Équations rationnelles fractionnaires. Équation rationnelle. Guide complet (2019) Protection des renseignements personnels

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Légendes des diapositives :

Équations rationnelles fractionnaires Préparé par : professeur de mathématiques à l'établissement d'enseignement secondaire n° 30 du nom d'A.I. Koldunov Kutomanova E.M. Année académique 2010-2011

Condition pour qu'une fraction soit égale à zéro A quelle valeur de la variable la fraction est-elle égale à zéro ? Une fraction est égale à zéro si le numérateur est zéro et le dénominateur n'est pas zéro. x³-25x=0, x(x²-25)=0, x=0, x=±5. Si x=0, alors x²-6x+5≠0, si x=-5, alors x²-6x+5≠0, si x=5, alors x²-6x+5=0. Réponse : à x=0, x=-5. Faisons le n° 288(a,b)

Résolvons l'équation x³-25x=0, x(x²-25)=0, x=0, x=±5. Si x=0, alors x²+6x+5≠0, si x=-5, alors x²+6x+5=0, si x=5, alors x²+6x+5 ≠ 0. Réponse : 0;5. Complétons le n° 289(a)

Définition Une équation rationnelle fractionnaire est une équation dans laquelle les deux parties sont des expressions rationnelles et au moins l'une d'entre elles est une expression fractionnaire. Par exemple:

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires 1. Trouvez le dénominateur commun des fractions incluses dans l'équation. 2.Multipliez les deux côtés de l’équation par ce dénominateur. 3. Résolvez l’équation entière résultante. 4. Nous excluons de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun des fractions à zéro. 5.Écrivez la réponse.

Résolvons l'équation : x-1 est le dénominateur commun. Multipliez les deux côtés de l'équation par x-1, nous obtenons 2(x-1)-(x+1)=0 ; 2x-2-x-1=0, x-3=0, x=3. Si x=3, alors x-1=3-1=2 ≠0. Réponse : 3

Résolvons l'équation : Solution. (x+2)(x-3) est le dénominateur commun. Multipliez les deux côtés de l'équation par (x+2)(x-3), nous obtenons (x-1)(x-3)=(x-4)(x+2)- (x+2)(x- 3), x²-x-3x+3=x²-4x+2x-8-x²-2x+3x+6, x²-3x+5=0, D =9-20

Résolvons l'équation Dénominateur commun x-3. Multipliez les deux côtés de l'équation par x-3, nous obtenons (x-2)(x-3)-(x-3)=0, x²-2x-3x+6-x+3=0, x²-6x+ 9=0 , (x-3)²=0, x=3. Si x=3, le dénominateur passe à zéro, ce qui signifie que x=3 est une racine étrangère. Réponse : pas de racines

Résolvons l'équation. Multipliez les deux côtés de l'équation par x-2, nous obtenons 2x²-(3x+2)=x(x-2), 2x²-3x-2=x²-2x, 2x²-3x-2-x²+2x=0, x²-x -2=0, D =1+8=9, x=(1±3):2, x₁=-1, x₂=2. Si x=-1, x-2=-1-2=-3≠0 ; si x=2, alors x-2=2-2=0. Réponse 1.

Salutations, chers écoliers. Nous vous invitons à vous familiariser avec la leçon vidéo éducative sur la résolution d'équations avec des fractions. Andrey Andreevich Andreev résoudra des problèmes d'algèbre et, en utilisant son exemple, vous pourrez essayer de résoudre vos propres problèmes qui vous ont été assignés.

Résoudre des équations rationnelles fractionnaires

Une expression entière est une expression mathématique composée de nombres et de variables littérales utilisant les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication. Les nombres entiers incluent également des expressions qui impliquent une division par un nombre autre que zéro.

Le concept d'expression rationnelle fractionnaire

Une expression fractionnaire est une expression mathématique qui, en plus des opérations d'addition, de soustraction et de multiplication effectuées avec des variables numériques et alphabétiques, ainsi que la division par un nombre différent de zéro, contient également une division en expressions avec des variables alphabétiques.

Les expressions rationnelles sont toutes des expressions entières et fractionnaires. Les équations rationnelles sont des équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles. Si dans une équation rationnelle les côtés gauche et droit sont des expressions entières, alors une telle équation rationnelle est appelée un nombre entier.

Si dans une équation rationnelle les côtés gauche ou droit sont des expressions fractionnaires, alors une telle équation rationnelle est appelée fractionnaire.

Exemples d'expressions rationnelles fractionnaires

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Schéma de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire

1. Trouvez le dénominateur commun de toutes les fractions incluses dans l’équation.

2. Multipliez les deux côtés de l’équation par un dénominateur commun.

3. Résolvez l’équation entière résultante.

4. Vérifiez les racines et excluez celles qui font disparaître le dénominateur commun.

Puisque nous résolvons des équations rationnelles fractionnaires, il y aura des variables dans les dénominateurs des fractions. Cela signifie qu’ils constitueront un dénominateur commun. Et dans le deuxième point de l'algorithme, nous multiplions par un dénominateur commun, des racines superflues peuvent alors apparaître. À ce moment-là, le dénominateur commun sera égal à zéro, ce qui signifie que multiplier par celui-ci n'aura aucun sens. Par conséquent, à la fin, il est nécessaire de vérifier les racines obtenues.

Il existe également une solution possible et d'autres exemples pour cela, cela vaut la peine de visiter le site prostoshkola.com. Là, sélectionnez le problème souhaité, regardez la solution et éventuellement une vidéo expliquant comment cette équation est résolue. Regardons maintenant un didacticiel vidéo avec Andrei Andreevich "Résoudre des équations avec des fractions".

RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS RATIONNELLES FRACTIONNAIRES

Objectifs de la leçon:Éducatif:

formation du concept d'équation rationnelle fractionnaire ; envisager différentes façons de résoudre des équations rationnelles fractionnaires ; considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires. enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires à l'aide d'un algorithme ; vérifier le niveau de maîtrise du sujet en réalisant un test.Du développement:

développer la capacité d'opérer correctement avec les connaissances acquises et de penser logiquement ; développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation ; développement de l'initiative, de la capacité de prendre des décisions, et de ne pas s'arrêter là ;Éduquer :

favoriser l'intérêt cognitif pour le sujet ; favoriser l'indépendance dans la résolution des problèmes éducatifs ; nourrir la volonté et la persévérance pour atteindre les résultats finaux.Type de cours: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment organisationnel. Bonjour gars! Il y a des équations écrites au tableau, regardez-les attentivement. Savons-nous comment résoudre toutes ces équations ? Lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

8.
Quels sont les noms des expressions à partir desquelles les équations 5, 6, 7 et 8 sont faites ? (rationnel fractionnaire) Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier en classe aujourd’hui ? Essayez de formuler le sujet de notre leçon. Alors, ouvrez les cahiers et notez le sujet de la leçon « Résoudre des équations rationnelles fractionnaires ». Formulons les objectifs de notre leçon (les enfants formulent indépendamment les objectifs de la leçon). Nous allons maintenant répéter le principal matériel théorique, dont nous avons besoin pour étudier un nouveau sujet. Veuillez répondre aux questions suivantes : Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une ou plusieurs variables.)

Linéaire

Déplacez tout ce qui a l'inconnue vers la gauche de l'équation, tous les nombres vers la droite. Donnez des termes similaires. Trouver un facteur inconnu

Carré.

sur les formules utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences

1. Si vous déplacez un terme d'une équation d'une partie à une autre, en changeant son signe, vous obtiendrez une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à celle donnée

3. Explication du nouveau matériel.Donc, dans notre leçon, vous n'êtes pas seulement des élèves de 9e année, mais des représentants de l'une des trois tribus. Pourquoi crois-tu que je les ai appelés ainsi ? (correct, car lors de la résolution d'équations, vous utiliserez certaines règles. Quelles sont ces règles ? Essayez de les formuler pour moi :

Égalité de deux rapports

Si la proportion est correcte, alors le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.

Carte 1 :

UTILISER LA PROPRIÉTÉ DE PROPORTION

Le produit des termes moyens est égal au produit

termes extrêmes de la proportion.

Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas zéro.

Carte 2 : RÉSOUDRE UNE ÉQUATION RATIONNELLE FRACTIONNELLE,

pour la même chose non nul nombre.

La tribu « Dénominateur » résout en multipliant par un dénominateur commun non nul.

Carte 3 : RÉSOUDRE UNE ÉQUATION RATIONNELLE FRACTIONNELLE,

MULTIPLICATION PAR UN DÉNOMINATEUR COMMUN

Les deux côtés de l'équation peuvent être multipliés ou divisés

pour la même chose non nul nombre.

Après avoir résolu et discuté en groupes, un représentant de chaque groupe vient au tableau et écrit la solution de l'équation au tableau. / *4x ODZ: x≠0 x²-4=6x-4 2x³-8x=12x²-8x
x²-6x=0 2x³-12x²=0
x=0 ou x=6 2x²(x-6)=0
Réponse : x=0, x=6 x=0, x=6 x²-6x=0 x=0, x=6 Réponse : x=0, x=6 4x≠ 0 x ≠0 Réponse : x=6 Si j’obtiens des réponses différentes, je pose des questions directrices : Comparons les réponses. Expliquez pourquoi cela s'est produit ? Pourquoi y a-t-il deux racines dans un cas et une dans l’autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ? (Jusqu'à présent, les élèves n'ont pas rencontré la notion de racine étrangère ; il leur est en effet très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives. )

Dans les équations n° 2 et 4, il y a des nombres au dénominateur, les n° 5 à 8 sont des expressions avec une variable

La valeur de la variable à laquelle l'équation devient vraie

Faire un chèque

Lors des tests, certains élèves remarquent qu’ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que le nombre 0 n’est pas la racine de cette équation. La question se pose: que faut-il ajouter à chacune de ces méthodes pour éliminer cette erreur ? (exclure les racines superflues) ------ ajouter au tableau l'inégalité du dénominateur à zéro ou ODZ. Nous sommes ici confrontés au concept). racine étrangère, c'est-à-dire il s'agit de la valeur d'une variable qui n'entre pas dans le champ de définition d'une expression rationnelle fractionnaire. Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires à l'aide de ces méthodes. Considérons la première méthode : l'égalité d'une fraction à zéro. Les enfants formulent eux-mêmes l'algorithme 1. Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

Déplacez tout vers la gauche. Réduisez les fractions à un dénominateur commun. Créer un système : une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro. Résous l'équation. Vérifiez l’inégalité pour exclure les racines superflues. Écrivez la réponse. Comment formaliser une solution si la propriété de base de proportion est utilisée ? Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires. 1. Utiliser la propriété de proportion : dans la bonne proportion, le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens. 2. Résolvez l’équation entière résultante. 3. Éliminer des racines celles qui font disparaître le dénominateur commun. 4. Notez la réponse. Comment formaliser la solution si les deux côtés de l'équation sont multipliés par un dénominateur commun ? 3. Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

Trouvez le dénominateur commun des fractions de l’équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par un dénominateur commun qui n’est pas nul. Résolvez l’équation entière résultante. Éliminez des racines celles qui font disparaître le dénominateur commun. 5. Écrivez la réponse.

Nommez l’ODZ pour chaque équation. Nous avons examiné trois façons de résoudre des équations rationnelles fractionnaires. (Travailler en groupes. Les élèves choisissent comment résoudre l'équation de manière indépendante en fonction du type d'équation). L'enseignant surveille l'achèvement de la tâche, répond à toutes les questions qui se posent et apporte son aide aux élèves. Autotest : les réponses sont écrites au tableau a) Réponse : x = 1, x = b) Réponse : a = 3,5 c) Réponse : x = -3, x = 2 d) -5 est une racine étrangère. Réponse : x = 5 ; 5. Résumer la leçon. Ainsi, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations de différentes manières et avons testé nos connaissances grâce à un travail indépendant. Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires, à votre avis, est la plus simple, la plus accessible et la plus rationnelle ? Mais, quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que faut-il retenir ? Quelle est la « ruse » des équations rationnelles fractionnaires ?

Fixer des devoirs.

1. Dispositions générales

1.1. Afin de préserver la réputation de l'entreprise et d'assurer le respect de la législation fédérale, l'Institut fédéral de recherche technologique « Informika » (ci-après dénommée la Société) considère que la tâche la plus importante est d'assurer la légitimité du traitement et la sécurité des données personnelles. données des sujets dans les processus commerciaux de la Société.

1.2. Pour résoudre ce problème, la Société a mis en place, exploite et fait subir un examen (surveillance) périodique d'un système de protection des données personnelles.

1.3. Le traitement des données personnelles au sein de la Société repose sur les principes suivants :

La légalité des finalités et des modalités de traitement des données personnelles et leur intégrité ;

Conformité des finalités du traitement des données personnelles avec les finalités prédéterminées et énoncées lors de la collecte des données personnelles, ainsi qu'avec les pouvoirs de la Société ;

Correspondance du volume et de la nature des données personnelles traitées, des modalités de traitement des données personnelles et des finalités du traitement des données personnelles ;

La fiabilité des données personnelles, leur pertinence et leur suffisance aux finalités du traitement, l'irrecevabilité des traitements de données personnelles excessifs au regard des finalités de collecte des données personnelles ;

La légitimité des mesures organisationnelles et techniques pour assurer la sécurité des données personnelles ;

Amélioration continue du niveau de connaissance des salariés de la Société dans le domaine de la garantie de la sécurité des données personnelles lors de leur traitement ;

Rechercher une amélioration continue du système de protection des données personnelles.

2. Finalités du traitement des données personnelles

2.1. Conformément aux principes de traitement des données personnelles, la Société a déterminé la composition et les finalités du traitement.

Finalités du traitement des données personnelles :

Conclusion, soutien, modification, rupture des contrats de travail, qui sont à la base de l'émergence ou de la rupture des relations de travail entre l'Entreprise et ses salariés ;

Fourniture d'un portail et de services de compte personnel pour les étudiants, les parents et les enseignants ;

Stockage des résultats d'apprentissage ;

Respect des obligations prévues par la législation fédérale et d'autres actes juridiques réglementaires ;

3. Règles de traitement des données personnelles

3.1. La Société traite uniquement les données personnelles présentées dans la liste approuvée des données personnelles traitées dans l'Institution autonome de l'État fédéral, Institut national de recherche technologique "Informika".

3.2. La Société n'autorise pas le traitement des catégories de données personnelles suivantes :

Course;

Opinions politiques;

Croyances philosophiques ;

Sur l'état de santé ;

État de vie intime ;

Nationalité;

Croyances religieuses.

3.3. La Société ne traite pas de données personnelles biométriques (informations qui caractérisent les caractéristiques physiologiques et biologiques d'une personne, sur la base desquelles on peut établir son identité).

3.4. La Société n'effectue pas de transfert transfrontalier de données personnelles (transfert de données personnelles vers le territoire d'un État étranger vers une autorité d'un État étranger, une personne physique étrangère ou une personne morale étrangère).

3.5. La Société interdit de prendre des décisions concernant les personnes concernées basées uniquement sur le traitement automatisé de leurs données personnelles.

3.6. La Société ne traite pas de données sur le casier judiciaire des sujets.

3.7. La société ne publie pas les données personnelles du sujet dans des sources accessibles au public sans son consentement préalable.

4. Exigences mises en œuvre pour garantir la sécurité des données personnelles

4.1. Afin d'assurer la sécurité des données personnelles lors de leur traitement, la Société met en œuvre les exigences des documents réglementaires suivants de la Fédération de Russie dans le domaine du traitement et de la garantie de la sécurité des données personnelles :

Loi fédérale du 27 juillet 2006 n° 152-FZ « sur les données personnelles » ;

Décret du gouvernement de la Fédération de Russie du 1er novembre 2012 N 1119 « Sur l'approbation des exigences en matière de protection des données personnelles lors de leur traitement dans les systèmes d'information sur les données personnelles » ;

Décret du gouvernement de la Fédération de Russie du 15 septembre 2008 n° 687 « sur l'approbation du règlement sur les spécificités du traitement des données personnelles effectué sans l'utilisation d'outils d'automatisation » ;

Ordonnance du FSTEC de Russie du 18 février 2013 N 21 « Sur l'approbation de la composition et du contenu des mesures organisationnelles et techniques visant à assurer la sécurité des données personnelles lors de leur traitement dans les systèmes d'information sur les données personnelles » ;

Modèle de base des menaces pour la sécurité des données personnelles lors de leur traitement dans les systèmes d'information sur les données personnelles (approuvé par le directeur adjoint du FSTEC de Russie le 15 février 2008) ;

Méthodologie pour déterminer les menaces actuelles pour la sécurité des données personnelles lors de leur traitement dans les systèmes d'information sur les données personnelles (approuvée par le directeur adjoint du FSTEC de Russie le 14 février 2008).

4.2. La société évalue les dommages pouvant être causés aux personnes concernées et identifie les menaces pour la sécurité des données personnelles. Conformément aux menaces actuelles identifiées, la Société applique les mesures organisationnelles et techniques nécessaires et suffisantes, notamment l'utilisation d'outils de sécurité de l'information, la détection des accès non autorisés, la restauration des données personnelles, l'établissement de règles d'accès aux données personnelles, ainsi que la surveillance et évaluation de l’efficacité des mesures appliquées.

4.3. La Société a désigné des personnes chargées d'organiser le traitement et d'assurer la sécurité des données personnelles.

4.4. La direction de la Société est consciente de la nécessité et souhaite assurer un niveau de sécurité adéquat pour les données personnelles traitées dans le cadre de l'activité principale de la Société, à la fois en termes d'exigences des documents réglementaires de la Fédération de Russie et justifiées du point de vue d'évaluer les risques de l'entreprise.

Équations rationnelles fractionnaires (9e année)

Professeur de mathématiques Klimochkina G.N.

Objectif : continuer à développer la capacité à résoudre des équations rationnelles fractionnaires à l'aide d'un algorithme connu des élèves du cours de 8e.

Pendant les cours

JE. Organisation du temps

Vérifier l'état de préparation des élèves pour le cours, vérifier les personnes présentes, l'ambiance générale du cours.

Aujourd'hui, en classe, je voudrais vous inviter à approfondir votre connaissance du monde merveilleux des mathématiques - dans le monde des équations, dans le monde de la recherche, dans le monde de la recherche.

Devise de la leçon :L’exercice, et non le repos, donne de la force à l’esprit. ( Alexandre Pape)

Notez : nombre, travail en classe, sujet de cours « Équations rationnelles fractionnaires ».

II. Explication du nouveau matériel.

L'explication du matériel s'effectue en plusieurs étapes.

1. Étudier le concept d'équation rationnelle fractionnaire. La maîtrise de ce concept est testée par la résolution d'un exercice permettant de reconnaître ce type d'équation.

Exercice.

1). Parmi les équations suivantes, lesquelles sont rationnelles fractionnaires ? Expliquez votre réponse.

UN) ; G) ;

b) ; d) ;

V) ; e) .

2). Est-il vrai que l'expression va à zéro :

a) quand X= 2 ; b) quand X= –5 ; c) quand X = 1.

2. Conditions pour que la fraction soit égale à zéro.

A quelle valeur de la variable la fraction est-elle égale à zéro ?

Une fraction est égale à zéro si le numérateur est zéro et le dénominateur n'est pas zéro.

X³ - 25x = 0,

X(x² - 25) = 0,

X = 0, x = ±5.

Si x = 0, alors x² - 6x + 5 ≠ 0,

Si x = -5, alors x² - 6x + 5 ≠ 0,

Si x = 5, alors x² - 6x + 5 = 0.

Réponse : à x = 0, x = -5.

3. Dérivation d'un algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires. L'algorithme est présenté à la p. 78 manuel. (Il est conseillé aux élèves de le noter dans leur cahier.)

3. Considération d'exemples de résolution d'équations rationnelles fractionnaires à l'aide de l'algorithme étudié (exemple 1 et exemple 3 du manuel).

III. Formation de compétences et d'aptitudes.

Des exercices:

1. Oralement (en travaillant avec des diapositives) :