Utasítás

Kényelmes cselekedni, ha az alakja sokszög. Mindig lebonthatja egy véges számra, és csak egy képletre kell emlékeznie - egy háromszög területére. Tehát egy háromszög az oldala hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a fele. Az egyes háromszögek azon területeinek összegzésével, amelyekké egy bonyolultabb háromszöget alakított át akarata, megtudhatja a kívánt eredményt.

Nehezebb megoldani egy tetszőleges szám területének meghatározásának problémáját. Egy ilyen figurának nemcsak, hanem ívelt határai is lehetnek. Vannak módok hozzávetőleges számítás elvégzésére. Egyszerű.

Először is használhat egy palettát. Ez egy átlátszó anyagból készült műszer, amelynek felületére ismert területű négyzetekből vagy háromszögekből álló rács található. Ha a palettát a keresett alakzat tetejére helyezi, újra kiszámítja a képet átfedő mértékegységeinek számát. Kombináld egymással a nem teljesen zárt mértékegységeket, fejben egészítsd ki őket teljessé. Ezután egy palettaforma területét megszorozva a kiszámított számmal megtudhatja, hogy tetszőleges alakzatának hozzávetőlegesen mekkora területe van. Nyilvánvaló, hogy minél sűrűbb a rács a palettán, annál pontosabb az eredmény.

Másodszor, felvázolhatja a háromszögek maximális számát egy tetszőleges alakzat határain belül, amelynek területét meghatározza. Határozza meg mindegyik területét, és adja hozzá a területeiket. Ez nagyon durva eredmény lesz. Ha kívánja, külön is meghatározhatja az ívek által határolt szegmensek területét. Ehhez képzelje el, hogy a szegmens része a . Szerkessze meg ezt a kört, majd a középpontjából húzzon sugarakat az ív széleihez. A szakaszok α szöget zárnak be egymás között. Minden területét a π*R^2*α/360 határozza meg. Az ábra minden egyes kisebb részére meghatározza a területet, és a kapott értékek összeadásával kapja meg a teljes eredményt.

A harmadik módszer nehezebb, de pontosabb és egyesek számára könnyebb. Bármely ábra területe meghatározható az integrál segítségével. A definiált függvény a függvény grafikonjától az abszcisszáig terjedő területet mutatja. A két gráf közé zárt terület úgy határozható meg, hogy az azonos határokon belüli integrálból kivonunk egy kisebb értékű integrált kitűnő érték. Ennek a módszernek a használatához kényelmes átvinni tetszőleges ábráját egy koordináta-rendszerbe, majd meghatározni azok funkcióit, és a magasabb matematika módszereivel cselekedni, amelyekbe itt és most nem fogunk belemenni.

A Föld mérésének ismerete az ókorban jelent meg, és fokozatosan formálódott a geometria tudományában. Ezt a szót görögül „földmérés”-nek fordítják.

A Föld lapos szakaszának kiterjedésének mértéke hosszban és szélességben a terület. A matematikában általában a latin S betűvel (az angol „square” - „terület”, „négyzet”) vagy a görög σ (szigma) betűvel jelölik. Az S egy síkon lévő ábra területét vagy egy test felületét jelöli, σ pedig egy huzal keresztmetszete a fizikában. Ezek a fő szimbólumok, bár lehetnek mások, például az anyagok szilárdsága terén, az A a profil keresztmetszete.

Számítási képletek

Az egyszerű ábrák területeinek ismeretében megtalálhatja az összetettebbek paramétereit.. Az ókori matematikusok olyan képleteket dolgoztak ki, amelyekkel könnyen kiszámíthatók. Ilyen alakok a háromszög, négyszög, sokszög, kör.

Egy összetett síkfigura területének meghatározásához sok egyszerű figurára kell felosztani, például háromszögekre, trapézokra vagy téglalapokra. Ezután matematikai módszerekkel képletet kapunk az ábra területére. Hasonló módszert alkalmaznak nemcsak a geometriában, hanem a matematikai elemzésben is a görbék által határolt ábrák területeinek kiszámítására.

Háromszög

Kezdjük a legegyszerűbb ábrával - egy háromszöggel. Téglalap alakúak, egyenlő szárúak és egyenlő oldalúak. Vegyünk egy tetszőleges ABC háromszöget, amelynek oldala AB=a, BC=b és AC=c (∆ ABC). Területének megtalálásához idézzük fel a jól ismert iskolai tanfolyam szinuszok és koszinuszok matematikai tételei. Minden számítástól eltekintve a következő képletekhez jutunk:

• S=√ - mindenki által ismert Heron-képlet, ahol p=(a+b+c)/2 a háromszög fél kerülete;
• S=a h/2, ahol h az a oldalra süllyesztett magasság;
• S=a b (sin γ)/2, ahol γ az a és b oldalak közötti szög;
• S=a b/2, ha ∆ ABC négyszögletes (itt a és b lábak);
• S=b² (sin (2 β))/2, ha ∆ ABC egyenlő szárú (itt b az egyik „csípő”, β a háromszög „csípői” közötti szög);
• S=a² √¾, ha ∆ ABC egyenlő oldalú (itt a a háromszög egyik oldala).

Négyszög

Legyen egy ABCD négyszög AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Egy tetszőleges 4-szög S területének meghatározásához az átlójával két háromszögre kell osztani, amelyeknek S1 és S2 területe általában nem egyenlő.

Ezután a képletekkel számolja ki őket, és adja össze őket, azaz S=S1+S2. Ha azonban egy 4-szög egy bizonyos osztályba tartozik, akkor a területe megtalálható a korábban ismert képletekkel:

• S=(a+c) h/2=e h, ha a tetragon trapéz (itt a és c az alapok, e a trapéz középvonala, h a trapéz egyik alapjához süllyesztett magasság);
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ha ABCD paralelogramma (itt φ az a és b oldal közötti szög, h az a oldalra esett magasság, d1 és d2 átló);
• S=a b=d²/2, ha ABCD egy téglalap (d egy átló);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ha ABCD egy rombusz (a a rombusz oldala, φ az egyik szöge, P a kerülete);
• S=a²=P²/16=d²/2, ha az ABCD négyzet.

Poligon

Az n-szög területének meghatározásához a matematikusok a legegyszerűbb egyenlő alakokra - háromszögekre - bontják, megkeresik mindegyik területét, majd összeadják őket. De ha a sokszög a szabályos osztályhoz tartozik, akkor használja a képletet:

S=a n h/2=a² n/=P²/, ahol n a sokszög csúcsainak (vagy oldalainak) száma, a az n-szög oldala, P a kerülete, h az apotéma, azaz a a sokszög közepétől annak egyik oldaláig 90°-os szögben húzott szakasz.

Kör

A kör egy tökéletes sokszög végtelen számú oldallal. Ki kell számolnunk a jobb oldali kifejezés határát egy olyan sokszög területének képletében, amelynek oldalai száma n a végtelen felé tart. Ebben az esetben a sokszög kerülete egy R sugarú kör hosszává változik, amely a körünk határa lesz, és egyenlő lesz P=2 π R értékkel. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a fenti képletbe. A következőket kapjuk:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Határozzuk meg ennek a kifejezésnek az n→∞ határértékét. Ehhez figyelembe vesszük, hogy lim (cos (180°/n)) n→∞ esetén cos 0°=1 (lim a határ előjele), és lim = lim n→∞ esetén egyenlő 1/π (a fokmértéket radiánná alakítottuk, a π rad=180° összefüggést használva, és az első figyelemre méltó határértéket lim (sin x)/x=1 x→∞-nél alkalmaztuk). A kapott értékeket S utolsó kifejezésébe behelyettesítve a jól ismert képlethez jutunk:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Egységek

Szisztémás és nem rendszerszintű mértékegységeket használnak. A rendszeregységek az SI-hez (System International) tartoznak. Ez négyzetméter(nm, m²) és az abból származó mértékegységek: mm², cm², km².

Négyzetmilliméterben (mm²) mérik például a vezetékek keresztmetszeti területét az elektrotechnikában, négyzetcentiméterben (cm²) - a gerenda keresztmetszetét a szerkezeti mechanikában, négyzetméterben (m²) - lakásban vagy házban, négyzetkilométerben (km²) - a földrajzban .

Néha azonban nem rendszerszintű mértékegységeket használnak, mint például: szövés, ar (a), hektár (ha) és acre (ac). Mutassuk be a következő összefüggéseket:

• 1 szövés=1 a=100 m²=0,01 hektár;
• 1 ha=100 a=100 acre=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 hektár = 0,405 hektár.

A geometriai alakzatok területei számértékek, amelyek a méretüket jellemzik kétdimenziós térben. Ez az érték rendszer- és nem rendszeregységekben mérhető. Tehát például egy nem rendszerszintű területegység egy század, egy hektár. Ez az eset áll fenn, ha a mért felület egy földdarab. A terület rendszeregysége a hosszúság négyzete. Az SI rendszerben a sík felület mértékegysége a négyzetméter. A GHS-ben a területegységet négyzetcentiméterben fejezik ki.

A geometria és a területképletek elválaszthatatlanul összefüggenek. Ez az összefüggés abban rejlik, hogy a síkidomok területének számítása pontosan ezek alkalmazásán alapul. Számos ábra esetében több lehetőség is származik, amelyekből kiszámítják a négyzet méretét. A problémafeltételek adatai alapján meghatározhatjuk a lehető legegyszerűbb megoldást. Ez megkönnyíti a számítást, és minimálisra csökkenti a számítási hibák valószínűségét. Ehhez vegye figyelembe az ábrák fő területeit a geometriában.

Bármely háromszög területének meghatározására szolgáló képletek többféleképpen is bemutathatók:

1) A háromszög területét az a alapból és a h magasságból kell kiszámítani. Az alapnak azt az oldalát tekintjük, amelyen a magasság le van engedve. Ekkor a háromszög területe:

2) A derékszögű háromszög területét ugyanúgy számítjuk ki, ha a hipotenúzust tekintjük alapnak. Ha a lábat vesszük alapul, akkor a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a felezett lábak szorzatával.

A háromszög területének kiszámítására szolgáló képletek nem érnek véget. Egy másik kifejezés tartalmazza oldalak a,b valamint az a és b közötti γ szög szinuszfüggvénye. A szinuszérték a táblázatokban található. Számológép segítségével is megtudhatja. Ekkor a háromszög területe:

Ezzel az egyenlőséggel arról is meggyőződhet, hogy a derékszögű háromszög területét a lábak hossza határozza meg. Mert γ szög derékszög, tehát a derékszögű háromszög területét a szinuszfüggvénnyel való szorzás nélkül számítjuk ki.

3) Fontolja meg különleges eset- olyan szabályos háromszög, amelynek a oldala feltétel alapján ismert, vagy a hossza a megoldás során megtalálható. A geometriai feladatban szereplő ábráról többet nem tudunk. Akkor hogyan lehet megtalálni a területet ilyen feltételek mellett? Ebben az esetben a szabályos háromszög területének képletét alkalmazzák:

Téglalap

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét és használni a közös csúcsú oldalak méreteit? A számítási kifejezés a következő:

Ha az átlók hosszát kell használnia egy téglalap területének kiszámításához, akkor szükség lesz a metszéskor kialakult szög szinuszának függvényére. A téglalap területének képlete a következő:

Négyzet

A négyzet területét az oldalhossz második hatványaként határozzuk meg:

A bizonyítás abból a definícióból következik, hogy a négyzet téglalap. Minden oldal, amely négyzetet alkot, azonos méretű. Ezért egy ilyen téglalap területének kiszámítása azt jelenti, hogy az egyiket meg kell szorozni a másikkal, azaz az oldal második hatványával. És a négyzet területének kiszámításának képlete a kívánt formát veszi fel.

A négyzet területe más módon is megtalálható, például ha az átlót használja:

Hogyan lehet kiszámítani egy alakzat területét, amelyet egy kör által határolt sík rész alkot? A terület kiszámításához a következő képleteket kell használni:

Paralelogramma

A paralelogramma esetében a képlet tartalmazza az oldal lineáris méreteit, a magasságot és a matematikai műveletet - szorzást. Ha a magasság ismeretlen, akkor hogyan lehet megtalálni a paralelogramma területét? Van egy másik módszer is a számításra. Egy bizonyos értékre lesz szükség, amelyet a szomszédos oldalak által alkotott szög trigonometrikus függvénye, valamint azok hossza veszi fel.

A paralelogramma területének képletei a következők:

Rombusz

Hogyan találjuk meg a rombusznak nevezett négyszög területét? A rombusz területét egyszerű matematikával, átlókkal határozzuk meg. A bizonyítás azon a tényen alapul, hogy a d1 és d2 átlós szakaszai derékszögben metszik egymást. A szinusztáblázat azt mutatja, hogy derékszög esetén ez a függvény egyenlő az egységgel. Ezért a rombusz területét a következőképpen számítják ki:

A rombusz területe más módon is megtalálható. Ezt sem nehéz bizonyítani, tekintve, hogy oldalai azonos hosszúságúak. Ezután helyettesítse a szorzatukat egy hasonló kifejezéssel egy paralelogrammára. Hiszen ennek a konkrét alaknak egy speciális esete a rombusz. Itt γ a rombusz belső szöge. A rombusz területét a következőképpen határozzuk meg:

Trapéz alakú

Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét az (a és b) alapokon keresztül, ha a probléma a hosszukat jelzi? Itt a h magassághossz ismert értéke nélkül nem lehet kiszámítani egy ilyen trapéz területét. Mert ez az érték tartalmazza a számítási kifejezést:

Ugyanígy kiszámítható egy téglalap alakú trapéz négyzetmérete is. Figyelembe kell venni, hogy egy téglalap alakú trapézben a magasság és az oldal fogalma egyesül. Ezért téglalap alakú trapéz esetén a magasság helyett az oldaloldal hosszát kell megadni.

Henger és paralelepipedon

Nézzük meg, mi szükséges a teljes henger felületének kiszámításához. Ennek az ábrának a területe egy alapnak nevezett körpár és egy oldalfelület. A köröket alkotó körök sugara r-rel egyenlő. Egy henger területére a következő számítás történik:

Hogyan lehet megtalálni egy paralelepipedon területét, amely három pár arcból áll? Mérete megegyezik az adott párral. Az ellentétes arcok ugyanazokkal a paraméterekkel rendelkeznek. Először keresse meg S(1), S(2), S(3) - az egyenlőtlen lapok négyzetméreteit. Ekkor a paralelepipedon felülete:

Gyűrű

Két kört közös központ gyűrűt alkotnak. A gyűrű területét is korlátozzák. Ugyanakkor mindkettőt számítási képletek vegye figyelembe az egyes körök méreteit. Közülük az első, amely a gyűrű területét számítja, a nagyobb R és a kisebb r sugarakat tartalmazza. Gyakrabban külsőnek és belsőnek nevezik őket. A második kifejezésben a gyűrű területét a nagyobb D és a kisebb d átmérők alapján számítjuk ki. Így a gyűrű területét az ismert sugarak alapján a következőképpen számítjuk ki:

A gyűrű területét az átmérők hosszának felhasználásával a következőképpen határozzuk meg:

Poligon

Hogyan lehet megtalálni egy olyan sokszög területét, amelynek alakja nem szabályos? Általános képlet Területre vonatkozóan nincsenek ilyen adatok. De ha koordinátasíkon van ábrázolva, például lehet kockás papír, akkor ebben az esetben hogyan lehet megtalálni a felületet? Itt olyan módszert alkalmaznak, amely nem igényli az ábra hozzávetőleges mérését. Ezt teszik: ha olyan pontokat találnak, amelyek a cella sarkába esnek, vagy teljes koordinátákkal rendelkeznek, akkor csak azokat veszik figyelembe. Ha meg szeretné tudni, hogy mi a terület, használja a Peake által bizonyított képletet. Össze kell adni a szaggatott vonalon belül található pontok számát, amelyen a pontok fele található, és ki kell vonni egyet, azaz a következőképpen számítjuk ki:

ahol B, G - a pontok száma a teljes szaggatott vonalon belül és a teljes vonalon.

Végtelen számú, különböző alakú, szabályos és szabálytalan alakú lapos figura létezik. Az összes figura közös tulajdonsága, hogy mindegyiknek van egy területe. Az ábrák területei az ábrák által elfoglalt síkrész méretei, bizonyos mértékegységekben kifejezve. Ezt az értéket mindig pozitív számként fejezzük ki. A mértékegység annak a négyzetnek a területe, amelynek oldala egyenlő egy hosszegységgel (például egy méter vagy egy centiméter). Bármely szám hozzávetőleges területe kiszámítható úgy, hogy megszorozzuk azon egységnégyzetek számát, amelyekre osztva van egy négyzet területével.

A fogalom további meghatározásai a következők:

1. Az egyszerű ábrák területei olyan skaláris pozitív mennyiségek, amelyek kielégítik a feltételeket:

Az egyenlő számoknak egyenlő területei vannak;

Ha egy alakzatot részekre (egyszerű ábrákra) osztunk, akkor területe ezen figurák területének összege;

A mértékegység oldalával rendelkező négyzet területegységként szolgál.

2. Az összetett alakú alakzatok (sokszögek) területei a következő tulajdonságokkal rendelkező pozitív mennyiségek:

Az egyenlő sokszögek területe azonos;

Ha egy sokszög több másik sokszögből áll, akkor területe megegyezik az utóbbiak területének összegével. Ez a szabály nem átfedő sokszögekre érvényes.

Axiómaként elfogadott, hogy az ábrák (sokszögek) területei pozitív mennyiségek.

A kör területének meghatározását külön adjuk meg, mint azt az értéket, amelyre egy adott kör körbe írt területe hajlik - annak ellenére, hogy az oldalainak száma a végtelenbe hajlik.

A szabálytalan alakú figurák területei (tetszőleges alakzatok) nem rendelkeznek definícióval, csak a számítási módszerek vannak meghatározva.

A területszámítás már az ókorban is fontos gyakorlati feladat volt a földterületek méretének meghatározásakor. A több száz éves területszámítás szabályait görög tudósok fogalmazták meg, és Eukleidész Elemeiben tételként fogalmazták meg. Érdekes, hogy a bennük lévő egyszerű figurák területeinek meghatározására vonatkozó szabályok megegyeznek a jelenlegivel. Az íves kontúrú területeket a határig való áthaladás segítségével számítottuk ki.

Egy egyszerű téglalap vagy négyzet területének kiszámítása, amely mindenki számára ismerős az iskolából, meglehetősen egyszerű. Még csak nem is szükséges memorizálni a tartalmat betűjelölések képletek az ábrák területére. Elég néhányra emlékezni egyszerű szabályok:

2. A téglalap területét úgy számítjuk ki, hogy a hosszát megszorozzuk a szélességével. Szükséges, hogy a hosszúságot és a szélességet azonos mértékegységekben fejezzük ki.

3. Kiszámítjuk egy összetett ábra területét úgy, hogy több egyszerűre osztjuk, és összeadjuk a kapott területeket.

4. A téglalap átlója két háromszögre osztja, amelyek területe egyenlő és egyenlő a terület felével.

5. Egy háromszög területét a magasság és az alap szorzatának feleként számítjuk ki.

6. A kör területe megegyezik a sugár négyzetének és a jól ismert „π” szám szorzatával.

7. A paralelogramma területét a szomszédos oldalak és a közöttük lévő szög szinuszának szorzataként számítjuk ki.

8. A rombusz területe ½ az átlók és a belső szög szinuszának az eredménye.

9. Határozza meg a trapéz területét úgy, hogy megszorozza a magasságát a hosszával középvonal, amely megegyezik az alapok számtani átlagával. Egy másik lehetőség a trapéz területének meghatározására, hogy megszorozzuk átlóit és a közöttük lévő szög szinuszát.

Gyerekek bent Általános Iskola Az egyértelműség kedvéért gyakran adnak feladatokat: keresse meg a papírra rajzolt ábra területét egy paletta vagy egy átlátszó papírlap segítségével, négyzetekre osztva. Egy ilyen papírlapot ráhelyezünk a mérendő ábrára, megszámoljuk a körvonalába illeszkedő teljes cellák (területegységek) számát, majd a hiányosak számát, amelyet kettéosztunk.

Fontos jegyzetek!
1. Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt megtenni a böngészőben:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, ahol megtalálja a leghasznosabb forrásokat

Hogyan találjuk meg a kockás papíron lévő ábrák területét:

Illusztráljuk első út.

Tegyük fel, hogy meg kell találnia egy ilyen trapéz területét, amelyet egy ketrecben lévő papírlapra építettek

Csak megszámoljuk a sejteket, és ezt látjuk a mi esetünkben, és. Helyettesítsd be a képletbe:

Még téglalap alakúnak is tűnik, de mivel egyenlő, és mivel? Hogyan lehet megtudni? Használjuk mindkét módszert a teljes áttekinthetőség érdekében.

I. módszer

II. módszer (elárulok egy titkot - ez a módszer jobb!)

Az alakunkat egy téglalappal kell körülvennünk. Mint ez:

Az eredmény egy (szükséges) háromszög belül és három felesleges háromszög kívül. De ezeknek a felesleges háromszögeknek a területei könnyen kiszámolhatók egy kockás papírlapon!

Tehát megszámoljuk őket, majd egyszerűen kivonjuk őket a teljes téglalapból.

Miért jobb ez a módszer? Mert a legravaszabb figuráknál is működik.

Egy téglalappal körbevesszük, és ismét egy szükséges, de összetett területet és sok felesleges, de egyszerű területet kapunk.

Most, hogy megtaláljuk a területet, egyszerűen megkeressük a téglalap területét, és kivonjuk belőle a kockás papíron lévő figurák fennmaradó területét.

ÁBRÁK NEGYEDÉRE VÁLTOZOTT PAPÍRRA. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

Algoritmus az ábrák területének megkeresésére kockás papíron:

1. módszer: (kényelmes szabványos alakzatokhoz: háromszög, trapéz stb.)

1. A cellák megszámlálásával és egyszerű tételek alkalmazásával keresse meg azokat az oldalakat, magasságokat, átlókat, amelyek szükségesek a területképlet alkalmazásához.
2. Helyettesítsd be a talált értékeket a területegyenletbe.

2. módszer: (nagyon kényelmes az összetett figurákhoz, de nem rossz az egyszerűek számára)

1. Egészítse ki a kívánt ábrát téglalappá.
2. Keresse meg a kapott további figurák területét és magának a téglalapnak a területét.
3. A téglalap területéből vonja ki az összes extra alakzat területének összegét.

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban benne vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikerességért letette az egységes államvizsgát, költségvetési keretből való felvételhez és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 499 RUR

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!