Équation d'une droite sur un plan

Introduisons d'abord le concept de l'équation d'une droite dans un système de coordonnées bidimensionnel. Construisons une ligne arbitraire $L$ dans le système de coordonnées cartésiennes (Fig. 1).

Figure 1. Ligne arbitraire dans le système de coordonnées

Définition 1

Une équation à deux variables $x$ et $y$ est appelée une équation de la droite $L$ si cette équation est satisfaite par les coordonnées de tout point appartenant à la droite $L$ et n'est satisfaite par aucun point n'appartenant pas à la droite $L$. ligne $L.$

Équation du cercle

Dérivons l'équation du cercle dans le système de coordonnées cartésiennes $xOy$. Soit le centre du cercle $C$ les coordonnées $(x_0,y_0)$ et le rayon du cercle soit égal à $r$. Soit le point $M$ de coordonnées $(x,y)$ un point arbitraire de ce cercle (Fig. 2).

Figure 2. Cercle en coordonnées cartésiennes

La distance du centre du cercle au point $M$ est calculée comme suit

Mais, puisque $M$ se trouve sur le cercle, nous obtenons $CM=r$. On obtient alors ce qui suit

L'équation (1) est l'équation d'un cercle centré au point $(x_0,y_0)$ et de rayon $r$.

En particulier si le centre du cercle coïncide avec l'origine. Alors l’équation du cercle a la forme

Équation d'une droite.

Dérivons l'équation de la droite $l$ dans le système de coordonnées cartésiennes $xOy$. Supposons que les points $A$ et $B$ aient respectivement les coordonnées $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ et $\(x_2,\ y_2\)$, et les points $A$ et $B $ sont choisis de telle sorte que la droite $l$ soit la médiatrice perpendiculaire au segment $AB$. On choisit un point arbitraire $M=\(x,y\)$ appartenant à la droite $l$ (Fig. 3).

Puisque la droite $l$ est la médiatrice du segment $AB$, le point $M$ est équidistant des extrémités de ce segment, c'est-à-dire $AM=BM$.

Trouvez les longueurs de ces côtés en utilisant la formule de la distance entre les points :

Ainsi

Notons $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, On obtient que l'équation d'une droite dans le système de coordonnées cartésiennes a la forme suivante :

Un exemple de problème pour trouver les équations de droites dans un système de coordonnées cartésiennes

Exemple 1

Trouvez l'équation d'un cercle centré au point $(2,\ 4)$. Passant par l'origine et une droite parallèle à l'axe $Ox,$ passant par son centre.

Solution.

Trouvons d'abord l'équation du cercle donné. Pour ce faire, nous utiliserons l'équation générale du cercle (dérivée ci-dessus). Puisque le centre du cercle se trouve au point $(2,\ 4)$, on obtient

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Trouvez le rayon du cercle comme la distance du point $(2,\ 4)$ au point $(0,0)$

On obtient l'équation du cercle de la forme :

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Trouvons maintenant l'équation du cercle en utilisant cas particulier 1. Obtenez

Sujet de la leçon : Équation du cercle

Objectifs de la leçon:

Éducatif: Dérivez l'équation du cercle, en considérant la solution de ce problème comme l'une des possibilités d'application de la méthode des coordonnées.

Être capable de:

– Reconnaître l'équation d'un cercle selon l'équation proposée, apprendre aux élèves à dresser une équation d'un cercle d'après un dessin fini, construire un cercle selon une équation donnée.

Éducatif : Formation de la pensée critique.

Éducatif : Développement de la capacité à faire des prescriptions algorithmiques et de la capacité à agir conformément à l'algorithme proposé.

Être capable de:

– Voyez le problème et planifiez des moyens de le résoudre.

– Résumez vos pensées oralement et par écrit.

Type de cours : assimilation de nouvelles connaissances.

Équipement : PC, projecteur multimédia, écran.

Plan de cours:

1. Discours d'ouverture - 3 min.

2. Actualisation des connaissances - 2 min.

3. Énoncé du problème et de sa solution -10 min.

4. Fixation frontale du nouveau matériau - 7 min.

5. Travail indépendant en groupe - 15 min.

6. Présentation de l'ouvrage : discussion - 5 min.

7. Le résultat de la leçon. Devoirs- 3 minutes.

Pendant les cours

Le but de cette étape : Humeur psychologique des étudiants ; Implication de tous les étudiants dans processus éducatif, créant une situation de réussite.

1. Organisation du temps.

3 minutes

Les gars! Vous avez rencontré le cercle en 5e et 8e années. Que sais-tu d'elle ?

Vous en savez beaucoup et ces données peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes géométriques. Mais pour résoudre des problèmes dans lesquels la méthode des coordonnées est utilisée, cela ne suffit pas.Pourquoi?

Absolument raison.

Par conséquent, l'objectif principal de la leçon d'aujourd'hui est de dériver l'équation d'un cercle à partir des propriétés géométriques d'une droite donnée et de l'appliquer pour résoudre des problèmes géométriques.

Laisse tomberdevise de la leçon les mots du scientifique et encyclopédiste d'Asie centrale Al-Biruni deviendront : « La connaissance est le plus excellent des biens. Tout le monde s’efforce d’y parvenir, mais cela ne vient pas tout seul.

Écrivez le sujet de la leçon dans un cahier.

Définition d'un cercle.

Rayon.

Diamètre.

Accord. Etc.

Nous ne connaissons pas encore la forme générale de l’équation du cercle.

Les élèves énumèrent tout ce qu’ils savent sur le cercle.

diapositive 2

diapositive 3

Le but de l'étape est de se faire une idée de la qualité de l'apprentissage par les étudiants de la matière, de déterminer les connaissances de base.

2. Mise à jour des connaissances.

2 minutes

Lors de la dérivation de l'équation du cercle vous aurez besoin de la définition déjà connue d'un cercle et d'une formule qui permet de trouver la distance entre deux points par leurs coordonnées.Rappelons-nous ces faits /Prépétition du matériel déjà étudié/:

– Notez la formule pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment.

– Notez la formule pour calculer la longueur d'un vecteur.

– Écrivez la formule pour trouver la distance entre les points (longueur du segment).

Modification des enregistrements...

Entraînement géométrique.

Points donnésUn (-1 ; 7) EtDans (7 ; 1).

Calculez les coordonnées du milieu du segment AB et sa longueur.

Vérifie la justesse de l'exécution, corrige les calculs...

Un élève au tableau et les autres écrivent des formules dans des cahiers

Un cercle est une figure géométrique constituée de tous les points situés à une distance donnée d'un point donné.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Calculer : C (3 ; 4)

| AB | = 10

AVEC poser 4

diapositive 5

3. Formation de nouvelles connaissances.

12 minutes

Objectif : la formation du concept - l'équation du cercle.

Résoudre le problème:

Un cercle de centre A(x; y) est construit dans un système de coordonnées rectangulaires. M(x; y) - point arbitraire du cercle. Trouvez le rayon du cercle.

Les coordonnées d’un autre point satisferont-elles à cette égalité ? Pourquoi?

Mettons au carré les deux côtés de l’équation.En conséquence, nous avons :

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² est l'équation du cercle, où (x; y) est les coordonnées du centre du cercle, (x; y) est les coordonnées d'un arbitraire point situé sur le cercle, r est le rayon du cercle.

Résoudre le problème:

Quelle sera l’équation d’un cercle centré à l’origine ?

Alors, que faut-il savoir pour écrire l’équation d’un cercle ?

Suggérez un algorithme pour compiler l'équation du cercle.

Conclusion : ... écrivez dans un cahier.

Un rayon est un segment reliant le centre d'un cercle à un point arbitraire situé sur le cercle. Par conséquent, r = | AM | = √ (x - x)² + (y - y)²

Tout point d'un cercle se trouve sur ce cercle.

Les élèves écrivent dans des cahiers.

(0;0)-coordonnées du centre du cercle.

x² + y² = r², où r est le rayon du cercle.

Les coordonnées du centre du cercle, le rayon, n'importe quel point du cercle...

Ils proposent un algorithme...

Notez l'algorithme dans un cahier.

diapositive 6

Diapositive 7

Diapositive 8

L'enseignant écrit l'équation au tableau.

Diapositive 9

4. Fixation primaire.

23 minutes

Cible:reproduction par les étudiants du matériel qui vient d'être perçu pour éviter la perte des idées et des concepts formés. Consolidation de nouvelles connaissances, idées, concepts basés sur leurapplications.

Contrôle ZUN

Appliquons les connaissances acquises pour résoudre les problèmes suivants.

Tâche: A partir des équations proposées, nommez les nombres de celles qui sont les équations du cercle. Et si l'équation est l'équation d'un cercle, alors nommez les coordonnées du centre et indiquez le rayon.

Toutes les équations du deuxième degré à deux variables ne définissent pas un cercle.

4x² + y² = 4-équation elliptique.

x²+y²=0-point.

x² + y² = -4-cette équation ne définit aucun chiffre.

Les gars! Que faut-il savoir pour écrire l’équation d’un cercle ?

Résoudre le problème N° 966 page 245 (manuel).

L'enseignant appelle l'élève au tableau.

Les données spécifiées dans la condition du problème sont-elles suffisantes pour établir une équation pour un cercle ?

Tâche:

Écrivez l'équation d'un cercle centré à l'origine et de diamètre 8.

Tâche : dessine un cercle.

Le centre a des coordonnées ?

Déterminez le rayon... et construisez

Tâche à la page 243 (manuel) s’entend oralement.

À l'aide du plan de résolution de problèmes de la p.243, résolvez le problème :

Écrivez l'équation d'un cercle centré au point A(3;2) si le cercle passe par le point B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² = 36 - équation du cercle ; (5 ; 3), r = 6.

2) (x-1)² + y² = 49 - équation du cercle ; (1 ; 0), r = 7.

3) x² + y² = 7 - équation du cercle ; (0 ; 0), r = √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² = équation à 2 cercles ; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² = 4 n'est pas une équation de cercle.

6) x² + y² = 0- n'est pas une équation d'un cercle.

7) x² + y² = -4- n'est pas une équation d'un cercle.

Connaître les coordonnées du centre du cercle.

Longueur du rayon.

Remplacez les coordonnées du centre et la longueur du rayon dans l'équation générale d'un cercle.

Résoudre le problème n°966 page 245 (manuel).

Assez de données.

Ils résolvent le problème.

Puisque le diamètre d’un cercle est le double de son rayon, alors r=8÷2=4. Donc x² + y² = 16.

Effectuer la construction de cercles

Travail de manuel. Tâche à la page 243.

Étant donné : A (3 ; 2) - le centre du cercle ; В(7;5)є(А;r)

Trouver : équation du cercle

Solution : r² = (x - x)² + (y - y)²

r² = (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² = 25

Réponse : (x -3)² + (y -2)² = 25

diapositive 10-13

Résoudre des problèmes typiques en prononçant la solution dans un discours fort.

L'enseignant appelle un élève pour écrire l'équation résultante.

Retour à la diapositive 9

Discussion d'un plan pour résoudre ce problème.

Glisser. 15. L'enseignant appelle un élève au tableau pour résoudre ce problème.

diapositive 16.

diapositive 17.

5. Résumé de la leçon.

5 minutes

Réflexion sur les activités en classe.

Devoir : §3, item 91, questions de contrôle n°16,17.

Problèmes n° 959(b, d, e), 967.

Tâche d'évaluation complémentaire (tâche problématique) : Construire un cercle donné par l'équation

x² + 2x + y² -4y = 4.

De quoi avons-nous parlé en classe ?

Que souhaitiez-vous recevoir ?

Quel était le but de la leçon ?

Quelles tâches peuvent être résolues par notre « découverte » ?

Lequel d'entre vous estime avoir atteint l'objectif fixé par le professeur lors de la leçon à 100 %, à 50 % ; vous n'avez pas atteint l'objectif...?

Classement.

Écrivez vos devoirs.

Les élèves répondent aux questions posées par l'enseignant. Effectuer une auto-évaluation de leur propre performance.

Les étudiants doivent exprimer en un mot le résultat et les moyens d'y parvenir.

Laissez le cercle avoir un rayon , et son centre est au point
. Point
appartient au cercle si et seulement si le module du vecteur
équivaut à , c'est-à-dire. La dernière égalité est vraie si et seulement si

L'équation (1) est l'équation du cercle souhaitée.

L'équation d'une droite passant par un point donné est perpendiculaire à un vecteur donné

perpendiculaire au vecteur
.

Point

Et
sont perpendiculaires. Vecteurs
Et
sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire
. A l'aide de la formule de calcul du produit scalaire des vecteurs donné par leurs coordonnées, on écrit l'équation de la droite souhaitée sous la forme

Prenons un exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par

le milieu du segment AB est perpendiculaire à ce segment si les coordonnées des points sont respectivement égales à A (1 ; 6), B (5 ; 4).

Nous argumenterons comme suit. Pour trouver l’équation d’une droite, il faut connaître le point par lequel passe cette droite, et le vecteur perpendiculaire à cette droite. Le vecteur perpendiculaire à cette droite sera le vecteur, puisque, selon la condition du problème, la droite est perpendiculaire au segment AB. Indiquer
nous déterminons à partir de la condition que la droite passe par le milieu de AB. Nous avons . Ainsi
et l'équation prendra la forme.

Précisons la question de savoir si cette droite passe par le point M(7;3).

Nous avons , ce qui signifie que cette ligne ne passe pas par le point spécifié.

Équation d'une droite passant par un point donné, parallèle à un vecteur donné

Laisse la ligne passer par le point
parallèle au vecteur
.

Point
se trouve sur une droite si et seulement si les vecteurs
Et
colinéaire. Vecteurs
Et
sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire

(3)

L’équation résultante est l’équation de la droite souhaitée.

L'équation (3) peut être représentée comme

, Où prend n'importe quelle valeur
.

On peut donc écrire

, Où
(4)

Le système d'équations (4) est appelé équations paramétriques de la droite.

Prenons un exemple. Trouvez l'équation d'une droite passant par les points. On peut construire l’équation d’une droite si l’on connaît un point et un vecteur qui lui est parallèle ou perpendiculaire. Deux points sont disponibles. Mais si deux points se trouvent sur une ligne, alors le vecteur qui les relie sera parallèle à cette ligne. Par conséquent, nous utilisons l’équation (3), en prenant comme vecteur
vecteur
. On a

(5)

L'équation (5) est appelée l'équation d'une droite passant par deux points donnés.

Équation générale d'une droite

Définition. L'équation générale d'une droite du premier ordre sur un plan est une équation de la forme
, Où
.

Théorème. Toute ligne droite dans le plan peut être donnée comme une équation de ligne du premier ordre, et toute équation de ligne du premier ordre est une équation d’une ligne droite dans le plan.

La première partie de ce théorème est facile à démontrer. Sur n'importe quelle ligne, vous pouvez spécifier un point
vecteur perpendiculaire à lui
. Alors, d’après (2), l’équation d’une telle droite a la forme Dénoter
. L’équation prendra alors la forme
.

Passons maintenant à la deuxième partie du théorème. Qu'il y ait une équation
, Où
. Pour être précis, nous supposerons
.

Réécrivons l'équation sous la forme :

;

Considérons un point dans l'avion
, Où
. Alors l'équation résultante a la forme , et est l'équation d'une droite passant par le point
perpendiculaire au vecteur
. Le théorème a été prouvé.

En train de prouver le théorème, nous avons prouvé en cours de route

Déclaration. S'il existe une équation de droite
, alors le vecteur
perpendiculaire à cette ligne.

Tapez l'équation
s'appelle l'équation générale d'une droite dans un plan.

Qu'il y ait une ligne
et point
. Il est nécessaire de déterminer la distance entre le point spécifié et la ligne.

Considérons un point arbitraire
sur une ligne droite. Nous avons
. Distance de ce point
à la droite est égal au module de la projection du vecteur
par vecteur
perpendiculaire à cette ligne. Nous avons

,

transformer, on obtient la formule :

Soit deux droites données par les équations générales

,
. Alors les vecteurs

perpendiculairement aux première et deuxième lignes, respectivement. Coin
entre les lignes est égal à l'angle entre les vecteurs
,
.

Alors la formule pour déterminer l’angle entre les lignes est :

.

La condition de perpendiculaire des droites a la forme :

.

Les droites sont parallèles ou coïncident si et seulement si les vecteurs

colinéaire. Où la condition de coïncidence des lignes a la forme:
,

et la condition d’absence d’intersection s’écrit :
. Prouvez vous-même les deux dernières conditions.

Etudions le comportement de la droite selon son équation générale.

Soit l'équation générale d'une droite
. Si
, alors la droite passe par l’origine.

Considérons le cas où aucun des coefficients n'est égal à zéro
. On réécrit l'équation sous la forme :

,

,

Où
. Découvrez la signification des paramètres
. Trouvez les points d'intersection de la ligne avec les axes de coordonnées. À
nous avons
, et quand
nous avons
. C'est
- ce sont les segments qui sont coupés par une ligne droite sur les axes de coordonnées. Par conséquent, l’équation
s'appelle l'équation d'une droite en segments.

Quand
nous avons

. Quand
nous avons
. Autrement dit, la ligne sera parallèle à l'axe .

Rappeler que pente d'une droite est appelée la tangente de l'angle d'inclinaison de cette droite à l'axe
. Que la ligne droite soit coupée sur l'axe segment de ligne et a une pente . Laissons le point
ment là-dessus

Alors
==. Et l'équation d'une droite s'écrira sous la forme

.

Laisse la ligne passer par le point
et a une pente . Laissons le point
se trouve sur cette ligne.

Alors =
.

L'équation résultante est appelée l'équation d'une droite passant par un point donné avec une pente donnée.

Soit deux lignes
,
. Dénoter
est l'angle entre eux. Laisser ,angles d'inclinaison par rapport à l'axe X des lignes correspondantes

Alors
=
,
.

Alors la condition des droites parallèles a la forme
, et la condition de circularité

En conclusion, nous considérons deux problèmes.

Tâche . Les sommets du triangle ABC ont pour coordonnées : A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Trouver : a) l'équation et la longueur de la médiane tirée du sommet A ;

b) l'équation et la longueur de la hauteur tirée du sommet A ;

c) l'équation de la bissectrice tirée du sommet A ;

Définissons l'équation de la médiane AM.

Le point M() est le milieu du segment BC.

Alors , . Par conséquent, le point M a les coordonnées M(15;17). L'équation médiane dans le langage de la géométrie analytique est l'équation d'une droite passant par le point A (4 ; 2) parallèle au vecteur = (11 ; 15). Alors l’équation médiane est Longueur médiane AM= .

L'équation de hauteur AS est l'équation d'une droite passant par le point A(4;2) perpendiculaire au vecteur =(10;4). Alors l’équation de la hauteur est 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

La longueur de la hauteur est la distance du point A (4 ; 2) à la droite BC. Cette droite passe par le point B(10;10) parallèle au vecteur =(10;4). Son équation est , 2x-5a+30=0. La distance AS du point A(4;2) à la droite BC est donc égale à AS= .

Pour déterminer l'équation de la bissectrice, on trouve un vecteur parallèle à cette droite. Pour ce faire, on utilise la propriété de la diagonale d'un losange. Si les vecteurs unitaires sont écartés du point A et sont également dirigés avec les vecteurs, alors un vecteur égal à leur somme sera parallèle à la bissectrice. Alors nous avons =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Alors = Le vecteur = (1 ; 1), colinéaire à celui donné, peut servir de vecteur directeur de la droite souhaitée. Ensuite, l'équation de la droite souhaitée a vu x-y-2=0.

Tâche. La rivière coule en ligne droite passant par les points A(4;3) et B(20;11). Le Petit Chaperon Rouge habite au point C(4;8), et sa grand-mère habite au point D(13;20). Chaque matin, le Petit Chaperon Rouge sort un seau vide de la maison, va à la rivière, puise de l'eau et l'apporte à sa grand-mère. Trouvez le plus raccourci pour le Petit Chaperon Rouge.

Trouvons le point E, symétrique à la grand-mère, par rapport à la rivière.

Pour ce faire, on trouve d'abord l'équation de la droite le long de laquelle coule la rivière. Cette équation peut être considérée comme l'équation d'une droite passant par le point A(4;3) parallèle au vecteur. Alors l’équation de la droite AB a la forme.

On retrouve ensuite l'équation de la droite DE passant par le point D perpendiculaire à AB. Elle peut être considérée comme l’équation d’une droite passant par le point D, perpendiculaire au vecteur
. Nous avons

Trouvons maintenant le point S - la projection du point D sur la ligne AB, comme l'intersection des lignes AB et DE. Nous avons un système d'équations

.

Par conséquent, le point S a les coordonnées S(18;10).

Puisque S est le milieu du segment DE, alors .

De même.

Par conséquent, le point E a les coordonnées E(23;0).

Trouvons l'équation de la droite CE, connaissant les coordonnées de deux points de cette droite

On trouve le point M comme l'intersection des droites AB et CE.

Nous avons un système d'équations

.

Le point M a donc pour coordonnées
.

Sujet 2 Le concept de l'équation de surface dans l'espace. Équation de sphère. L'équation d'un plan passant par un point donné est perpendiculaire à un vecteur donné. L'équation générale du plan et son étude Condition de parallélisme de deux plans. La distance d'un point à un plan. Le concept de l'équation linéaire. Ligne droite dans l'espace. Equations canoniques et paramétriques d'une droite dans l'espace. Équations d'une droite passant par deux points donnés. Conditions de parallélisme et de perpendiculaire d'une droite et d'un plan.

Tout d’abord, définissons le concept d’équation de surface dans l’espace.

Laisser entrer l'espace
une certaine surface est donnée . L'équation
s'appelle l'équation de surface si deux conditions sont remplies :

1.pour n'importe quel point
avec coordonnées
couché à la surface,
, c'est-à-dire que ses coordonnées satisfont l'équation de la surface ;

2. n'importe quel point
, dont les coordonnées satisfont à l'équation
, se trouve sur la ligne.

La géométrie analytique fournit des méthodes uniformes pour résoudre des problèmes géométriques. Pour ce faire, tous les points et lignes donnés et souhaités sont référencés au même système de coordonnées.

Dans un repère, chaque point peut être caractérisé par ses coordonnées, et chaque droite par une équation à deux inconnues, dont cette droite est un graphique. Ainsi, le problème géométrique est réduit à un problème algébrique, où toutes les méthodes de calcul sont bien développées.

Un cercle est un lieu de points possédant une propriété spécifique (chaque point du cercle est équidistant d'un point, appelé centre). L'équation du cercle doit refléter cette propriété, satisfaire cette condition.

L'interprétation géométrique de l'équation d'un cercle est la ligne d'un cercle.

Si nous plaçons le cercle dans le système de coordonnées, alors tous les points du cercle satisfont à une condition : la distance entre eux et le centre du cercle doit être la même et égale à celle du cercle.

Cercle centré en un point UN et rayon R. placé dans le plan de coordonnées.

Si les coordonnées du centre (un B) , et les coordonnées de n'importe quel point du cercle (x; y) , alors l'équation du cercle a la forme :

Si le carré du rayon du cercle est égal à la somme différences au carré des coordonnées correspondantes de n'importe quel point du cercle et de son centre, alors cette équation est l'équation du cercle dans un système de coordonnées plat.

Si le centre du cercle coïncide avec le point d'origine, alors le carré du rayon du cercle est égal à la somme des carrés des coordonnées de n'importe quel point du cercle. Dans ce cas, l'équation du cercle prend la forme :

Par conséquent, toute figure géométrique en tant que lieu de points est déterminée par une équation reliant les coordonnées de ses points. A l’inverse, l’équation reliant les coordonnées X Et à , définissez une ligne comme le lieu des points dans le plan dont les coordonnées satisfont à l'équation donnée.

Exemples de résolution de problèmes sur l'équation d'un cercle

Tâche. Écrire une équation pour un cercle donné

Écrivez l'équation d'un cercle centré au point O (2;-3) et de rayon 4.

Solution.
Passons à la formule de l'équation du cercle :
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2

Remplacez les valeurs dans la formule.
Rayon du cercle R = 4
Coordonnées du centre du cercle (selon la condition)
une = 2
b=-3

On a:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
ou
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Tâche. Un point appartient-il à l'équation d'un cercle

Vérifiez si le point appartient UNE(2;3)équation du cercle (x-2) 2 + (o + 3) 2 = 16 .

Solution.
Si un point appartient à un cercle, alors ses coordonnées satisfont à l'équation du cercle.
Pour vérifier si un point avec des coordonnées données appartient au cercle, on substitue les coordonnées du point dans l'équation du cercle donné.

Dans l'équation ( X - 2) 2 + (oui + 3) 2 = 16
on substitue, selon la condition, les coordonnées du point A (2 ; 3), soit
x=2
y=3

Vérifions la véracité de l'égalité obtenue
(X - 2) 2 + (oui + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 l'égalité est mauvaise

Donc le point donné n'appartient paséquation de cercle donnée.

Le but de la leçon : introduire l'équation d'un cercle, apprendre aux élèves à dresser une équation d'un cercle d'après un dessin fini, construire un cercle selon une équation donnée.

Équipement: tableau interactif.

Plan de cours:

1. Moment d'organisation - 3 min.
2. Répétition. Organisation de l'activité mentale - 7 min.
3. Explication du nouveau matériel. Dérivation de l'équation du cercle - 10 min.
4. Consolidation du matériel étudié - 20 min.
5. Résumé de la leçon - 5 min.

Pendant les cours

2. Répétition :

− (Annexe 1 diapositive 2) notez la formule pour trouver les coordonnées du milieu du segment ;

− (Diapositive 3) Zécrivez la formule de la distance entre les points (la longueur du segment).

3. Explication du nouveau matériel.

(Diapositives 4 à 6) Définir l'équation d'un cercle. Dérivez les équations d’un cercle centré en un point ( UN;b) et centré à l'origine.

(X – UN ) 2 + (à – b ) 2 = R. 2 − équation du cercle de centre AVEC (UN;b) , rayon R. , X Et à – coordonnées d'un point arbitraire sur le cercle .

X 2 + oui 2 = R. 2 est l'équation d'un cercle centré à l'origine.

(Diapositive 7)

Pour écrire l’équation d’un cercle, il vous faut :

• connaître les coordonnées du centre ;
• connaître la longueur du rayon ;
• remplacez les coordonnées du centre et la longueur du rayon dans l’équation du cercle.

4. Résolution de problèmes.

Dans les tâches n°1 - n°6, dressez les équations du cercle d'après les dessins finis.

(Diapositive 14)

№ 7. Remplis le tableau.

(Diapositive 15)

№ 8. Construisez des cercles dans le cahier donné par les équations :

UN) ( X – 5) 2 + (à + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (à– 7) 2 = 7 2 .

(Diapositive 16)

№ 9. Trouver les coordonnées du centre et la longueur du rayon si UN B est le diamètre du cercle.

Donné:		Solution:
		R.	Coordonnées du centre
1	UN(0 ; -6) DANS(0 ; 2)	UN B 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; UN B 2 = 64; UN B = 8 .	UN(0; -6) DANS(0 ; 2) AVEC(0 ; – 2) – centre
2	UN(-2 ; 0) DANS(4 ; 0)	UN B 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; UN B 2 = 36; UN B = 6.	UN (-2;0) DANS (4 ;0) AVEC(1 ; 0) – centre

(Diapositive 17)

№ 10. Écrire l'équation d'un cercle centré à l'origine passant par le point À(-12;5).

Solution.

R2 = D'accord 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Équation du cercle : x 2 + y 2 = 169 .

(Diapositive 18)

№ 11. Écrire l'équation d'un cercle passant par l'origine et centré au point AVEC(3; - 1).

Solution.

R2= Système d'exploitation 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Équation du cercle : ( X - 3) 2 + (oui + 1) 2 = 10.

(Diapositive 19)

№ 12. Écrire l'équation d'un cercle de centre UN(3;2) passant par DANS(7;5).

Solution.

1. Le centre du cercle - UN(3;2);
2.R. = UN B;
UN B 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; UN B = 5;
3. Équation du cercle ( X – 3) 2 + (à − 2) 2 = 25.

(Diapositive 20)

№ 13. Vérifiez si les points mentent UN(1; -1), DANS(0;8), AVEC(-3; -1) sur le cercle donné par l'équation ( X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

Solution.

je. Remplacer les coordonnées du point UN(1; -1) dans l'équation du cercle :

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - l'égalité est fausse, donc UN(1; -1) ne ment pas sur le cercle donné par l'équation ( X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

II. Remplacer les coordonnées du point DANS(0;8) dans l'équation du cercle :

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
DANS(0;8)mensonges X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

III. Remplacer les coordonnées du point AVEC(-3; -1) dans l'équation du cercle :

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - l'égalité est vraie, donc AVEC(-3; -1) mensonges sur le cercle donné par l'équation ( X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

Résumé de la leçon.

1. Répétez : équation d'un cercle, équation d'un cercle centré à l'origine.
2. (Diapositive 21) Devoirs.