de rotation dans différents intervalles de l'angle polaire. En d’autres termes, les quantités du type (4.3) donnent des estimations quantitatives de la pseudosymétrie rotationnelle du diagramme de diffraction à l’intérieur d’un anneau donnée par une paire d’angles polaires q1 et q2. (voir fig.4.1).
Il est naturel de diviser la plage des angles polaires en sous-gammes d'une certaine largeur dq = q2 -q1 et de calculer les coefficients de pseudosymétrie pour toutes ces sous-gammes.
Figure 4.1. Un anneau dans le diagramme polaire d'un diagramme de diffraction qui limite la plage des angles polaires.
Il a été mentionné ci-dessus que dans la simulation informatique de la distribution angulaire de l'intensité des rayons X diffusés, la fonction I(q, Ф) est représentée par un ensemble bidimensionnel de valeurs numériques I(ql, jm) pour fini ensembles discrets d'angles ql = lDq, l=1,…nq ; Фm = mDF, m =1,…nФ. Par conséquent, lors du calcul des coefficients de pseudosymétrie ha à partir des résultats du calcul de la distribution angulaire de l'intensité des rayons X diffusés, les intégrales doubles de l'expression (4.2) se transforment en sommes doubles
Si nous nous intéressons à la pseudosymétrie de rotation moyenne de l'ensemble du diagramme de diffraction, alors le degré d'invariance est donné par la formule suivante :
Si nous voulons étudier la pseudosymétrie rotationnelle dans différentes sous-gammes de l'angle polaire (voir Fig.4.1), alors il est nécessaire de calculer le rapport des sommes pour les intervalles correspondants du type (4.3). Ensuite les coefficients de pseudosymétrie sont présentés sous la forme :
où les indices l1 et l2 correspondent aux valeurs des angles polaires q1 et q2
q1 = l1 Dq, q2 = l2 Dq. (4.6)
En fixant certaines valeurs de l'angle de rotation a, on peut calculer les coefficients de pseudosymétrie ha des diagrammes de diffraction pour des rotations d'ordres différents. Si l’on s’intéresse à la pseudosymétrie rotationnelle du nième ordre, alors l’angle de rotation a est exprimé par la relation.
un = 2p / n. (4.7)
3.1.2. Simulation informatique de la diffusion des rayons X sur des molécules et des fragments de structures cristallines
DANS travail présent les caractéristiques du rayonnement X diffusé par un ensemble fini d'atomes dans les conditions de diffraction Fraunhofer ont été calculées. Le rayonnement primaire des rayons X était représenté comme une onde monochromatique plane avec un certain vecteur d’onde k0 et une longueur d’onde l.
La distribution angulaire de l'intensité des rayons X diffusés par un ensemble fini d'atomes est représentée par une fonction I(q, Ф), qui dépend de deux angles - polaire q et azimutal Ф. Les angles q et Ф déterminent la direction vers le détecteur de rayons X diffusés, qui coïncide avec le vecteur d'onde k de l'onde de rayons X diffusés.
L'angle polaire q est mesuré à partir de la direction du vecteur d'onde k0 de l'onde X primaire. L'angle azimutal Ф est tracé dans un plan perpendiculaire au vecteur k0. L'azimut Ф est l'angle entre la projection du vecteur d'onde k de l'onde diffusée sur ce plan et un axe azimutal arbitrairement choisi.
L'ensemble des valeurs de la fonction I(q, Ф) pour toutes les valeurs possibles des arguments q et Ф est souvent appelé diagramme de diffraction.
Dans notre problème, la diffusion des rayons X dans l’hémisphère « avant » est prise en compte. Par conséquent, l'angle polaire q appartient à la plage ,. L'angle azimutal Ф prend des valeurs dans l'intervalle )