Le taux de dépôt effectif est une caractéristique des dépôts avec un système de capitalisation des intérêts. Il diffère du taux nominal précisé dans le contrat.

Un dépôt typique ressemble à ceci. Le déposant apporte de l'argent à la banque en guise de dépôt. Un taux d'intérêt est attribué au dépôt. Ce taux est appelé taux nominal. Les intérêts sur le dépôt ne sont courus et payés qu'à la fin de la période de dépôt.

Un dépôt avec capitalisation des intérêts a un système de calcul des intérêts différent. Les intérêts sur le dépôt sont accumulés mensuellement. Et ils l'émettent également mensuellement. Mais la banque ne remet pas l'argent au déposant. Et il les compte dans le montant principal du dépôt. Et le mois suivant, des intérêts sont accumulés sur ce nouveau montant (augmenté). La procédure de calcul des intérêts - ajout des intérêts au montant du dépôt sera répétée de manière cyclique chaque mois jusqu'à l'expiration du dépôt.

Évidemment, si le montant du dépôt augmente chaque mois, les intérêts mensuels accumulés augmenteront également. Il est également évident que le revenu final d'un dépôt avec capitalisation des intérêts sera plus élevé que celui d'un simple dépôt de même taux nominal et de même durée de validité.

Il est temps d'illustrer ce qui a été dit avec un exemple.

Un certain citoyen a déposé cent mille roubles à la banque pendant un an au taux nominal de 12 pour cent par an. dans un an, il réalisera un bénéfice (100 000 / 100) * 12 = 12 000 roubles.

Qui ne se souvient pas comment calculer les intérêts sur un dépôt, venez ici

Un autre citoyen J'ai également déposé cent mille roubles à la banque pendant un an à 12%, mais sur un dépôt avec capitalisation des intérêts.

Le calcul du revenu de ce citoyen semble différent, 12 % par an, soit environ 1 % par mois.

revenu du 1er mois 10000*0,01=1000

revenu du 2ème mois (100000+1000)*0,01=1010

revenu du 3ème mois (101000+1010)*0,01=1020,1

revenu du 4ème mois (102010+1020,1)*0,01=1030,301

revenu du 5ème mois (103030,3+1030,301) *0,01=1040,61

revenu du 6ème mois (104060+1040,61)*0,01=1051,01

revenu du 7ème mois(105100,61+1051,01)*0,01=1061,51

revenu du 8ème mois (106151,62+1061,51)*0,01=1072,13

revenu du 9ème mois (107231,13+1072,13)*0,01=1083,03

revenu du 10ème mois (108303,26+1083,03)*0,01=1093,86

revenu du 11ème mois (109369,29+1093,86)*0,01=1104,63

revenu du 12ème mois (110463,15+1104,63)*0,01=1115,68

Le revenu total était de 12 682,86 roubles.

Ceux. le deuxième déposant recevra 682 roubles de plus à l'expiration de la période de dépôt.

Recalculons maintenant à quel pourcentage le montant est de 12682,86 sur les cent mille d'origine.

(12682,86/100000)*100=12,68286% est le rendement final d'un dépôt avec capitalisation avec un taux nominal de 12% par an. Ce rendement final est appelé rendement effectif d'un dépôt avec capitalisation.

Parfois (rarement) les banques indiquent le rendement effectif dans le contrat. Mais la loi les oblige à indiquer le taux nominal. Par conséquent, l’investisseur est obligé soit de calculer lui-même le taux effectif, soit de faire confiance aux banquiers dans l’espoir qu’ils paieront honnêtement. En règle générale, la capitalisation augmente la rentabilité du dépôt de 0,5 à 1,5 pour cent par an. Si le rendement nominal est compris entre 8 et 15 %, le taux effectif sera d'environ un demi pour cent plus élevé. Si le taux nominal est de 15 % ou plus, la capitalisation ajoute 1 pour cent au rendement. Trente pour cent par an et plus - la capitalisation donne plus un pour cent et demi. Ce sont toutes des estimations approximatives. Il faut dire qu'il n'est plus possible de trouver un rendement supérieur à 15 % sur le marché des dépôts russe. L’inflation baisse et les taux baissent.

L’argent en banque est devenu l’un des moyens de gagner de l’argent grâce aux revenus de dividendes. On pense que c'est le moyen le plus sûr de bénéficier de la manipulation financière de vos propres fonds : vous investissez de l'argent et une organisation professionnelle, une banque, gère son chiffre d'affaires et génère des intérêts. Dans la plupart des cas, les clients se voient communiquer un taux nominal, qui ne reflète pas véritablement l’intégralité des revenus potentiels des dépôts. Cela se reflète dans le taux effectif.

Quel est le taux de dépôt effectif

Taux effectif- c'est le coefficient utilisé pour calculer les revenus actuels provenant de l'investissement de fonds dans un dépôt bancaire. Il se caractérise par la prise en compte de la capitalisation des intérêts et dépasse toujours le taux nominal. Ceci s'explique par le fait que les intérêts de capitalisation sont calculés en tenant compte de la périodicité précisée et s'ajoutent au corps du dépôt.

Pourquoi avez-vous besoin de connaître le taux effectif ?

Taux d'intérêt effectif utilisé pour déterminer le revenu total sur la durée du dépôt, en tenant compte des intérêts. Connaissant cet indicateur, le client peut évaluer de manière réaliste ses revenus possibles et la faisabilité d'investir dans des conditions données. Il convient de noter que pour obtenir un revenu maximal sur les dépôts, la préférence devrait être donnée à ceux avec capitalisation des intérêts.

Le système fonctionne de telle manière qu'au cours du premier mois de fonctionnement du dépôt, des intérêts sont ajoutés au montant. Pour le deuxième mois et les mois suivants, des intérêts seront courus sur le montant constitué du corps de dépôt et des dividendes du mois précédent. En conséquence, il s'avère que le revenu total sur le dépôt dépasse le taux initial.

Formule de calcul

Afin de produire calcul du taux d'intérêt effectif, on applique la formule des intérêts composés, qui a l'expression suivante :

UE = ((1*(C/100)/N)N*m -1),

où EU est le taux de dépôt effectif, c'est-à-dire le revenu que vous recevrez à la fin du terme ;

C - désignation du taux nominal, qui est généralement précisé dans le contrat ;

N - désignation des intervalles de capitalisation par rapport à sa fréquence ;

m - nombre de répétitions d'intervalles.

Impact du réapprovisionnement ou du retrait partiel sur le taux effectif

Lorsque la taille du corps du dépôt change, les dividendes sur le dépôt changent en conséquence : plus la taille du dépôt est grande, plus le client peut gagner d'intérêts, lorsque le corps du dépôt diminue, le même schéma s'applique.

Calcul de la formule du taux effectif aide les investisseurs à déterminer la rentabilité de leurs dépôts par rapport aux intérêts qu’ils peuvent potentiellement recevoir, ce qui est extrêmement pratique. De plus, le client peut choisir lui-même certaines conditions de dépôt qui le satisfont en termes d'investissement.

Souvent, les emprunteurs sont confrontés au fait que les coûts de remboursement de leurs dettes dépassent largement les montants réels indiqués par un agent de crédit souriant et invitant les inscriptions sur les bannières publicitaires. Pour comprendre les coûts réels de remboursement de votre prêt, vous devez d’abord calculer le taux d’intérêt effectif. Nous vous dirons de quoi il s’agit et comment le calculer dans cet article.

Le taux d'intérêt effectif est...

Le taux d’intérêt effectif a de nombreuses définitions, mais elles révèlent toutes la même essence sous différents angles. Ce:

• Taux du prêt, qui comprend tous les frais de service du prêt, les programmes d'assurance, les commissions, etc.
• Le taux d'intérêt composé annuel, qui est la valeur d'évaluation de la rentabilité d'une certaine transaction financière.
• Le coût réel du prêt, qui contient tous les frais supportés par l'emprunteur lors du remboursement de la dette.
• Le coût réel d’un prêt supérieur au taux nominal.

Pour mieux comprendre l’essence du taux effectif, nous ferons plus tard un petit parallèle avec le taux nominal annoncé.

Que comprend l'EPS pour les cartes ?

Nous vous prévenons que le taux d’intérêt effectif le plus élevé vous attend lorsque vous souscrivez dès aujourd’hui à une carte de crédit aussi populaire. L'EPS contiendra :

• Paiement (commission) pour la libération du « plastique ».
• Frais de service de carte.
• Frais de tenue d'un compte courant.
• Commission pour les transactions utilisant la carte.
• Le cas échéant, des frais de conversion de devises.
• En cas de violation des termes du contrat de prêt - une amende pour dépassement de limite ou retard de paiement.
• Et, en fait, le remboursement du montant de la dette et le paiement des intérêts à un taux nominal.

De là, nous pouvons tirer la conclusion suivante : ne vous contentez pas de la banque qui propose le taux nominal le plus bas. Peut-être que dans une autre organisation, où ce chiffre est légèrement plus élevé, le taux effectif sera inférieur de plusieurs pour cent. Qu’est-ce qui pourrait provoquer cela ? En raison de l'absence d'un certain nombre de commissions (par exemple pour la tenue d'un compte, l'émission d'une carte de crédit), l'achat « volontaire-obligatoire » de produits d'assurance pour un montant inférieur, etc. N'hésitez pas à demander au spécialiste du crédit de vous l'annoncer. exactement l'EPS. Et seulement sur la base de cette valeur, sélectionnez la banque prêteuse.

Taux d'intérêt nominal et effectif

Le taux nominal est une valeur fixe, le montant du trop-payé annuel pour le prêt que vous voyez sur des brochures publicitaires alléchantes. Il n'inclut pas le coût de l'assurance, les commissions, les frais de gestion des cartes de crédit - toutes ces dépenses que vous devez engager en plus du paiement des intérêts sur le prêt et du remboursement du prêt.

Pourquoi le client n’est-il pas immédiatement informé du montant égal au taux d’intérêt effectif ? Premièrement, cette valeur est très difficile à calculer à l’avance. Par exemple, si un client est en retard avec un paiement ou plusieurs échéances, cette valeur évoluera à la hausse par rapport à celle qui serait calculée au début en raison de l'accumulation de pénalités. Et deuxièmement, la banque perdra tout simplement des clients si elle leur indique toutes leurs dépenses réelles.

Le fait qu’un agent de crédit indique à un client uniquement un taux nominal n’est pas une tromperie ou une « agitation ». Dans votre contrat de prêt, le trop-payé qui vous a attiré est sûrement appelé taux d'intérêt nominal. Hélas, c’est l’omission de l’emprunteur qu’avant de conclure le contrat, il n’a pas au moins demandé à l’opérateur le montant approximatif du taux d’intérêt annuel effectif.

Taux nominaux et effectifs relatifs aux dépôts

Quant aux dépôts bancaires, la situation est complètement différente :

• Taux d'intérêt nominal- un montant fixe de votre revenu annuel, exprimé en pourcentage. Par exemple, 9% par an.
• Taux d'intérêt effectif- il s'agit d'un montant variable de votre bénéfice, en fonction de certaines conditions précisées dans le contrat. Quant aux dépôts, ils sont supérieurs au taux nominal. Ceci est principalement caractéristique des dépôts avec capitalisation (intérêts "composés", accumulation d'intérêts sur intérêts), lorsque le montant des intérêts courus est ajouté au montant du dépôt après une certaine période, et pour la période suivante, des intérêts sont accumulés sur ce valeur monétaire déjà augmentée. Un investissement de 9% par an avec capitalisation apportera beaucoup plus de bénéfices qu'un investissement similaire sans capitalisation. Il est également important de prendre en compte sa fréquence : si cela se produit tous les mois, alors c'est beaucoup plus rentable que lorsque les intérêts « composés » sont calculés tous les six mois.

Passons maintenant à la question « douloureuse » : les prêts.

Caractéristiques du taux d'intérêt effectif

L'EPS doit être spécifié dans le contrat de prêt - ceci est prescrit par la Banque centrale de Russie. Mais beaucoup sont confrontés au fait que leurs coûts réels sont bien supérieurs à cette valeur ! Cela est dû au fait que la banque calcule le BPA selon la formule proposée par la Banque centrale de la Fédération de Russie, qui présente un certain nombre d'inconvénients - les primes d'assurance et certaines de vos autres pertes ne sont pas prises en compte.

Nous vous prévenons que le taux d'intérêt effectif est une valeur qui sera toujours supérieure au taux nominal même pour un modèle idéaliste de banque qui ne propose pas de forfaits d'assurance ni de commissions. La raison en est qu'ici, ainsi que pour les dépôts, des intérêts « composés » et des rentes s'appliquent : une partie sert à rembourser la dette et l'autre aux intérêts sur celle-ci. Autrement dit, pour chaque mois, des intérêts s'accumulent non seulement sur le montant que vous avez emprunté à la banque, mais également sur le montant des intérêts que vous n'avez pas encore payés.

Calcul du taux d'intérêt effectif

Le moyen le plus sûr de représenter avec précision les coûts de remboursement de votre prêt est de déterminer vous-même le taux d’intérêt effectif à l’aide d’une formule toute prête. Tout d'abord, vous devez préciser à quel intervalle les intérêts sont courus sur votre prêt - chaque mois, trimestre, année, en continu, etc. Et, bien sûr, vous devez connaître le taux nominal du prêt.

E = (1 + N/P) P - 1, où :

• E est le taux d’intérêt effectif :
• N - taux nominal ;
• P est le nombre de périodes d'accumulation d'intérêts dans une année.

Si les intérêts s'accumulent continuellement, alors une autre formule fera l'affaire :

E = e N - 1, où :

• E - taux d'intérêt effectif ;
• N - taux nominal ;
• e est un nombre constant égal à 2,718.

Hélas, les formules données ne prévoient pas l'inclusion dans le résultat des dépenses que vous allez certainement engager dans le cadre de l'achat de produits d'assurance et de la délivrance des attestations.

La deuxième façon de calculer l'EPS

Une autre formule qui peut être utilisée pour calculer le taux d’intérêt effectif est la suivante :

0 = (progression géométrique) PV / (1 + EPS) (D p - D 1) / 365, Où:

• PV - le montant du dernier paiement ;
• D p - date du dernier versement du prêt ;
• D 1 - date du premier versement du prêt.

Les calculs sont compliqués par le fait que pour trouver l'EPS, vous devez résoudre cette équation.

Autre version de la formule :

K = P 1 + ((progression géométrique) P n / (1 + EPS) B n, Où:

• K - montant du prêt ;
• P 1 - premier versement du prêt (toutes les commissions et versements d'assurance doivent être pris en compte) ;
• P n - le dernier versement du prêt (il faut également inclure non seulement le montant du remboursement de l'organisme débiteur et les intérêts sur celui-ci, mais également tous les versements annexes) ;
• TIE - taux d'intérêt effectif ;
• En n est l'heure du paiement le plus récent.
• n - mois de paiement sur le compte (12, 15, 36, etc.)

Méthodes de comptage alternatives

La formule du taux d’intérêt effectif n’est pas le seul moyen de vous dire ce que vous allez réellement dépenser :

1. Utilisez des calculateurs en ligne, abondamment disponibles sur Internet, du simple au très détaillé, prenant en compte tous les paiements.

2. Utilisez Excel :

• La fonction EFFECT() vous aidera à faire des calculs en utilisant la première formule.
• SERIESSUM est utile pour les calculs utilisant la deuxième formule.

Ainsi, on peut constater que, même connaissant le taux nominal, le montant de toutes les commissions et le coût des produits d'assurance, nous (ainsi qu'un spécialiste du crédit) ne pouvons calculer que la valeur approximative du TIE. Les calculs indépendants sont compliqués par les intérêts « composés », les paiements de rente et l'accumulation de pénalités en cas de retard de paiement, qui ne peuvent être prédits à l'avance.

La législation fédérale oblige les banques à informer le client du coût total du prêt (taux d'intérêt effectif) et de la manière dont il est calculé, de sorte que la sensibilisation des Russes à cette question est assez élevée. Mais tous les déposants ne comprennent pas ce que signifie le taux d'intérêt effectif sur un dépôt et en quoi il diffère du taux nominal. Mais savoir comment est calculé le taux d'intérêt effectif ne sera pas superflu lors de l'enregistrement des dépôts avec capitalisation et de l'évaluation de la publicité bancaire sur les dépôts.

Offres du mois :

Cartes de débit

Cartes de crédit

Microcrédits

Prêts à la consommation

Voir plus

Voir plus

Voir plus

Que signifient les taux d’intérêt nominaux et effectifs ?

Pour les dépôts simples avec versement de revenus à la fin du terme, le taux d'intérêt effectif selon la formule de calcul ne diffère pas du taux nominal. Le taux nominal est le pourcentage indiqué par la banque dans la convention et les principales conditions du programme.

Pour les dépôts avec capitalisation des revenus, le taux d'intérêt annuel effectif, dont la formule est donnée ci-dessous, est calculé de manière particulière. Cela permet de prendre en compte le fait que des intérêts seront également facturés sur les revenus déjà accumulés.

Il suffit de savoir comment est calculé le taux d’intérêt effectif si une somme importante est placée en banque pendant une longue période. Pour les dépôts à court terme ou de faible montant, les taux nominaux et réels ne diffèrent pas beaucoup.

Taux annuel sur un dépôt avec capitalisation : comment calculer les revenus

Pour un client qui souhaite comparer les offres de plusieurs banques, il n’est pas du tout nécessaire de savoir comment est calculé le taux d’intérêt effectif. Il lui suffit de calculer les paiements dus dans chaque cas pour le dépôt avec capitalisation en roubles.

Nous avons précédemment expliqué en détail comment les revenus des dépôts sont calculés avec les intérêts ajoutés, en indiquant les formules correspondantes. Vous pouvez les voir dans l'article « Calcul des dépôts avec capitalisation mensuelle » et « Calcul des intérêts sur les dépôts ».

Qu'entend-on par taux effectif : les modalités de publicité bancaire

Dans la publicité, le taux d'intérêt effectif ne signifie pas toujours l'intérêt réel que le client recevra. Par exemple, sur les dépôts « échelonnés », le taux peut diminuer/augmenter avec le temps, et la banque prescrit le taux d'intérêt le plus élevé en majuscules dans les termes du programme.

Par exemple, sur un dépôt de pension échelonné sur trois ans de la Banque SKB, les revenus sont accumulés à 5,5 %, 3,5 % et 2,5 % au cours des première, deuxième et troisième années de la durée du contrat de dépôt. Le taux réel est de 3,85 %, mais l'institution financière indique toujours « 5,5 % » dans la publicité sur le site Internet.

Qu'est-ce que le taux d'intérêt effectif : formule de calcul

Afin de connaître le taux d'intérêt effectif, vous devez connaître l'intérêt nominal du dépôt, ainsi que ses paramètres. Les calculs tiennent compte de la fréquence à laquelle les revenus seront capitalisés.
La formule de calcul du taux d’intérêt effectif sur un dépôt est la suivante :
P1 = ((1 + P/100/N/)N*m – 1),
Où:
P – taux de dépôt
N – nombre de périodes de capitalisation par an (si elle est effectuée mensuellement, alors N=12 ; trimestrielle – N est 4)
m – le nombre de répétitions de périodes (pour une cotisation pour un an m=1, pour deux ans m=2, etc.).
Ainsi, le taux d'intérêt effectif réel pendant un an sur un dépôt ouvert à 7 % avec des revenus capitalisés une fois par mois est calculé selon la formule suivante :
P1 = ((1 + 7/100/12/)12*1 – 1) = 7,228 % par an.

Trouver le taux d'intérêt réel sur un dépôt : calculateur

Sans utiliser la formule (méthode) discutée ci-dessus, le taux d’intérêt effectif ne peut pas être calculé. Pour les clients qui tentent de comprendre dans quelle mesure les taux d'intérêt nominaux et effectifs diffèrent, le calculateur disponible sur le site Web de la banque ne les aidera pas. Mais une institution financière peut indiquer indépendamment le rendement pré-calculé du dépôt annuel, en tenant compte de sa capitalisation.

Certaines ressources Web proposent des calculateurs en ligne complexes, qui peuvent être utilisés pour calculer le taux d'intérêt effectif sur un dépôt en quelques minutes, en tenant compte du réapprovisionnement du compte.

Après que la Banque centrale de la Fédération de Russie a obligé les banques commerciales à divulguer le taux d'intérêt effectif (TPE) sur les prêts, cette expression est fermement entrée dans le vocabulaire de nos compatriotes. En attendant, peu d’entre eux savent de quoi il s’agit. Cet article est destiné à combler une lacune de connaissances aussi ennuyeuse, ainsi qu'à révéler l'une des méthodes de calcul de l'EPS.

En fait, la signification du taux d'intérêt effectif est assez simple : il est conçu pour refléter le coût réel du prêt du point de vue de l'emprunteur, c'est-à-dire pour prendre en compte tous ses paiements accessoires directement liés au prêt (en plus aux paiements du prêt lui-même). Par exemple, ces paiements annexes sont les fameuses commissions bancaires « cachées » - commissions d'ouverture et de tenue de compte, d'acceptation d'espèces à la caisse, etc. Autre exemple : si vous contractez un crédit automobile, la banque vous oblige à assurer la voiture achetée pendant toute la durée du prêt. Dans ce cas, l'assurance constituera pour vous un paiement complémentaire obligatoire (mais pas à la banque elle-même, mais à la compagnie d'assurance).

Il est intéressant de noter que la Banque centrale, après avoir obligé les banques commerciales à divulguer le taux d'intérêt effectif sur les prêts et même à fournir une formule pour son calcul, n'a pas indiqué quels paiements spécifiques devaient être inclus dans ce calcul. En conséquence, différentes banques ont des points de vue différents sur cette question : beaucoup, par exemple, n'incluent pas les cotisations d'assurance dans le calcul.

Cependant, l’approche la plus correcte et la plus juste consiste à inclure dans le calcul du taux d’intérêt effectif tous les paiements nécessaires à l’obtention d’un prêt donné. En particulier, tous les paiements d'assurance obligatoires.

Ayant compris cette problématique, nous pouvons désormais donner une définition stricte du taux d’intérêt effectif.

Taux d'intérêt effectif- il s'agit d'un taux d'intérêt composé sur un prêt, calculé en supposant que tous les versements nécessaires à l'obtention d'un prêt donné servent à son remboursement.

Autrement dit, si à la suite de l'obtention d'un prêt de S 0 l'emprunteur est obligé d'effectuer des paiements R. 0 , R. 1 , R. 2 , ..., R. nà des moments précis t 0 = 0,t 1 , t 2 , ..., t n en conséquence (cela inclut à la fois les paiements sur le prêt lui-même et les commissions annexes, les paiements d'assurance, etc.), puis le taux d'intérêt effectif je se trouve à partir de la relation

Si tous les versements de l'emprunteur, à l'exception peut-être du tout premier, sont les mêmes ( R. 1 = R. 2 = ... = Rn = R.), alors conformément à la formule de calcul de la somme d'une progression géométrique finie, le rapport de détermination du taux d'intérêt effectif sera le suivant :

.

Malheureusement, il est impossible de trouver la valeur exacte du taux d'intérêt effectif, même dans un cas aussi relativement simple, il faut donc la sélectionner (mieux encore, en utilisant une méthode numérique spéciale). Comment exactement - cela sera discuté plus loin.

Exemple.

Pour un prêt aux conditions suivantes :

• durée du prêt - 3 ans;
• taux d'intérêt (nous le désignerons j) — 18% par an;
• plan de remboursement du prêt - versements mensuels (annuités) égaux ;
• commission de montage d'un prêt - 1% de son montant ;
• frais mensuels de tenue d'un compte de prêt - 0,1% du montant du prêt

le taux d'intérêt effectif sera de 22,8 %. Pour vérifier, retrouvons les valeurs de toutes les variables présentes dans la formule (3) :

En substituant ces valeurs dans la formule (3), après réduction de S 0 on est facilement convaincu de la validité de l'égalité (si, bien sûr, on néglige l'erreur d'arrondi) :

.

Méthode générale de calcul de l'EPR

Ainsi, nous avons déjà noté que l'ampleur du taux d'intérêt effectif, même pour des opérations de prêt relativement simples, ne peut être déterminée à l'aide d'aucune formule. La dite méthodes numériques, qui permettent de calculer la valeur approximative de la quantité souhaitée avec la précision requise en un nombre fini d'étapes.

La méthode générale d'approximation du taux d'intérêt effectif, dont nous parlerons ensuite, peut être appliquée à tout prêt dont les remboursements sont effectués à intervalles réguliers. Il est basé sur des données numériques La méthode de Newton, dont l'essence, en termes généraux, est la suivante.

Disons que nous devons trouver une solution à l'équation F(X) = 0, où F(X) est une fonction différentiable. Puis, sous certaines conditions, la suite de nombres ( X (k) ), où la toute première valeur X(0) est sélectionné indépendamment, et chacun des suivants est trouvé selon la formule

,

converge vers une solution exacte de cette équation. Peu nous importe quelles sont ces conditions ; si nous le souhaitons, des informations sur les limites de la méthode de Newton peuvent être facilement trouvées.

Voyons maintenant comment utiliser cette méthode pour calculer le taux d'intérêt effectif.

Introduisons une nouvelle quantité vτ = (1 + je) -τ , qui est appelé facteur d'escompte pour la période τ. Avec son aide, la formule (2), qui est une relation générale pour trouver le taux d'intérêt effectif, peut être réécrite comme suit :

.

Trouver la racine de cette équation équivaut à trouver la racine de la fonction

.

Cette fonction n'a qu'une seule racine positive (nous ne nous intéressons qu'aux racines positives), et elle se situe dans l'intervalle (0, 1). Cette racine peut être facilement trouvée à l'aide de la méthode de Newton en calculant d'abord la dérivée de la fonction F(X):

.

X(0) = 1, en utilisant la formule (4) nous obtenons une séquence de nombres X (k) convergeant vers la valeur exacte vτ. La valeur approximative du taux d’intérêt effectif souhaité résulte de la relation suivante :

(on suppose que nous avons terminé les calculs à l'étape numéro n).

Exemple

Trouvons le taux d'intérêt effectif pour un prêt de taille S 0 = 1 000 livres sterling britanniques, émises pour un an à un taux d'intérêt simple j= 20%. Pour rembourser le prêt, l'emprunteur a effectué les versements partiels suivants :

• R. 1 = 600 £ en 3 mois ( t 1 = ¼) après le début de la transaction ;
• R. 2 = 310 £ après 9 mois ( t 2 = ¾) après le début de la transaction ;
• R. 3 = 194,25 £ par an ( t 3 = 1) après le début de la transaction.

Pour la période τ, nous choisissons un trimestre (τ = ¼). Conformément à la méthode décrite ci-dessus, nous introduisons une fonction auxiliaire

F(X) = 600 X + 310 X 3 + 194,25 X 4 - 1000

et trouvons sa dérivée :

F(X) = 600 + 930 X 2 + 777 X 3 .

Maintenant, en choisissant comme première approximation X(0) = 1, en utilisant la formule (4) nous construisons une séquence de valeurs approximatives du facteur d'actualisation vτ et taux d’intérêt effectif je:

k	X (k)	je
0	1	je ≈ 0
1	0,95481144343303	je ≈ 0,20317704736717
2	0,95284386714354	je ≈ 0,21314588059674
3	0,95284030323558	je ≈ 0,2131640308135
4	0,95284030322392	je ≈ 0,21316403087292
5	0,95284030322392	je ≈ 0,21316403087292

Déjà à la cinquième étape, le calcul a conduit au même résultat que dans la précédente, et avec une précision dont vous n'aurez probablement jamais besoin. Le résultat était supérieur de plus de 1,3 % au taux d’intérêt (nominal) déclaré sur le prêt, même s’il n’y avait pas de frais cachés ni d’autres paiements supplémentaires.

Commentaire. La meilleure façon de calculer rapidement le taux d’intérêt effectif (sans disposer d’une calculatrice financière spéciale ou d’un programme informatique) est d’utiliser une sorte d’éditeur de feuille de calcul. Par exemple, dans l'éditeur de feuille de calcul en ligne de Google, l'ensemble du calcul ressemble à ceci :

Riz. Calculer le taux d'intérêt effectif à l'aide d'un éditeur de tableaux

Veuillez noter les points suivants :

1. Dans l'éditeur de tableaux, il n'est pas nécessaire de calculer manuellement les coefficients des puissances X pour les dérivés - ils peuvent être trouvés à l'aide de la formule, comme indiqué dans la première figure.
2. En utilisant la fonction SERIESSUM (deuxième chiffre), vous pouvez facilement calculer des valeurs comme la fonction elle-même F(X), et son dérivé.

Exemple

Examinons maintenant un exemple plus complexe, mais plus pertinent.

Un emprunt de 24 mille euros, émis pour deux ans à 12 % par an, est remboursé en mensualités selon un schéma différencié. Les frais de mise en place d'un prêt sont de 1% du montant du prêt. De plus, chaque mois, l'emprunteur se voit facturer des frais de tenue d'un compte de prêt d'un montant de 0,1 % du montant du prêt. Nous devons trouver le taux d’intérêt effectif pour ce prêt.

Tout d'abord, construisons un échéancier de remboursement du prêt (sans tenir compte de la structure de paiement). Les remboursements des prêts forment une progression arithmétique avec la durée initiale

UN 1 = ( + 0,12 × ) × 24 000 = 1 240 euros

et la différence

- (0,12 × × 24 000) × = - 10 euros.

De plus, lors de l'obtention du prêt, l'emprunteur était contraint de payer 0,01 × 24 000 = 240 euros, et chaque mois des frais de 0,001 × 24 000 = 24 euros lui étaient facturés. Cela signifie que l'échéancier de remboursement du prêt ressemble à ceci :

Riz. Calendrier de remboursement du prêt

Valeurs des colonnes " avec commission, Rk", à l'exception du tout premier (d'indice 0), coïncident avec les coefficients des puissances X fonction y F(X), que nous utiliserons dans les calculs. Pour obtenir le premier coefficient (à zéro degré X) nécessaire dès le paiement initial R. 0 = 240 soustraire le montant du prêt (formule dans le coin supérieur gauche) :

Riz. Trouver les coefficients de la fonction f(x)

Coefficients en degrés Xà la dérivée F"(X) se trouvent selon le principe déjà connu :

Riz. Trouver les coefficients de la dérivée f"(x)

Maintenant, enfin, nous pouvons appliquer la méthode de Newton pour trouver le facteur de remise mensuel (formule dans le coin supérieur gauche) :

Riz. Trouver le facteur de remise mensuel

Parallèlement au calcul du facteur d'actualisation mensuel, nous déterminons le taux d'intérêt effectif je:

Riz. Trouver le taux d'intérêt effectif

Comme dans l'exemple du paragraphe précédent, la méthode de Newton nous a conduit à la réponse finale en seulement cinq calculs : le taux d'intérêt effectif du prêt en question est d'environ 16,38 %, soit 4,38 % supérieur au taux nominal.

Calcul du BPA pour une rente

La méthode dont nous avons parlé ci-dessus, lorsqu’elle est appliquée correctement, est très pratique. Mais dans certains cas, notamment pour un plan de remboursement de prêt en rente, le taux d’intérêt effectif peut être trouvé encore plus rapidement et plus facilement. En fait, le principal avantage de la méthode, que nous examinerons ensuite, est sa plus grande compacité.

Réécrivons la formule (3) - la relation pour déterminer le taux d'intérêt effectif, qui est valable lors du remboursement du prêt avec versements de rente - en utilisant le facteur d'actualisation qui nous est déjà familier vτ = (1 + je) -τ :

Pour trouver la racine de l’équation (6), nous pouvons utiliser la méthode de Newton, qui nous est déjà familière. Pour ce faire, nous introduisons la fonction.

et trouvons sa dérivée :

.

Maintenant, si l’on choisit comme première approximation

,

puis en utilisant la formule (4) vous pouvez obtenir une séquence de nombres ( X (k)), se rapprochant de la valeur exacte du facteur d'actualisation v τ .

Exemple

Trouvons le taux d'intérêt effectif du prêt à partir du tout premier exemple. Je vous rappelle que les conditions étaient :

• durée du prêt - 3 ans;
• taux d'intérêt j— 18% par an;
• plan de remboursement du prêt - versements mensuels (annuités) égaux ;
• commission de montage d'un prêt - 1% de son montant ;
• les frais mensuels pour la tenue d'un compte de prêt sont de 0,1 % du montant du prêt.

Nous continuerons à calculer le taux d’intérêt effectif de ce prêt à l’aide d’un tableur pratique. Voici approximativement à quoi ressembleront les conditions initiales (il n'est pas nécessaire de calculer manuellement les montants des paiements - vous pouvez utiliser les formules nécessaires directement dans les cellules du tableau) :

Riz. Saisie des conditions initiales

L'étape suivante consiste à calculer les coefficients de la fonction F(X):

Riz. Calcul des coefficients de fonction F(X)

Le premier coefficient est également une première approximation X(0) . Nous le transférons dans la cellule appropriée et, en utilisant la méthode de Newton, calculons plusieurs approximations du facteur de remise mensuel (faites attention à la formule dans le coin supérieur gauche) :

Riz. Calcul du facteur de remise mensuel

En même temps, nous calculons les valeurs approximatives du taux d'intérêt effectif je :

Riz. Calcul du taux d'intérêt effectif

Comme vous pouvez le constater, après huit calculs, nous avons une fois de plus confirmé que le taux d'intérêt effectif du prêt en question est d'environ 22,8%, soit 4,8% de plus que le taux nominal.

Commentaire. Une fois que vous aurez rempli un formulaire similaire à celui présenté sur les images, vous pourrez ensuite déterminer instantanément le taux d'intérêt effectif de tout prêt remboursé conformément au régime de rente, simplement en modifiant les conditions initiales.

En conclusion, je voudrais faire une autre remarque générale importante. La méthode que nous avons envisagée est garantie de converger (c'est-à-dire qu'elle conduira aux valeurs souhaitées du facteur d'actualisation et du taux d'intérêt effectif) si nous choisissons la valeur (7) comme valeur initiale. Si nous prenons une autre approximation initiale, alors la méthode peut converger vers deuxième racine les fonctions F(X) — un (la valeur correspondante du taux d'intérêt effectif est zéro). Par exemple, dans l’exemple que nous avons considéré, cela se produirait si nous prenions un nombre supérieur à 0,992 comme première approximation.

Et encore une remarque générale concernant le choix de la méthode numérique. Il existe une grande variété de méthodes numériques, dont beaucoup pourraient très bien être appliquées pour résoudre nos problèmes. La méthode de Newton a été choisie car, à mon avis, elle présente l'équilibre optimal entre la complexité d'application et la vitesse de convergence (vous vous souvenez que dans aucun des exemples nous n'avons fait plus de huit calculs). Il existe des méthodes plus rapides mais plus difficiles à comprendre. Il existe des méthodes plus simples, avec moins de restrictions et une convergence garantie, mais nécessitant un grand nombre de calculs. Par exemple, si nous avions utilisé le fameux méthode d'itération simple, alors pour atteindre la précision requise, nous devrions faire une centaine de calculs. Il est clair que ces calculs sont effectués par le programme, mais quand même.