Dans la plupart des cas, lors d'une expérience, plusieurs grandeurs sont mesurées par plusieurs instruments, et pour obtenir le résultat final, ces mesures doivent être traitées à l'aide d'opérations mathématiques : addition, multiplication, etc. Par conséquent, il est nécessaire d’évaluer la précision de l’expérience dans son ensemble en calculant les erreurs quadratiques marginales et moyennes de l’expérience.

Règles de calcul de l'erreur expérimentale relative maximale :

1. L’erreur de la somme se situe entre la plus grande et la plus petite des erreurs relatives des termes. Habituellement, soit l'erreur la plus grande, soit la valeur moyenne arithmétique est prise en compte (dans les travaux de laboratoire, nous utiliserons la valeur moyenne arithmétique).

2. L'erreur d'un produit ou d'un quotient est égale à la somme des erreurs relatives des facteurs ou du dividende et du diviseur, respectivement.

3. Erreur nème degré de base dans n fois l’erreur relative de la base.

Pour calculer l'erreur quadratique moyenne du résultat de mesures indirectes, il est nécessaire de garantir l'indépendance des résultats de mesure. Dans ce cas, l'erreur quadratique moyenne dans le calcul de la valeur W, qui est fonction de paramètres directement mesurés X, oui, z, ... est déterminé par la formule :

où sont les dérivées partielles de la fonction calculées aux valeurs moyennes des paramètres X, oui, z, …, - écarts corrigés, respectivement X, oui, z, ….

Exemple. Détermination de l'erreur des mesures indirectes

À la suite de mesures répétées, des valeurs moyennes et des erreurs quadratiques moyennes de 3 paramètres mutuellement indépendants ont été obtenues :

a) erreur de mesure relative maximale et erreur relative maximale dans la détermination de la fonction

b) valeur moyenne et erreur quadratique moyenne de la détermination de la fonction

a) Trouver les erreurs de mesure relatives maximales X, oui, z selon la formule (13) :

Erreur relative maximale dans la détermination de la fonction

Trouvons, d'après les règles de calcul de l'erreur relative maximale d'expérience :

b) Calculer la valeur moyenne de la fonction

Pour calculer l'erreur quadratique moyenne lors de la détermination de la fonction à l'aide de la formule (14), nous trouvons les dérivées partielles :

et calculez-les à des valeurs moyennes X, oui, z:

En remplaçant par la formule (14), on obtient :

4. Calcul des caractéristiques du modèle de régression linéaire

L’analyse de corrélation-régression est l’une des méthodes efficaces pour établir des relations entre les facteurs.

La tâche de la méthode de corrélation-régression est de trouver une équation empirique qui caractérise la relation entre le paramètre résultant Oui avec un certain facteur d'entrée X.

Comme forme de communication Oui Et X La dépendance linéaire est largement utilisée en raison de sa simplicité de calcul, mais aussi du fait que de nombreux autres types de dépendance peuvent y être réduits.

Le calcul d'un modèle de régression linéaire comprend les étapes suivantes :

1. Calcul de l’équation théorique de régression linéaire ;

2. Évaluation de la force de la connexion, calcul du coefficient de corrélation ;

3. Évaluation de la significativité du coefficient de corrélation ;

4. Évaluer la signification des coefficients de l'équation de régression ;

5. Déterminer l'adéquation de l'équation de régression et des limites de confiance.

Régression linéaire Oui sur X a la forme :

où α et β sont des paramètres de régression (β est appelé coefficient de régression).

Les estimations statistiques des paramètres de régression α et β sont sélectionnées de manière à ce que les valeurs calculées par la formule soient aussi proches que possible des valeurs empiriques. La somme des carrés des écarts est choisie comme mesure de proximité. La méthode de recherche de paramètres en minimisant la somme des carrés des écarts des valeurs empiriques par rapport aux valeurs théoriques aux mêmes points est appelée méthode des moindres carrés.

Les valeurs optimales des paramètres obtenues selon cette méthode sont déterminées par les formules :

où et sont les valeurs moyennes X Et Oui, qui sont calculés à l'aide des formules :

Compte tenu de (15), nous écrivons la droite de régression empirique sous la forme :

Force de la dépendance à la corrélation linéaire Oui Et X caractérise le coefficient de corrélation r. Coefficient r varie de à 1. Plus il est proche de , plus la relation linéaire est forte Oui Et X, dans le cas limite, si , il existe une dépendance fonctionnelle linéaire exacte Oui depuis X. Si donc Oui Et X ne correspondent pas. En estimant le coefficient de corrélation r sert d'exemple de coefficient de corrélation, qui est calculé par la formule :

Le coefficient de corrélation déterminé à partir de données d'échantillonnage peut ne pas coïncider avec la valeur réelle correspondant à la population générale. Pour tester l'hypothèse statistique sur la signification du coefficient de corrélation de l'échantillon, utilisez t-Test t de Student dont la valeur observée est calculée à l'aide de la formule :

Valeur critique t-les critères de nombre de degrés de liberté et de niveau de signification α sont trouvés à partir des tableaux de points critiques de la distribution de Student. Si , alors l'hypothèse concernant la valeur nulle du coefficient de corrélation n'est pas confirmée et le coefficient de corrélation de l'échantillon est significatif. Si , alors la valeur r proche de zéro.

Pour estimer les paramètres inclus dans l'équation de régression (16), lors de la résolution de problèmes pratiques, nous pouvons nous limiter à construire des intervalles de confiance. Pour une fiabilité donnée γ, les intervalles de confiance pour les paramètres et β sont déterminés par les formules :

où est la valeur critique t-le critère du nombre de degrés de liberté et du niveau de signification, que l'on retrouve à partir des tableaux des points critiques de la distribution de Student, - la racine carrée de la variance résiduelle, que l'on retrouve par la formule :

Après avoir obtenu une équation de régression empirique, vérifiez dans quelle mesure elle correspond aux résultats d'observation. Pour tester l'hypothèse sur la signification de l'équation de régression, utilisez F-Critère de Fisher dont la valeur observée est calculée à l'aide de la formule :

où est la variance corrigée Oui, qui est calculé par la formule :

Valeur critique F-les critères du nombre de degrés de liberté et du niveau de signification α sont trouvés à partir des tableaux des points critiques de la distribution de Fisher-Snedecor. Si , alors l'hypothèse de l'insignifiance de l'équation de régression n'est pas confirmée et l'équation correspond aux résultats d'observation. Si , alors l’équation résultante est insignifiante.

Une autre caractéristique permettant de mesurer dans quelle mesure une équation empirique décrit un système d'observation donné est le coefficient de détermination. d, qui est calculé par la formule :

Plus le coefficient est proche dà un, meilleure est la description.

Une fois le modèle construit, il est utilisé à des fins d’analyse et de prévision. La prévision est effectuée en substituant le facteur dans l'équation (17). L’estimation ponctuelle qui en résulte est :

L'intervalle de confiance pour la valeur prédite est :

où est la valeur critique t-critère de nombre de degrés de liberté et de niveau de signification, que l'on retrouve à partir des tableaux de points critiques de la distribution de Student.

Exemple. Construire un modèle de régression linéaire

Sur la base de données d'observation, déterminez les paramètres de l'équation de régression linéaire Oui sur X. Recherchez les coefficients de régression et de corrélation et testez l'hypothèse sur la signification du coefficient de corrélation de l'échantillon. Trouvez des intervalles de confiance pour les paramètres de l'équation de régression. Déterminez le coefficient de détermination. Testez l’hypothèse sur la signification de l’équation de régression résultante. Trouver la valeur prédite par le modèle ouià x=x 0 et trouvez un intervalle de confiance pour cela. Prenons le niveau de signification égal à 0,05.

X
Oui	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

Pour obtenir les paramètres de l'équation de régression, créons un tableau. Tableau 2

	0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7		0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
	9,6				1,66	83,8		0,0479

La dernière ligne du tableau montre les sommes des colonnes utilisées dans les calculs.

Trouvons les valeurs moyennes X Et Oui selon la formule (16) :

Calculons le coefficient de régression à l'aide de la formule (15) :

Et nous obtenons une équation de régression empirique en substituant dans (17) :

A l'aide de la formule (28), nous calculons les valeurs théoriques et remplissons les deux dernières colonnes du tableau 2.

Calculons le coefficient de corrélation à l'aide de la formule (18) :

Et testons l'hypothèse sur sa signification. On retrouve la valeur observée du critère à l'aide de la formule (19) :

A l'aide du tableau des points critiques de la distribution de Student, on trouve le point critique de la distribution de Student avec le nombre de degrés de liberté et le niveau de signification. On obtient et compare et : donc le coefficient de corrélation est significatif, et. Oui Et X sont reliés par une corrélation linéaire.

Pour déterminer les intervalles de confiance des paramètres de l'équation de régression linéaire (28), on trouve la variance résiduelle à l'aide de la formule (22) :

En substituant la formule (20), nous obtenons un intervalle de confiance pour. En calculant, nous obtenons une estimation d'intervalle pour avec fiabilité.

On obtient l'intervalle de confiance pour l'utilisation de la formule (21) :

Ainsi, l'estimation d'intervalle pour le paramètre avec fiabilité

Vérifions l'hypothèse sur la signification de l'équation de régression résultante. Pour calculer la valeur observée F-critères nous trouverons l'écart corrigé Oui en utilisant la formule (24) : En remplaçant par la formule (23), on obtient : En utilisant le tableau des points critiques de la distribution de Fisher-Snedecor pour le nombre de degrés de liberté et au niveau de signification, on trouve En comparant les valeurs observées et critiques F-critère, on obtient donc que l'équation est significative.

Pour évaluer l'adéquation du modèle linéaire aux valeurs observées, on retrouve également le coefficient de détermination à l'aide de la formule (25) :

Ce résultat s'interprète comme suit : 97,1% de variabilité Oui expliqué par un changement de facteur X, et les facteurs aléatoires restants représentent 2,9 % de la variabilité. Cependant, cette conclusion n'est valable que pour la plage de valeurs considérée X.

Nous utilisons l'équation (28) pour la prévision. Avec une estimation ponctuelle pour oui on obtient en substituant dans la formule (28) : L'intervalle de confiance car on obtient de la formule (27) :

Enfin, estimation d'intervalle pour avec fiabilité

Soit connue deux grandeurs physiques mesurées indépendamment et avec des erreurs et respectivement. Alors les règles suivantes sont valables :

1. L'erreur absolue de la somme (différence) est la somme des erreurs absolues. Autrement dit, si

Une estimation plus raisonnable (en tenant compte du fait que les valeurs sont indépendantes et qu'il est peu probable que leurs vraies valeurs soient simultanément aux extrémités des plages) est obtenue à l'aide de la formule :

Dans toutes les Olympiades scolaires, l'utilisation de l'une ou l'autre de ces deux formules est autorisée. Des formules similaires sont valables pour le cas de plusieurs (plus de deux) termes.

Exemple:

Laissez la valeur ,

.

2. L'erreur relative d'un produit (quotient) est la somme des erreurs relatives.

Autrement dit, si

Comme dans le cas précédent, la formule serait plus raisonnable

Des formules similaires sont valables dans le cas de plusieurs (plus de deux) facteurs.

Ainsi, suite à l’addition de deux quantités, l’erreur absolue de la quantité est d’abord calculée, puis l’erreur relative peut être calculée.

Exemple:

Laissez la valeur ,

3. Règle d'exponentiation. Si donc.

Exemple:

4. Règle de multiplication par une constante. Si .

Exemple:

5. Les fonctions de grandeurs plus complexes sont décomposées en calculs plus simples, dont les erreurs peuvent être calculées à l'aide des formules présentées ci-dessus.

Exemple:

Laisser

6. Si la formule de calcul est complexe et ne peut être réduite au cas décrit ci-dessus, alors les écoliers familiarisés avec la notion de dérivée partielle peuvent trouver l'erreur de mesure indirecte comme suit : soit , alors

ou une estimation plus simple :

Exemple:

Laisser

7. Les écoliers qui ne sont pas familiers avec les dérivées peuvent utiliser la méthode des frontières, qui consiste en ce qui suit : sachons que pour chaque quantité il existe une plage dans laquelle se situe sa vraie valeur. Calculons la valeur minimale et maximale possible d'une valeur dans la zone où les valeurs sont spécifiées :

Pour l'erreur absolue d'une valeur, on prend la demi-différence de la valeur maximale et minimale :

Exemple:

Laisser

Règles d'arrondi

Lors du traitement des résultats de mesure, un arrondi est souvent nécessaire. Dans ce cas, il est nécessaire de s'assurer que l'erreur résultant de l'arrondi est au moins d'un ordre de grandeur inférieure aux autres erreurs. Cependant, laisser trop de chiffres significatifs est également une erreur, car cela implique une perte de temps précieux. Dans la plupart des cas, il suffit d’arrondir l’erreur à deux chiffres significatifs, et le résultat au même ordre que l’erreur. Lors de la rédaction de la réponse finale, il est d'usage de ne laisser qu'un seul chiffre significatif dans l'erreur, sauf dans le cas où ce chiffre est un, alors vous devez laisser deux chiffres significatifs dans l'erreur. De plus, l'ordre d'un nombre est souvent retiré des parenthèses, de sorte que le premier chiffre significatif du nombre reste soit dans l'ordre des unités, soit dans l'ordre des dixièmes.

Par exemple, supposons que le module d'Young de l'acier et de l'aluminium ait été mesuré et que les valeurs suivantes aient été obtenues (avant arrondi) :

, , , .

La réponse finale correctement rédigée ressemblera alors à :

Graphique

Dans de nombreux problèmes proposés aux Olympiades de physique pour les écoliers, il est nécessaire de supprimer la dépendance d'une grandeur physique par rapport à une autre, puis d'analyser cette dépendance (comparer la dépendance expérimentale avec la dépendance théorique, déterminer les paramètres inconnus de la dépendance théorique). Un graphique est le moyen le plus pratique et le plus visuel de présenter des données et de les analyser plus en détail. Par conséquent, les critères de notation pour la plupart des problèmes expérimentaux incluent des points pour la représentation graphique, même si la représentation graphique n'est pas explicitement requise dans la condition. Ainsi, si, lors de la résolution d'un problème, vous doutez qu'un graphique soit nécessaire ou non pour cette tâche, faites un choix en faveur d'un graphique.

Règles de construction d'un graphique

1. Le graphique est dessiné sur du papier millimétré. Si du papier millimétré n'a pas été fourni immédiatement lors de l'épreuve expérimentale de l'Olympiade, vous devez le demander aux organisateurs.

2. Le graphique doit être signé en haut afin qu'il soit toujours possible de déterminer quel participant a construit ce graphique. Le travail doit indiquer qu'un graphique approprié a été construit au cas où le graphique serait perdu lors de l'examen.

3. L’orientation du papier millimétré peut être paysage ou portrait.

4. Le graphique doit avoir des axes de coordonnées. L'axe vertical se trouve sur le côté gauche du graphique et l'axe horizontal est en bas.

5. L'axe vertical doit correspondre aux valeurs de la fonction et l'axe horizontal aux valeurs des arguments.

6. Les axes du graphique sont dessinés avec une empreinte de 1 à 2 cm du bord du papier millimétré.

7. Chaque axe doit être étiqueté, c'est-à-dire que la grandeur physique tracée le long de cet axe et (séparée par une virgule) l'unité de sa mesure doit être indiquée. Les entrées sous la forme « », « » et « » sont équivalentes, mais les deux premières options sont préférables. L'axe horizontal est signé à gauche à l'extrémité supérieure et l'axe vertical est signé en bas à l'extrémité droite.

8. Les axes ne doivent pas nécessairement se croiser au point (0,0).

9. L'échelle du graphique et la position de l'origine sur les axes de coordonnées sont sélectionnées de manière à ce que les points tracés soient situés, si possible, sur toute la surface de la feuille. Dans ce cas, les zéros des axes de coordonnées peuvent ne pas apparaître du tout sur le graphique.

10. Les lignes tracées sur du papier millimétré à travers un centimètre doivent tomber sur les valeurs rondes. Il est pratique de travailler avec un graphique si 1 cm sur du papier millimétré correspond à 1, 2, 4, 5 * 10 n unités de mesure le long d'un axe donné. Certaines divisions sur l'axe doivent être signées. Les divisions signées doivent être à égales distances les unes des autres. Il doit y avoir au moins 4 divisions étiquetées sur l'axe et pas plus de 10.

11. Les points doivent être tracés sur le graphique de manière à ce qu'ils soient clairement et clairement visibles. Afin de montrer que la valeur tracée sur le graphique comporte une erreur, des segments sont dessinés à partir de chaque point de haut en bas, à droite et à gauche. La longueur des segments horizontaux correspond à l'erreur de la valeur tracée le long de l'axe horizontal, la longueur des segments verticaux correspond à l'erreur de la valeur tracée le long de l'axe vertical. Ainsi, les zones de définition du point expérimental, appelées croix d'erreur, sont désignées. Les croix d'erreur doivent être tracées sur le graphique, sauf dans les cas suivants : dans l'énoncé du problème, une instruction directe est donnée de ne pas évaluer les erreurs ; Dans ce dernier cas, il faut indiquer que l'erreur sur les valeurs est trop faible pour être tracée le long de cet axe. Dans de tels cas, la taille du point est considérée comme correspondant à l’erreur de mesure.

12. Efforcez-vous de vous assurer que votre emploi du temps est pratique, compréhensible et soigné. Construisez-le avec un crayon pour pouvoir corriger les erreurs. N'étiquetez pas la valeur correspondante à côté du point - cela encombrerait le graphique. Si plusieurs relations sont affichées sur le même graphique, utilisez des symboles ou des couleurs différents pour les points. Pour déterminer quel type de points expérimentaux correspond à quelle dépendance, utilisez la légende du tracé. Les ratures sont autorisées sur le graphique (si la gomme a échoué ou s'il n'y avait pas de bon crayon à portée de main), mais elles doivent être faites avec soin. Vous ne devriez pas utiliser de correcteur de trait - cela a l'air moche.

Note: Toutes les règles ci-dessus s'appliquent uniquement pour des raisons de commodité lors du travail avec le calendrier. Cependant, lors du contrôle des œuvres aux Olympiades, le jury utilise ces règles comme critères formels : l'échelle est mal choisie - moins un demi-point. Par conséquent, ces règles doivent être strictement respectées lors de l’Olympiade.

Exemple:

A droite se trouve un graphique construit non pas selon les critères, mais à gauche, construit selon les règles ci-dessus.

Erreurs dans les mesures de grandeurs physiques

1.Introduction (mesure et erreur de mesure)

2. Erreurs aléatoires et systématiques

3. Erreurs absolues et relatives

4. Erreurs des instruments de mesure

5. Classe de précision des instruments de mesure électriques

6.Erreur de lecture

7. Erreur absolue totale des mesures directes

8. Enregistrement du résultat final de la mesure directe

9. Erreurs de mesures indirectes

10.Exemple

1. Introduction (mesure et erreur de mesure)

La physique en tant que science est née il y a plus de 300 ans, lorsque Galilée a essentiellement créé l'étude scientifique des phénomènes physiques : les lois physiques sont établies et testées expérimentalement en accumulant et en comparant des données expérimentales, représentées par un ensemble de nombres, les lois sont formulées dans le langage des mathématiques, c'est-à-dire en utilisant des formules qui relient les valeurs numériques des grandeurs physiques par dépendance fonctionnelle. La physique est donc une science expérimentale, la physique est une science quantitative.

Faisons connaissance avec quelques caractéristiques de toute mesure.

Mesurer consiste à trouver expérimentalement la valeur numérique d'une grandeur physique à l'aide d'instruments de mesure (règle, voltmètre, montre, etc.).

Les mesures peuvent être directes ou indirectes.

La mesure directe est la détermination de la valeur numérique d'une grandeur physique directement au moyen d'une mesure. Par exemple, la longueur - avec une règle, la pression atmosphérique - avec un baromètre.

La mesure indirecte consiste à trouver la valeur numérique d'une grandeur physique à l'aide d'une formule qui relie la quantité souhaitée à d'autres quantités déterminées par des mesures directes. Par exemple, la résistance d'un conducteur est déterminée par la formule R=U/I, où U et I sont mesurés par des instruments de mesure électriques.

Regardons un exemple de mesure.

Mesurez la longueur de la barre avec une règle (la valeur de division est de 1 mm). On peut seulement dire que la longueur de la barre est comprise entre 22 et 23 mm. La largeur de l'intervalle « inconnu » est de 1 mm, c'est-à-dire égale au prix de division. Le remplacement de la règle par un appareil plus sensible, tel qu'un pied à coulisse, réduira cet intervalle, ce qui entraînera une précision de mesure accrue. Dans notre exemple, la précision de mesure ne dépasse pas 1 mm.

Par conséquent, les mesures ne peuvent jamais être effectuées avec une précision absolue. Le résultat de toute mesure est approximatif. L'incertitude de mesure est caractérisée par une erreur - l'écart de la valeur mesurée d'une grandeur physique par rapport à sa valeur réelle.

Énumérons quelques-unes des raisons conduisant à des erreurs.

1. Précision de fabrication limitée des instruments de mesure.

2. Influence sur la mesure des conditions extérieures (changements de température, fluctuations de tension...).

3. Actions de l'expérimentateur (retard au démarrage du chronomètre, différentes positions des yeux...).

4. Le caractère approximatif des lois utilisées pour trouver les grandeurs mesurées.

Les causes d'erreurs répertoriées ne peuvent pas être éliminées, bien qu'elles puissent être minimisées. Pour établir la fiabilité des conclusions obtenues à la suite de recherches scientifiques, il existe des méthodes permettant d'évaluer ces erreurs.

2. Erreurs aléatoires et systématiques

Les erreurs survenant lors des mesures sont divisées en systématiques et aléatoires.

Les erreurs systématiques sont des erreurs correspondant à l'écart de la valeur mesurée par rapport à la valeur réelle d'une grandeur physique, toujours dans un sens (augmentation ou diminution). Avec des mesures répétées, l'erreur reste la même.

Raisons des erreurs systématiques :

1) non-conformité des instruments de mesure à la norme ;

2) installation incorrecte des instruments de mesure (inclinaison, balourd) ;

3) écart entre les indicateurs initiaux des instruments et zéro et ignorer les corrections qui surviennent à cet égard ;

4) écart entre l'objet mesuré et l'hypothèse sur ses propriétés (présence de vides, etc.).

Les erreurs aléatoires sont des erreurs qui modifient leur valeur numérique de manière imprévisible. De telles erreurs sont causées par un grand nombre de raisons incontrôlables qui affectent le processus de mesure (irrégularités à la surface de l'objet, vent soufflant, surtensions, etc.). L’influence des erreurs aléatoires peut être réduite en répétant l’expérience plusieurs fois.

3. Erreurs absolues et relatives

Pour quantifier la qualité des mesures, les notions d'erreurs de mesure absolues et relatives sont introduites.

Comme déjà mentionné, toute mesure ne donne qu'une valeur approximative d'une grandeur physique, mais vous pouvez spécifier un intervalle qui contient sa vraie valeur :

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Valeur D A est appelée l'erreur absolue dans la mesure de la quantité A. L'erreur absolue est exprimée en unités de la quantité mesurée. L'erreur absolue est égale au module de l'écart maximum possible de la valeur d'une grandeur physique par rapport à la valeur mesurée. Et pr est la valeur d'une grandeur physique obtenue expérimentalement si la mesure a été effectuée à plusieurs reprises, alors la moyenne arithmétique de ces mesures ;

Mais pour évaluer la qualité de la mesure, il est nécessaire de déterminer l'erreur relative e. e = D A/A pr ou e= (D A/A pr)*100 %.

Si une erreur relative de plus de 10 % est obtenue lors de la mesure, on dit alors que seule une évaluation de la valeur mesurée a été effectuée. Dans les laboratoires des ateliers de physique, il est recommandé d'effectuer des mesures avec une erreur relative allant jusqu'à 10 %. Dans les laboratoires scientifiques, certaines mesures précises (par exemple, la détermination de la longueur d'onde de la lumière) sont effectuées avec une précision au millionième de pour cent.

4. Erreurs des instruments de mesure

Ces erreurs sont aussi appelées instrumentales ou instrumentales. Ils sont déterminés par la conception de l'appareil de mesure, la précision de sa fabrication et son étalonnage. Ils se contentent généralement des erreurs instrumentales autorisées signalées par le fabricant dans le passeport de cet appareil. Ces erreurs tolérées sont réglementées par les GOST. Cela s'applique également aux normes. Habituellement, l'erreur instrumentale absolue est notée D et A.

S'il n'y a aucune information sur l'erreur tolérée (par exemple, avec une règle), alors la moitié de la valeur de division peut être considérée comme cette erreur.

Lors du pesage, l'erreur instrumentale absolue comprend les erreurs instrumentales des balances et des poids. Le tableau montre les erreurs tolérées les plus courantes

instruments de mesure rencontrés dans les expériences scolaires.

Mesure	Limite de mesure	Valeur de la division	Erreur admissible
étudiant dirigeant
règle de démonstration
mètre ruban
gobelet
poids 10,20, 50 mg
pèse 100 200 mg
poids 500 mg
étriers
micromètre
dynamomètre
échelles de formation
Chronomètre			1 s en 30 min
baromètre anéroïde	720-780 mmHg.	1 mmHg	3 mmHg
thermomètre de laboratoire	0-100 degrés Celsius
ampèremètre scolaire
voltmètre scolaire

5. Classe de précision des instruments de mesure électriques

Les instruments de mesure électriques à pointeur, basés sur les valeurs d'erreur tolérées, sont divisés en classes de précision, qui sont indiquées sur les échelles des instruments par les chiffres 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1,0 ; 1,5 ; 2,5 ; 4.0. Classe de précision gpr L'appareil indique le pourcentage d'erreur absolue par rapport à l'échelle totale de l'appareil.

g pr = (D et A/A max)*100% .

Par exemple, l'erreur instrumentale absolue d'un appareil de classe 2,5 est de 2,5 % de son échelle.

Si la classe de précision de l'appareil et son échelle sont connues, l'erreur absolue de mesure instrumentale peut être déterminée

D et A = (g pr * A max)/100.

Pour augmenter la précision des mesures avec un instrument de mesure électrique à pointeur, il est nécessaire de sélectionner un appareil avec une échelle telle que pendant le processus de mesure, il se situe dans la seconde moitié de l'échelle de l'instrument.

6. Erreur de lecture

L'erreur de lecture résulte d'une lecture insuffisamment précise des instruments de mesure.

Dans la plupart des cas, l'erreur de lecture absolue est considérée comme égale à la moitié de la valeur de division. Des exceptions sont faites lors de la mesure avec une horloge (les aiguilles bougent par saccades).

L'erreur absolue de lecture est généralement notée Fait une

7. Erreur absolue totale des mesures directes

Lors de la réalisation de mesures directes de la grandeur physique A, les erreurs suivantes doivent être évaluées : D et A, D oA et D сА (aléatoire). Bien entendu, d'autres sources d'erreurs liées à une mauvaise installation des instruments, au mauvais alignement de la position initiale de la flèche de l'instrument avec 0, etc. doivent être exclues.

L’erreur absolue totale de la mesure directe doit inclure les trois types d’erreurs.

Si l'erreur aléatoire est faible par rapport à la plus petite valeur pouvant être mesurée par un instrument de mesure donné (par rapport à la valeur de division), alors elle peut être négligée et une seule mesure suffit alors pour déterminer la valeur d'une grandeur physique. Sinon, la théorie des probabilités recommande de trouver le résultat de la mesure comme la moyenne arithmétique des résultats de toute la série de mesures multiples et de calculer l'erreur du résultat à l'aide de la méthode des statistiques mathématiques. La connaissance de ces méthodes dépasse le cadre du programme scolaire.

8. Enregistrement du résultat final de la mesure directe

Le résultat final de la mesure de la grandeur physique A doit être écrit sous cette forme ;

A = A pr + D A, e = (D A/A pr)*100 %.

Et pr est la valeur d'une grandeur physique obtenue expérimentalement si la mesure a été effectuée à plusieurs reprises, alors la moyenne arithmétique de ces mesures ; D A est l’erreur absolue totale de la mesure directe.

L'erreur absolue est généralement exprimée par un chiffre significatif.

Exemple : L=(7,9 + 0,1) mm, e=13%.

9. Erreurs de mesures indirectes

Lors du traitement des résultats de mesures indirectes d'une grandeur physique fonctionnellement liée aux grandeurs physiques A, B et C, qui sont mesurées directement, l'erreur relative de la mesure indirecte est d'abord déterminée e=D X/X pr, en utilisant les formules données dans le tableau (sans preuve).

L'erreur absolue est déterminée par la formule D X = X pr * e,

où e exprimé sous forme de fraction décimale plutôt que de pourcentage.

Le résultat final est enregistré de la même manière que dans le cas de mesures directes.

Type de fonction	Formule
X=A+B+C
X=AB
X=A*B*C
X=A n
X=A/B

Exemple: Calculons l'erreur de mesure du coefficient de frottement à l'aide d'un dynamomètre. L'expérience consiste à tirer un bloc uniformément sur une surface horizontale et à mesurer la force appliquée : elle est égale à la force de frottement de glissement.

A l'aide d'un dynamomètre, peser le bloc avec des poids : 1,8 N. F tr =0,6 N

μ = 0,33. L'erreur instrumentale du dynamomètre (on la trouve dans le tableau) est Δ et = 0,05 N, Erreur de lecture (la moitié de la valeur de division)

Δ o =0,05 N. L'erreur absolue dans la mesure du poids et de la force de frottement est de 0,1 N.

Erreur de mesure relative (5ème ligne du tableau)

, donc l'erreur absolue de la mesure indirecte μ est de 0,22*0,33=0,074

Dans la pratique du laboratoire, la plupart des mesures sont indirectes et la grandeur qui nous intéresse est fonction d'une ou plusieurs grandeurs directement mesurées :

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Comme il ressort de la théorie des probabilités, la valeur moyenne d'une quantité est déterminée en substituant les valeurs moyennes des quantités directement mesurées dans la formule (13), c'est-à-dire

¯ N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) (14)

Il est nécessaire de trouver les erreurs absolues et relatives de cette fonction si les erreurs des variables indépendantes sont connues.

Considérons deux cas extrêmes où les erreurs sont soit systématiques, soit aléatoires. Il n'y a pas de consensus concernant le calcul de l'erreur systématique dans les mesures indirectes. Cependant, si l'on part de la définition de l'erreur systématique comme l'erreur maximale possible, alors il convient de trouver erreur systématique selon des formules

(15) ou

Où

fonctions dérivées partielles N= ƒ(x, y, z, ...) par rapport à l'argument x, y, z..., trouvé sous l'hypothèse que tous les autres arguments, à l'exception de celui par rapport auquel la dérivée est trouvée, sont constants ;
δx, δy, δz erreurs systématiques d'arguments.

La formule (15) est pratique à utiliser si la fonction a la forme d'une somme ou d'une différence d'arguments. Il est conseillé d'utiliser l'expression (16) si la fonction a la forme d'un produit ou d'un quotient d'arguments.

Trouver erreur aléatoire Pour les mesures indirectes, vous devez utiliser les formules :

(17) ou

où Δx, Δy, Δz, ... intervalles de confiance à des probabilités de confiance (fiabilités) données pour les arguments x, y, z, ... . Il convient de garder à l'esprit que les intervalles de confiance Δx, Δy, Δz, ... doivent être pris avec la même probabilité de confiance P 1 = P 2 = ... = P n = P.

Dans ce cas, la fiabilité de l’intervalle de confiance Δ N sera également P.

La formule (17) est pratique à utiliser si la fonction N= ƒ(x, y, z, ...) a la forme d'une somme ou d'une différence d'arguments. La formule (18) est pratique à utiliser si la fonction N= ƒ(x, y, z, ...) a la forme d'un produit ou d'un quotient d'arguments.

On observe souvent que l’erreur systématique et l’erreur aléatoire sont proches l’une de l’autre et qu’elles déterminent toutes deux de manière égale l’exactitude du résultat. Dans ce cas, l'erreur totale ∑ est trouvée comme la somme quadratique des erreurs aléatoires Δ et systématiques δ avec une probabilité d'au moins P, où P probabilité de confiance d'une erreur aléatoire :

Lors de la réalisation de mesures indirectes dans des conditions irreproductibles la fonction est trouvée pour chaque mesure individuelle, et l'intervalle de confiance est calculé pour obtenir les valeurs de la grandeur souhaitée en utilisant la même méthode que pour les mesures directes.

Il est à noter que dans le cas d'une dépendance fonctionnelle exprimée par une formule propice à la logarithmisation, il est plus facile de déterminer d'abord l'erreur relative, puis à partir de l'expression Δ N = ε ¯ N trouver l'erreur absolue.

Avant de commencer les mesures, vous devez toujours penser aux calculs ultérieurs et noter les formules par lesquelles les erreurs seront calculées. Ces formules vous permettront de comprendre quelles mesures doivent être effectuées avec un soin particulier et lesquelles ne nécessitent pas beaucoup d'efforts.

Lors du traitement des résultats de mesures indirectes, l'ordre d'opérations suivant est proposé :

1. Traiter toutes les grandeurs trouvées par mesures directes conformément aux règles de traitement des résultats des mesures directes. Dans ce cas, définissez la même valeur de fiabilité P pour toutes les grandeurs mesurées.
2. Évaluez l'exactitude du résultat des mesures indirectes à l'aide des formules (15) (16), où calculez les dérivées pour les valeurs moyennes des quantités.
   Si l'erreur des mesures individuelles entre plusieurs fois dans le résultat de la différenciation, alors il est nécessaire de regrouper tous les termes contenant la même différentielle, et les expressions entre parenthèses précédant la différentielle prendre modulo; signe d remplacer par Δ (ou δ).
3. Si les erreurs aléatoires et systématiques sont proches les unes des autres, ajoutez-les selon la règle d'addition des erreurs. Si l’une des erreurs est au moins trois fois plus petite que l’autre, supprimez la plus petite.
4. Écrivez le résultat de la mesure sous la forme :

   N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) ± Δƒ.

5. Déterminer l'erreur relative du résultat d'une série de mesures indirectes

   ε = Δƒ · 100 %.
   ¯¯ ƒ¯

   Donnons des exemples de calcul de l'erreur de mesure indirecte.

   Exemple 1. Le volume du cylindre se trouve à l'aide de la formule

   V = π ré 2 h ,
   

   4

   où d diamètre du cylindre, h hauteur du cylindre.

   Ces deux quantités sont déterminées directement. Que la mesure de ces grandeurs donne les résultats suivants :

   d = (4,01 ± 0,03) mm,

   h = (8,65 ± 0,02) mm, avec une fiabilité égale P = 0,95.

   La valeur moyenne du volume, selon (14), est égale à

   V = 3,14 · (4,01) 2 · 8,65 = 109,19 mm
   

   4

   En utilisant l’expression (18) nous avons :

   ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4 ;

   ;

   Puisque les mesures ont été effectuées avec un micromètre dont la valeur de division est de 0,01 mm, erreurs systématiques
   δd = δh = 0,01 mm. D’après (16), l’erreur systématique δV sera

   L'erreur systématique s'avère comparable à l'erreur aléatoire, donc

Lors du traitement des résultats de mesures indirectes d'une grandeur physique fonctionnellement liée aux grandeurs physiques A, B et C, qui sont mesurées directement, déterminez d'abord l'erreur relative de la mesure indirecte e = DХ/Х inc, en utilisant les formules données dans le tableau (sans preuve).

L'erreur absolue est déterminée par la formule DX = X pr * e,

où e est exprimé sous forme décimale plutôt que sous forme de pourcentage.

Le résultat final est enregistré de la même manière que dans le cas de mesures directes

Type de fonction	Formule
X=A+B+C
X=AB
X=A*B*C
X=A n
X = A/B
X=

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm utile) Comment prendre des mesures correctement http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

Exemple: Calculons l'erreur de mesure du coefficient de frottement à l'aide d'un dynamomètre. L'expérience consiste à tirer un bloc uniformément sur une surface horizontale et à mesurer la force appliquée : elle est égale à la force de frottement de glissement.

A l'aide d'un dynamomètre, on pèse le bloc avec des poids : 1,8 N. F tr = 0,6 N

µ = 0,33. L'erreur instrumentale du dynamomètre (on la trouve dans le tableau) est Δ et = 0,05 N, Erreur de lecture (la moitié de la valeur de division)

Δo =0,05N. L'erreur absolue dans la mesure du poids et de la force de frottement est de 0,1 N.

Erreur de mesure relative (5ème ligne du tableau)

Par conséquent, l'erreur absolue de la mesure indirecte μ est de 0,22*0,33=0,074.

Répondre:

Mesurer une grandeur physique signifie la comparer à une autre grandeur homogène prise comme unité de mesure. La mesure peut être effectuée à l'aide de :

1. les mesures, qui sont des exemples d'unité de mesure (mètre, poids, litre de récipient, etc.),

2. instruments de mesure (ampèremètre, manomètre, etc.),

3. les installations de mesure, qui s'entendent comme un ensemble de mesures, d'instruments de mesure et d'éléments auxiliaires.

Les mesures peuvent être directes ou indirectes. En mesures directes une grandeur physique est mesurée directement. Les mesures directes consistent par exemple à mesurer la longueur avec une règle, le temps avec un chronomètre et le courant avec un ampèremètre.

En mesures indirectes Ils mesurent directement non pas la quantité dont il faut connaître la valeur, mais d'autres quantités avec lesquelles la quantité désirée est liée par une certaine relation mathématique. Par exemple, la densité d’un corps est déterminée en mesurant sa masse et son volume, et la résistance est déterminée en mesurant son courant et sa tension.

En raison de l'imperfection des mesures et des instruments de mesure, ainsi que de nos sens, les mesures ne peuvent pas être effectuées avec précision, c'est-à-dire Chaque mesure ne donne qu'un résultat approximatif. De plus, la raison de l'écart des résultats de mesure est souvent la nature de la grandeur mesurée elle-même. Par exemple, la température mesurée par un thermomètre ou un thermocouple à un certain point d'un four fluctue en raison de la convection et de la conduction dans certaines limites. Une mesure permettant d'évaluer l'exactitude d'un résultat de mesure est erreur de mesure (erreur de mesure).

Pour évaluer l'exactitude, l'erreur absolue ou l'erreur de mesure relative est indiquée. Erreur absolue exprimé en unités de la quantité mesurée. Par exemple, la distance parcourue par un corps est mesurée avec une erreur absolue. L'erreur de mesure relative est le rapport de l'erreur absolue à la valeur de la grandeur mesurée. Dans l'exemple donné, l'erreur relative est . Plus l’erreur de mesure est faible, plus sa précision est élevée.

Selon les sources de leur origine, les erreurs de mesure sont divisées en systématiques, aléatoires et grossières (erreurs).

1. Erreurs systématiques- les erreurs de mesure dont la valeur reste constante lors de mesures répétées effectuées selon la même méthode, à l'aide des mêmes instruments de mesure. Les causes des erreurs systématiques sont :

· dysfonctionnements, inexactitudes des instruments de mesure

· illégalité, inexactitude de la technique de mesure utilisée

Un exemple d'erreurs systématiques peut être la mesure de la température avec un thermomètre avec un point zéro déplacé, la mesure du courant avec un ampèremètre mal calibré, la pesée d'un corps sur une balance à l'aide de poids sans tenir compte de la poussée d'Archimède.

Pour éliminer ou réduire les erreurs systématiques, il est nécessaire de vérifier soigneusement les instruments de mesure, de mesurer les mêmes valeurs en utilisant différentes méthodes et d'introduire des corrections lorsque des erreurs sont connues (corrections de la poussée d'Archimède, corrections des lectures du thermomètre).

2. Erreurs grossières (manques)- un excès significatif de l'erreur attendue dans les conditions de mesure données. Les erreurs apparaissent à la suite d'un enregistrement incorrect des lectures de l'instrument, de lectures incorrectes sur l'instrument ou d'erreurs de calcul lors de mesures indirectes. La source des erreurs est l’inattention de l’expérimentateur. Le moyen d'éliminer ces erreurs réside dans la précision de l'expérimentateur, en évitant la réécriture des protocoles de mesure.

3. Erreurs aléatoires- les erreurs dont l'ampleur change de manière aléatoire lors de mesures répétées d'une même grandeur selon la même méthode et avec les mêmes instruments. La source des erreurs aléatoires est l’irreproductibilité incontrôlée des conditions de mesure. Par exemple, lors d’une mesure, la température, l’humidité, la pression atmosphérique, la tension du réseau électrique et l’état des organes sensoriels de l’expérimentateur peuvent changer de manière incontrôlée. Des erreurs aléatoires ne peuvent être exclues. Lors de mesures répétées, les erreurs aléatoires obéissent à des lois statistiques, et leur influence peut être prise en compte.