In den meisten Fällen werden während eines Experiments mehrere Größen mit mehreren Instrumenten gemessen, und um das Endergebnis zu erhalten, müssen diese Messungen mithilfe mathematischer Operationen verarbeitet werden: Addition, Multiplikation usw. Daher ist es notwendig, die Genauigkeit des Experiments als Ganzes zu bewerten, indem die marginalen und mittleren quadratischen Fehler des Experiments berechnet werden.

Regeln zur Berechnung des maximalen relativen Versuchsfehlers:

1. Der Fehler der Summe liegt zwischen dem größten und dem kleinsten relativen Fehler der Terme. In der Regel wird entweder der größte Fehler oder der arithmetische Mittelwert berücksichtigt (bei Laborarbeiten verwenden wir den arithmetischen Mittelwert).

2. Der Fehler eines Produkts oder Quotienten ist gleich der Summe der relativen Fehler der Faktoren bzw. des Dividenden und Divisors.

3. Fehler N Grad der Basis in N mal der relative Fehler der Basis.

Um den quadratischen Mittelfehler des Ergebnisses indirekter Messungen zu berechnen, muss die Unabhängigkeit der Messergebnisse sichergestellt werden. In diesem Fall der quadratische Mittelwert des Fehlers bei der Berechnung des Wertes W, die eine Funktion direkt gemessener Parameter ist X, j, z, ... wird durch die Formel bestimmt:

wo sind die partiellen Ableitungen der Funktion, die anhand der Durchschnittswerte der Parameter berechnet werden? X, j, z, …, - jeweils korrigierte Varianzen X, j, z, ….

Beispiel. Bestimmung des Fehlers indirekter Messungen

Als Ergebnis wiederholter Messungen wurden die Durchschnittswerte und quadratischen Mittelfehler von 3 voneinander unabhängigen Parametern erhalten:

a) maximaler relativer Messfehler und maximaler relativer Fehler bei der Bestimmung der Funktion

b) Mittelwert und mittlerer quadratischer Fehler der Bestimmung der Funktion

a) Finden Sie die maximalen relativen Messfehler X, j, z nach Formel (13):

Maximaler relativer Fehler bei der Bestimmung der Funktion

Finden wir gemäß den Regeln zur Berechnung des maximalen relativen Fehlers des Experiments:

b) Berechnen Sie den Durchschnittswert der Funktion

Um den quadratischen Mittelwertfehler bei der Bestimmung der Funktion mit Formel (14) zu berechnen, ermitteln wir die partiellen Ableitungen:

und berechnen Sie sie zu Durchschnittswerten X, j, z:

Durch Einsetzen in Formel (14) erhalten wir:

4. Berechnung der Eigenschaften des linearen Regressionsmodells

Eine der effektivsten Methoden zur Ermittlung von Beziehungen zwischen Faktoren ist die Korrelations-Regressionsanalyse.

Die Aufgabe der Korrelations-Regression-Methode besteht darin, eine empirische Gleichung zu finden, die den Zusammenhang zwischen den resultierenden Parametern charakterisiert Y mit einem bestimmten Inputfaktor X.

Als eine Form der Kommunikation Y Und X Die lineare Abhängigkeit wird aufgrund ihrer Einfachheit bei Berechnungen und auch aufgrund der Tatsache, dass viele andere Arten von Abhängigkeiten darauf reduziert werden können, häufig verwendet.

Die Berechnung eines linearen Regressionsmodells umfasst die folgenden Schritte:

1. Berechnung der theoretischen linearen Regressionsgleichung;

2. Beurteilung der Stärke der Verbindung, Berechnung des Korrelationskoeffizienten;

3. Beurteilung der Signifikanz des Korrelationskoeffizienten;

4. Beurteilung der Bedeutung der Regressionsgleichungskoeffizienten;

5. Bestimmen der Angemessenheit der Regressionsgleichung und der Konfidenzgrenzen.

Lineare Regression Y An X hat die Form:

wobei α und β Regressionsparameter sind (β wird als Regressionskoeffizient bezeichnet).

Statistische Schätzungen der Regressionsparameter α und β werden so gewählt, dass die durch die Formel berechneten Werte möglichst nahe an den Erfahrungswerten liegen. Als Maß für die Nähe wird die Summe der quadratischen Abweichungen gewählt. Die Methode zum Finden von Parametern durch Minimierung der Summe der Quadrate der Abweichungen empirischer Werte von theoretischen Werten an denselben Punkten wird als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet.

Die nach dieser Methode erhaltenen optimalen Parameterwerte werden durch die Formeln bestimmt:

wo und sind die Durchschnittswerte X Und Y, die nach den Formeln berechnet werden:

Unter Berücksichtigung von (15) schreiben wir die empirische Regressionsgerade in der Form:

Stärke der linearen Korrelationsabhängigkeit Y Und X charakterisiert den Korrelationskoeffizienten R. Koeffizient R variiert von bis 1. Je näher es an liegt, desto stärker ist der lineare Zusammenhang Y Und X, im Grenzfall liegt eine exakte lineare funktionale Abhängigkeit vor Y aus X. Wenn, dann Y Und X korrelieren nicht. Durch Schätzung des Korrelationskoeffizienten R dient als Stichprobenkorrelationskoeffizient, der nach folgender Formel berechnet wird:

Der aus Stichprobendaten ermittelte Korrelationskoeffizient stimmt möglicherweise nicht mit dem tatsächlichen Wert überein, der der Allgemeinbevölkerung entspricht. Um die statistische Hypothese über die Signifikanz des Sticzu testen, verwenden Sie T-Student-t-Test, dessen beobachteter Wert nach folgender Formel berechnet wird:

Kritischer Wert T-Kriterien für die Anzahl der Freiheitsgrade und das Signifikanzniveau α werden aus Tabellen kritischer Punkte der Student-Verteilung ermittelt. Wenn , dann wird die Annahme über den Nullwert des Korrelationskoeffizienten nicht bestätigt und der Stist signifikant. Wenn, dann der Wert R nahe Null.

Um die in der Regressionsgleichung (16) enthaltenen Parameter abzuschätzen, können wir uns bei der Lösung praktischer Probleme auf die Konstruktion von Konfidenzintervallen beschränken. Für eine gegebene Zuverlässigkeit γ werden Konfidenzintervalle für Parameter und β durch die Formeln bestimmt:

Wo ist der kritische Wert? T-Kriterium für die Anzahl der Freiheitsgrade und das Signifikanzniveau, das aus den Tabellen der kritischen Punkte der Student-Verteilung ermittelt wird, - die Quadratwurzel der Restvarianz, die durch die Formel ermittelt wird:

Nachdem Sie eine empirische Regressionsgleichung erhalten haben, überprüfen Sie, wie gut diese mit den Beobachtungsergebnissen übereinstimmt. Um die Hypothese über die Bedeutung der Regressionsgleichung zu testen, verwenden Sie F-Fisher-Kriterium, dessen beobachteter Wert nach folgender Formel berechnet wird:

Wo ist die korrigierte Varianz? Y, die nach der Formel berechnet wird:

Kritischer Wert F-Kriterien für die Anzahl der Freiheitsgrade und das Signifikanzniveau α werden aus Tabellen kritischer Punkte der Fisher-Snedecor-Verteilung ermittelt. Wenn , dann wird die Hypothese über die Bedeutungslosigkeit der Regressionsgleichung nicht bestätigt und die Gleichung entspricht den Beobachtungsergebnissen. Wenn , dann ist die resultierende Gleichung unbedeutend.

Ein weiteres Merkmal des Maßes dafür, wie gut eine empirische Gleichung ein gegebenes Beobachtungssystem beschreibt, ist das Bestimmtheitsmaß D, die nach der Formel berechnet wird:

Je näher der Koeffizient D umso besser ist die Beschreibung.

Sobald das Modell erstellt ist, wird es für Analysen und Prognosen verwendet. Die Prognose erfolgt durch Einsetzen des Faktors in Gleichung (17). Die resultierende Punktschätzung ist:

Das Konfidenzintervall für den vorhergesagten Wert ist:

Wo ist der kritische Wert? T-Kriterium für die Anzahl der Freiheitsgrade und das Signifikanzniveau, das aus Tabellen kritischer Punkte der Student-Verteilung ermittelt wird.

Beispiel. Erstellen eines linearen Regressionsmodells

Bestimmen Sie anhand von Beobachtungsdaten die Parameter der linearen Regressionsgleichung Y An X. Finden Sie Regressions- und Korrelationskoeffizienten und testen Sie die Hypothese über die Signifikanz des Stichprobenkorrelationskoeffizienten. Finden Sie Konfidenzintervalle für die Parameter der Regressionsgleichung. Bestimmen Sie das Bestimmtheitsmaß. Testen Sie die Hypothese über die Bedeutung der resultierenden Regressionsgleichung. Finden Sie den vom Modell vorhergesagten Wert j bei x=x 0 und finden Sie ein Konfidenzintervall dafür. Nehmen Sie das Signifikanzniveau von 0,05.

X
Y	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

Um die Parameter der Regressionsgleichung zu erhalten, erstellen wir eine Tabelle. Tabelle 2

	0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7		0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
	9,6				1,66	83,8		0,0479

Die letzte Zeile der Tabelle zeigt die Summen der in den Berechnungen verwendeten Spalten.

Lassen Sie uns die Durchschnittswerte ermitteln X Und Y nach Formel (16):

Berechnen wir den Regressionskoeffizienten mit Formel (15):

Und wir erhalten eine empirische Regressionsgleichung, indem wir in (17) einsetzen:

Mit Formel (28) berechnen wir die theoretischen Werte und füllen die letzten beiden Spalten von Tabelle 2 aus.

Berechnen wir den Korrelationskoeffizienten mithilfe der Formel (18):

Und lassen Sie uns die Hypothese auf ihre Bedeutung testen. Wir ermitteln den beobachteten Wert des Kriteriums mithilfe der Formel (19):

Mithilfe der Tabelle der kritischen Punkte der Student-Verteilung ermitteln wir den kritischen Punkt der Student-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade und dem Signifikanzniveau. Wir erhalten und vergleichen: Daher ist der Korrelationskoeffizient und Y Und X sind durch einen linearen Zusammenhang verbunden.

Um die Konfidenzintervalle der Parameter der linearen Regressionsgleichung (28) zu bestimmen, ermitteln wir die Restvarianz mithilfe der Formel (22):

Durch Einsetzen in Formel (20) erhalten wir ein Konfidenzintervall für. Durch die Berechnung erhalten wir eine Intervallschätzung für mit Zuverlässigkeit

Wir erhalten das Konfidenzintervall für die Verwendung von Formel (21):

Also die Intervallschätzung für den Parameter mit Zuverlässigkeit

Überprüfen wir die Hypothese über die Bedeutung der resultierenden Regressionsgleichung. Um den beobachteten Wert zu berechnen F-Kriterien finden wir die korrigierte Varianz Y unter Verwendung von Formel (24): Durch Einsetzen in Formel (23) erhalten wir: Unter Verwendung der Tabelle der kritischen Punkte der Fisher-Snedecor-Verteilung für die Anzahl der Freiheitsgrade und auf dem Signifikanzniveau finden wir einen Vergleich der beobachteten und kritischen Werte F-Kriterien erhalten wir daher, dass die Gleichung signifikant ist.

Um die Angemessenheit des linearen Modells für die beobachteten Werte zu beurteilen, ermitteln wir auch das Bestimmtheitsmaß mithilfe der Formel (25):

Dieses Ergebnis wird wie folgt interpretiert: 97,1 % Variabilität Y durch eine Faktoränderung erklärt X und die übrigen Zufallsfaktoren machen 2,9 % der Variabilität aus. Diese Schlussfolgerung gilt jedoch nur für den betrachteten Wertebereich X.

Für die Prognose verwenden wir Gleichung (28). Mit einer Punktschätzung für j wir erhalten durch Einsetzen in Formel (28): Das Konfidenzintervall für erhalten wir aus Formel (27):

Abschließend eine Intervallschätzung mit Zuverlässigkeit

Lassen Sie zwei unabhängig voneinander gemessene physikalische Größen und mit Fehlern bzw. bekannt sein. Dann gelten folgende Regeln:

1. Der absolute Fehler der Summe (Differenz) ist die Summe der absoluten Fehler. Das heißt, wenn

Eine vernünftigere Schätzung (unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Werte unabhängig sind und es unwahrscheinlich ist, dass ihre wahren Werte gleichzeitig an den Enden der Bereiche liegen) wird mit der Formel erhalten:

Bei allen Schulolympiaden ist die Verwendung einer dieser beiden Formeln erlaubt. Ähnliche Formeln gelten für den Fall mehrerer (mehr als zwei) Terme.

Beispiel:

Lassen Sie den Wert ,

.

2. Der relative Fehler des Produkts (Quotient) ist die Summe der relativen Fehler.

Das heißt, wenn

Wie im vorherigen Fall wäre die Formel sinnvoller

Ähnliche Formeln gelten für den Fall mehrerer (mehr als zwei) Faktoren.

Durch die Addition zweier Größen wird also zunächst der absolute Fehler der Größe berechnet und anschließend kann der relative Fehler berechnet werden.

Beispiel:

Lassen Sie den Wert ,

3. Regel zur Potenzierung. Wenn, dann.

Beispiel:

4. Regel der Multiplikation mit einer Konstanten. Wenn .

Beispiel:

5. Komplexere Mengenfunktionen werden in einfachere Berechnungen zerlegt, deren Fehler mit den oben dargestellten Formeln berechnet werden können.

Beispiel:

Lassen

6. Wenn die Berechnungsformel komplex ist und nicht auf den oben beschriebenen Fall reduziert werden kann, können Schüler, die mit dem Konzept der partiellen Ableitung vertraut sind, den Fehler der indirekten Messung wie folgt ermitteln: sei , dann

oder eine einfachere Schätzung:

Beispiel:

Lassen

7. Schüler, die mit Ableitungen nicht vertraut sind, können die Grenzmethode verwenden, die aus Folgendem besteht: Lassen Sie uns wissen, dass es für jede Größe einen Bereich gibt, in dem ihr wahrer Wert liegt. Berechnen wir den minimal und maximal möglichen Wert eines Werts in dem Bereich, in dem Werte angegeben werden:

Für den absoluten Fehler eines Wertes nehmen wir die halbe Differenz aus Maximal- und Minimalwert:

Beispiel:

Lassen

Rundungsregeln

Bei der Verarbeitung von Messergebnissen ist häufig eine Rundung erforderlich. Dabei ist darauf zu achten, dass der beim Runden entstehende Fehler mindestens eine Größenordnung kleiner ist als andere Fehler. Allerdings ist es auch falsch, zu viele signifikante Zahlen zu belassen, da dadurch wertvolle Zeit verschwendet wird. In den meisten Fällen reicht es aus, den Fehler auf zwei signifikante Ziffern zu runden und das Ergebnis auf die gleiche Größenordnung wie den Fehler zu bringen. Beim Verfassen der endgültigen Antwort ist es üblich, nur eine signifikante Ziffer im Fehler zu belassen, es sei denn, diese Ziffer ist eins, dann müssen Sie zwei signifikante Ziffern im Fehler belassen. Außerdem wird die Reihenfolge einer Zahl häufig aus Klammern herausgenommen, sodass die erste signifikante Ziffer der Zahl entweder in der Einer- oder in der Zehntel-Reihenfolge verbleibt.

Angenommen, der Elastizitätsmodul von Stahl und Aluminium wurde gemessen und die folgenden Werte wurden erhalten (vor dem Runden):

, , , .

Die korrekt geschriebene Endantwort sieht dann so aus:

Grafische Darstellung

Bei vielen Aufgaben, die bei Physikolympiaden für Schüler gestellt werden, ist es notwendig, die Abhängigkeit einer physikalischen Größe von einer anderen zu beseitigen und diese Abhängigkeit dann zu analysieren (die experimentelle Abhängigkeit mit der theoretischen vergleichen, die unbekannten Parameter der theoretischen Abhängigkeit bestimmen). Ein Diagramm ist die bequemste und anschaulichste Möglichkeit, Daten darzustellen und weiter zu analysieren. Daher umfassen die Bewertungskriterien für die meisten experimentellen Probleme Punkte für die grafische Darstellung, auch wenn die grafische Darstellung in der Bedingung nicht ausdrücklich erforderlich ist. Wenn Sie also bei der Lösung eines Problems Zweifel haben, ob für diese Aufgabe ein Diagramm benötigt wird oder nicht, entscheiden Sie sich für ein Diagramm.

Regeln zum Erstellen eines Diagramms

1. Die Grafik wird auf Millimeterpapier gezeichnet. Wenn bei der Experimentalrunde der Olympiade nicht sofort Millimeterpapier zur Verfügung gestellt wurde, müssen Sie die Organisatoren darum bitten.

2. Die Grafik muss oben signiert werden, damit jederzeit erkennbar ist, welcher Teilnehmer diese Grafik erstellt hat. Die Arbeit sollte darauf hinweisen, dass ein geeignetes Diagramm erstellt wurde, für den Fall, dass das Diagramm während der Überprüfung verloren geht.

3. Die Ausrichtung von Millimeterpapier kann entweder Quer- oder Hochformat sein.

4. Der Graph muss Koordinatenachsen haben. Die vertikale Achse befindet sich auf der linken Seite des Diagramms und die horizontale Achse befindet sich unten.

5. Die vertikale Achse sollte den Funktionswerten und die horizontale Achse den Argumentwerten entsprechen.

6. Die Achsen der Grafik werden mit einer Einkerbung von 1-2 cm vom Rand des Millimeterpapiers gezeichnet.

7. Jede Achse muss beschriftet sein, d. h. die entlang dieser Achse aufgetragene physikalische Größe und (durch Komma getrennt) die Maßeinheit müssen angegeben werden. Einträge der Form „“, „“ und „“ sind gleichwertig, die ersten beiden Optionen sind jedoch vorzuziehen. Die horizontale Achse ist am oberen Ende links und die vertikale Achse am rechten Ende unten signiert.

8. Die Achsen müssen sich nicht im Punkt (0,0) schneiden.

9. Der Maßstab des Diagramms und die Position des Ursprungs auf den Koordinatenachsen werden so gewählt, dass die eingezeichneten Punkte möglichst über die gesamte Fläche des Blattes liegen. In diesem Fall erscheinen die Nullpunkte der Koordinatenachsen möglicherweise überhaupt nicht im Diagramm.

10. Auf Millimeterpapier gezeichnete Linien durch einen Zentimeter sollten auf den runden Werten liegen. Es ist praktisch, mit einer Grafik zu arbeiten, wenn 1 cm auf Millimeterpapier 1, 2, 4, 5 * 10 n Maßeinheiten entlang einer bestimmten Achse entspricht. Einige Unterteilungen auf der Achse müssen signiert werden. Die gekennzeichneten Teilungen müssen den gleichen Abstand zueinander haben. Es müssen mindestens 4 beschriftete Unterteilungen auf der Achse und nicht mehr als 10 vorhanden sein.

11. Punkte müssen in der Grafik so dargestellt werden, dass sie klar und deutlich sichtbar sind. Um zu zeigen, dass der in der Grafik dargestellte Wert einen Fehler aufweist, werden von jedem Punkt aus Segmente nach oben und unten, nach rechts und nach links gezeichnet. Die Länge der horizontalen Segmente entspricht dem Fehler des entlang der horizontalen Achse aufgetragenen Werts, die Länge der vertikalen Segmente entspricht dem Fehler des entlang der vertikalen Achse aufgetragenen Werts. Damit werden die Definitionsbereiche des Versuchspunkts, sogenannte Fehlerkreuze, bezeichnet. In der Grafik müssen Fehlerkreuze aufgetragen werden, mit Ausnahme der folgenden Fälle: In der Problemstellung wird direkt angewiesen, Fehler nicht auf der Skala der entsprechenden Achse auszuwerten. Im letzteren Fall muss angegeben werden, dass der Fehler der Werte zu gering ist, um entlang dieser Achse aufgetragen zu werden. In solchen Fällen wird davon ausgegangen, dass die Größe des Punktes dem Messfehler entspricht.

12. Achten Sie darauf, dass Ihr Zeitplan praktisch, verständlich und ordentlich ist. Bauen Sie es mit einem Bleistift auf, damit Sie Fehler korrigieren können. Beschriften Sie den entsprechenden Wert nicht neben dem Punkt, da dies das Diagramm unübersichtlich macht. Wenn im selben Diagramm mehrere Beziehungen dargestellt werden, verwenden Sie unterschiedliche Symbole oder Farben für die Punkte. Um zu bestimmen, welche Art von experimentellen Punkten welcher Abhängigkeit entspricht, verwenden Sie die Plotlegende. Durchkreuzungen sind in der Grafik zulässig (wenn der Radiergummi versagt hat oder kein guter Bleistift zur Hand war), sie müssen jedoch sorgfältig ausgeführt werden. Sie sollten keinen Strichkorrektor verwenden – er sieht hässlich aus.

Notiz: Alle oben genannten Regeln dienen ausschließlich der Vereinfachung der Arbeit mit dem Zeitplan. Bei der Prüfung von Arbeiten bei Olympiaden verwendet die Jury jedoch diese Regeln als formale Kriterien: Die Skala ist schlecht gewählt – minus einen halben Punkt. Daher sollten diese Regeln bei der Olympiade strikt eingehalten werden.

Beispiel:

Auf der rechten Seite befindet sich ein Diagramm, das nicht nach den Kriterien erstellt wurde, sondern auf der linken Seite nach den oben genannten Regeln.

Fehler bei der Messung physikalischer Größen

1.Einleitung (Messung und Messfehler)

2.Zufällige und systematische Fehler

3. Absolute und relative Fehler

4. Fehler von Messgeräten

5. Genauigkeitsklasse elektrischer Messgeräte

6. Lesefehler

7. Absoluter Gesamtfehler direkter Messungen

8.Aufzeichnung des Endergebnisses der direkten Messung

9. Fehler indirekter Messungen

10.Beispiel

1. Einführung (Messung und Messfehler)

Die Geburtsstunde der Physik als Wissenschaft liegt vor mehr als 300 Jahren, als Galileo im Wesentlichen die wissenschaftliche Untersuchung physikalischer Phänomene schuf: Physikalische Gesetze werden experimentell ermittelt und getestet, indem experimentelle Daten gesammelt und verglichen werden, die durch eine Reihe von Zahlen dargestellt werden, und Gesetze werden in der Sprache formuliert der Mathematik, d.h. Verwendung von Formeln, die numerische Werte physikalischer Größen durch funktionale Abhängigkeit verbinden. Daher ist die Physik eine experimentelle Wissenschaft, die Physik ist eine quantitative Wissenschaft.

Machen wir uns mit einigen charakteristischen Merkmalen aller Messungen vertraut.

Messen ist das experimentelle Ermitteln des Zahlenwertes einer physikalischen Größe mit Messgeräten (Lineal, Voltmeter, Uhr usw.).

Messungen können direkt oder indirekt erfolgen.

Unter direkter Messung versteht man die Bestimmung des Zahlenwertes einer physikalischen Größe direkt durch Messung. Zum Beispiel Länge – mit einem Lineal, Luftdruck – mit einem Barometer.

Bei der indirekten Messung wird der numerische Wert einer physikalischen Größe mithilfe einer Formel ermittelt, die die gewünschte Größe mit anderen durch direkte Messungen ermittelten Größen verbindet. Beispielsweise wird der Widerstand eines Leiters durch die Formel R=U/I bestimmt, wobei U und I mit elektrischen Messgeräten gemessen werden.

Schauen wir uns ein Beispiel einer Messung an.

Messen Sie die Länge der Stange mit einem Lineal (Teilungswert beträgt 1 mm). Wir können nur sagen, dass die Länge der Stange zwischen 22 und 23 mm liegt. Die Breite des Intervalls „unbekannt“ beträgt 1 mm, also gleich dem Teilungspreis. Wenn Sie das Lineal durch ein empfindlicheres Gerät wie einen Messschieber ersetzen, wird dieses Intervall verkürzt, was zu einer höheren Messgenauigkeit führt. In unserem Beispiel beträgt die Messgenauigkeit nicht mehr als 1 mm.

Daher können Messungen nie absolut genau durchgeführt werden. Das Ergebnis jeder Messung ist ungefähr. Messunsicherheit ist durch Fehler gekennzeichnet – die Abweichung des gemessenen Werts einer physikalischen Größe von ihrem wahren Wert.

Lassen Sie uns einige der Gründe auflisten, die zu Fehlern führen.

1. Begrenzte Fertigungsgenauigkeit von Messgeräten.

2. Einfluss äußerer Bedingungen auf die Messung (Temperaturänderungen, Spannungsschwankungen...).

3. Aktionen des Experimentators (Verzögerung beim Starten der Stoppuhr, unterschiedliche Augenpositionen...).

4. Die ungefähre Natur der Gesetze, die zur Ermittlung gemessener Größen verwendet werden.

Die aufgeführten Fehlerursachen können nicht beseitigt, jedoch minimiert werden. Um die Verlässlichkeit von Schlussfolgerungen aus wissenschaftlicher Forschung festzustellen, gibt es Methoden zur Bewertung dieser Fehler.

2. Zufällige und systematische Fehler

Bei Messungen auftretende Fehler werden in systematische und zufällige Fehler unterteilt.

Systematische Fehler sind Fehler, die der Abweichung des Messwerts vom wahren Wert einer physikalischen Größe entsprechen, immer in eine Richtung (Zunahme oder Abnahme). Bei wiederholten Messungen bleibt der Fehler gleich.

Gründe für systematische Fehler:

1) Nichteinhaltung der Norm durch Messgeräte;

2) falsche Installation von Messgeräten (Neigung, Unwucht);

3) Diskrepanz zwischen den Anfangsindikatoren der Instrumente und Null und Ignorieren der damit verbundenen Korrekturen;

4) Diskrepanz zwischen dem gemessenen Objekt und der Annahme über seine Eigenschaften (Vorhandensein von Hohlräumen usw.).

Zufällige Fehler sind Fehler, die ihren numerischen Wert auf unvorhersehbare Weise ändern. Solche Fehler werden durch eine Vielzahl unkontrollierbarer Gründe verursacht, die den Messvorgang beeinflussen (Unregelmäßigkeiten auf der Oberfläche des Objekts, Wind, Stromstöße usw.). Der Einfluss zufälliger Fehler kann durch mehrmaliges Wiederholen des Experiments verringert werden.

3. Absolute und relative Fehler

Zur Quantifizierung der Qualität von Messungen werden die Konzepte des absoluten und relativen Messfehlers eingeführt.

Wie bereits erwähnt, gibt jede Messung nur einen ungefähren Wert einer physikalischen Größe an, Sie können jedoch ein Intervall angeben, das ihren wahren Wert enthält:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Geschätzt A wird als absoluter Fehler bei der Messung der Größe A bezeichnet. Der absolute Fehler wird in Einheiten der gemessenen Größe ausgedrückt. Der absolute Fehler ist gleich dem Modul der maximal möglichen Abweichung des Wertes einer physikalischen Größe vom gemessenen Wert. Und pr ist der experimentell ermittelte Wert einer physikalischen Größe; wenn die Messung wiederholt durchgeführt wurde, dann das arithmetische Mittel dieser Messungen.

Um die Qualität der Messung beurteilen zu können, ist es jedoch notwendig, den relativen Fehler zu bestimmen e. e = D A/A pr oder e= (D A/A pr)*100 %.

Ergibt sich bei einer Messung ein relativer Fehler von mehr als 10 %, spricht man von einer reinen Schätzung des Messwertes. In physikalischen Werkstattlaboren wird empfohlen, Messungen mit einem relativen Fehler von bis zu 10 % durchzuführen. In wissenschaftlichen Laboren werden einige präzise Messungen (z. B. die Bestimmung der Wellenlänge von Licht) mit einer Genauigkeit von millionstel Prozent durchgeführt.

4. Fehler von Messgeräten

Diese Fehler werden auch instrumentell oder instrumentell genannt. Sie werden durch die Konstruktion des Messgerätes, die Genauigkeit seiner Herstellung und Kalibrierung bestimmt. Normalerweise begnügen sie sich mit den zulässigen Instrumentenfehlern, die der Hersteller im Reisepass für dieses Gerät angibt. Diese zulässigen Fehler werden durch GOSTs geregelt. Dies gilt auch für Standards. Normalerweise wird der absolute Instrumentenfehler angegeben D und A.

Liegen keine Angaben zum zulässigen Fehler vor (z. B. mit einem Lineal), kann als dieser Fehler der halbe Divisionswert angenommen werden.

Beim Wägen setzt sich der absolute Instrumentenfehler aus den Instrumentenfehlern der Waagen und Gewichte zusammen. Die Tabelle zeigt die häufigsten zulässigen Fehler

Messgeräte aus Schulversuchen.

Messung	Messgrenze	Wert der Teilung	Zulässiger Fehler
Studentenherrscher
Demonstrationsherrscher
Maßband
Becherglas
Gewichte 10,20, 50 mg
wiegt 100.200 mg
wiegt 500 mg
Bremssättel
Mikrometer
Dynamometer
Trainingsskalen
Stoppuhr			1s in 30 Min
Aneroidbarometer	720-780 mm Hg.	1 mmHg	3 mmHg
Laborthermometer	0-100 Grad C
Schulamperemeter
Schulvoltmeter

5. Genauigkeitsklasse elektrischer Messgeräte

Elektrische Zeigermessgeräte werden auf der Grundlage zulässiger Fehlerwerte in Genauigkeitsklassen eingeteilt, die auf den Instrumentenskalen mit den Zahlen 0,1 angegeben werden; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Genauigkeitsklasse g pr Das Gerät zeigt an, wie viel Prozent der absolute Fehler von der Gesamtskala des Geräts beträgt.

g pr = (D und A/A max)*100 % .

Beispielsweise beträgt der absolute Instrumentenfehler eines Geräts der Klasse 2,5 2,5 % seiner Skala.

Wenn die Genauigkeitsklasse des Geräts und seine Skala bekannt sind, kann der absolute instrumentelle Messfehler ermittelt werden

D und A = (g pr * A max)/100.

Um die Genauigkeit von Messungen mit einem elektrischen Zeigermessgerät zu erhöhen, ist es notwendig, ein Gerät mit einer solchen Skala auszuwählen, dass es sich während des Messvorgangs in der zweiten Hälfte der Instrumentenskala befindet.

6. Lesefehler

Der Ablesefehler resultiert aus nicht ausreichend genauen Messwerten der Messgeräte.

In den meisten Fällen wird der absolute Lesefehler gleich der Hälfte des Divisionswerts angenommen. Ausnahmen gibt es bei der Messung mit einer Uhr (die Zeiger bewegen sich ruckartig).

Gewöhnlich wird der absolute Ablesefehler angegeben D oA

7. Gesamter absoluter Fehler direkter Messungen

Bei der direkten Messung der physikalischen Größe A sind folgende Fehler zu beurteilen: D und A, D oA und D сА (zufällig). Natürlich sollten andere Fehlerquellen im Zusammenhang mit einer falschen Installation von Instrumenten, einer Fehlausrichtung der Anfangsposition des Instrumentenpfeils mit 0 usw. ausgeschlossen werden.

Der gesamte absolute Fehler der direkten Messung muss alle drei Fehlerarten umfassen.

Wenn der Zufallsfehler klein im Vergleich zum kleinsten Wert ist, der mit einem bestimmten Messgerät gemessen werden kann (im Vergleich zum Divisionswert), kann er vernachlässigt werden und dann reicht eine Messung aus, um den Wert einer physikalischen Größe zu bestimmen. Ansonsten empfiehlt die Wahrscheinlichkeitstheorie, das Messergebnis als arithmetischen Mittelwert der Ergebnisse der gesamten Mehrfachmessreihe zu ermitteln und den Fehler des Ergebnisses mit der Methode der mathematischen Statistik zu berechnen. Das Wissen über diese Methoden geht über den schulischen Lehrplan hinaus.

8. Aufzeichnen des Endergebnisses der direkten Messung

Das Endergebnis der Messung der physikalischen Größe A sollte in dieser Form geschrieben werden;

A=A pr + D A, e= (D A/A pr)*100 %.

Und pr ist der experimentell ermittelte Wert einer physikalischen Größe; wenn die Messung wiederholt durchgeführt wurde, dann das arithmetische Mittel dieser Messungen. D A ist der absolute Gesamtfehler der direkten Messung.

Der absolute Fehler wird normalerweise in einer signifikanten Zahl ausgedrückt.

Beispiel: L=(7.9 + 0,1) mm, e=13 %.

9. Fehler indirekter Messungen

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse indirekter Messungen einer physikalischen Größe, die in funktionalem Zusammenhang mit den direkt gemessenen physikalischen Größen A, B und C steht, wird zunächst der relative Fehler der indirekten Messung ermittelt e=D X/X pr, unter Verwendung der in der Tabelle angegebenen Formeln (ohne Belege).

Der absolute Fehler wird durch die Formel bestimmt D X=X pr *e,

wo e wird als Dezimalbruch und nicht als Prozentsatz ausgedrückt.

Die Protokollierung des Endergebnisses erfolgt analog zur Direktmessung.

Funktionstyp	Formel
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B

Beispiel: Berechnen wir den Fehler bei der Messung des Reibungskoeffizienten mit einem Dynamometer. Das Experiment besteht darin, einen Block gleichmäßig über eine horizontale Fläche zu ziehen und die ausgeübte Kraft zu messen: Sie entspricht der Gleitreibungskraft.

Wiegen Sie den Block mit einem Dynamometer mit Gewichten von 1,8 N. F tr =0,6 N

μ = 0,33. Der instrumentelle Fehler des Dynamometers (wir finden ihn aus der Tabelle) beträgt Δ und = 0,05 N, Ablesefehler (halber Teilungswert)

Δ o =0,05 N. Der absolute Fehler bei der Messung von Gewicht und Reibungskraft beträgt 0,1 N.

Relativer Messfehler (5. Zeile der Tabelle)

, daher beträgt der absolute Fehler der indirekten Messung μ 0,22*0,33=0,074

In der Laborpraxis sind die meisten Messungen indirekt und die für uns interessante Größe ist eine Funktion einer oder mehrerer direkt gemessener Größen:

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Wie aus der Wahrscheinlichkeitstheorie hervorgeht, wird der Durchschnittswert einer Größe bestimmt, indem die Durchschnittswerte direkt gemessener Größen in Formel (13) eingesetzt werden, d.h.

¯ N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) (14)

Es ist erforderlich, die absoluten und relativen Fehler dieser Funktion zu ermitteln, wenn die Fehler der unabhängigen Variablen bekannt sind.

Betrachten wir zwei Extremfälle, in denen Fehler entweder systematisch oder zufällig sind. Es besteht kein Konsens über die Berechnung des systematischen Fehlers bei indirekten Messungen. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass der systematische Fehler der maximal mögliche Fehler ist, ist es ratsam, ihn zu finden systematischer Fehler nach Formeln

(15) oder

Wo

partielle Ableitungsfunktionen N= ƒ(x, y, z, ...) in Bezug auf das Argument x, y, z..., gefunden unter der Annahme, dass alle anderen Argumente, außer dem, in Bezug auf das die Ableitung gefunden wird, konstant sind ;
δx, δy, δz systematische Fehler der Argumente.

Formel (15) ist praktisch zu verwenden, wenn die Funktion die Form einer Summe oder Differenz von Argumenten hat. Es empfiehlt sich, Ausdruck (16) zu verwenden, wenn die Funktion die Form eines Produkts oder Quotienten von Argumenten hat.

Finden zufälliger Fehler Für indirekte Messungen sollten Sie die Formeln verwenden:

(17) bzw

wobei Δx, Δy, Δz, ... Konfidenzintervalle bei gegebenen Konfidenzwahrscheinlichkeiten (Zuverlässigkeiten) für die Argumente x, y, z, ... sind. Es ist zu beachten, dass die Konfidenzintervalle Δx, Δy, Δz, ... mit der gleichen Konfidenzwahrscheinlichkeit P 1 = P 2 = ... = P n = P angenommen werden müssen.

In diesem Fall ist die Zuverlässigkeit für das Konfidenzintervall Δ N wird auch P sein.

Formel (17) ist praktisch zu verwenden, wenn die Funktion N= ƒ(x, y, z, ...) hat die Form einer Summe oder Differenz von Argumenten. Formel (18) ist praktisch zu verwenden, wenn die Funktion N= ƒ(x, y, z, ...) hat die Form eines Produkts oder Quotienten von Argumenten.

Es wird häufig beobachtet, dass der systematische Fehler und der Zufallsfehler nahe beieinander liegen und beide gleichermaßen die Genauigkeit des Ergebnisses bestimmen. In diesem Fall wird der Gesamtfehler ∑ als quadratische Summe zufälliger Δ- und systematischer δ-Fehler mit einer Wahrscheinlichkeit von nicht weniger als P ermittelt, wobei P Konfidenzwahrscheinlichkeit eines zufälligen Fehlers:

Bei der Durchführung indirekter Messungen unter nicht reproduzierbaren Bedingungen Für jede einzelne Messung wird die Funktion ermittelt und das Konfidenzintervall berechnet, um die Werte der gewünschten Größe mit der gleichen Methode wie bei direkten Messungen zu erhalten.

Es ist zu beachten, dass es im Fall einer funktionalen Abhängigkeit, die durch eine zur Logarithmierung geeignete Formel ausgedrückt wird, einfacher ist, zuerst den relativen Fehler und dann aus dem Ausdruck Δ zu bestimmen N = ε ¯ N Finden Sie den absoluten Fehler.

Bevor Sie mit Messungen beginnen, müssen Sie immer über nachfolgende Berechnungen nachdenken und Formeln aufschreiben, nach denen Fehler berechnet werden. Anhand dieser Formeln können Sie nachvollziehen, welche Messungen besonders sorgfältig durchgeführt werden sollten und welche keinen großen Aufwand erfordern.

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse indirekter Messungen wird die folgende Reihenfolge der Operationen vorgeschlagen:

1. Verarbeiten Sie alle durch direkte Messungen ermittelten Größen gemäß den Regeln für die Verarbeitung der Ergebnisse direkter Messungen. Stellen Sie in diesem Fall für alle Messgrößen den gleichen Zuverlässigkeitswert P ein.
2. Bewerten Sie die Genauigkeit des Ergebnisses indirekter Messungen anhand der Formeln (15) (16), wobei die Ableitungen für Durchschnittswerte von Mengen berechnet werden.
   Wenn der Fehler einzelner Messungen mehrmals in das Ergebnis der Differenzierung einfließt, müssen alle Terme, die das gleiche Differential enthalten, und die Ausdrücke in Klammern vor dem Differential zusammengefasst werden Nimm Modulo; Zeichen D durch Δ (oder δ) ersetzen.
3. Wenn die zufälligen und systematischen Fehler in ihrer Größe nahe beieinander liegen, addieren Sie sie gemäß der Fehleradditionsregel. Wenn einer der Fehler dreimal oder mehrmals kleiner ist als der andere, verwerfen Sie den kleineren.
4. Schreiben Sie das Messergebnis in das Formular:

   N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) ± Δƒ.

5. Bestimmen Sie den relativen Fehler des Ergebnisses einer Reihe indirekter Messungen

   ε = Δƒ · 100 %.
   ¯¯ ƒ¯

   Lassen Sie uns Beispiele für die Berechnung des Fehlers der indirekten Messung geben.

   Beispiel 1. Das Volumen des Zylinders wird mit der Formel ermittelt

   V = π d 2 h ,
   

   4

   wobei d Zylinderdurchmesser, h Zylinderhöhe.

   Beide Größen werden direkt bestimmt. Die Messung dieser Größen soll folgende Ergebnisse liefern:

   d = (4,01 ± 0,03) mm,

   h = (8,65 ± 0,02) mm, bei gleicher Zuverlässigkeit P = 0,95.

   Der durchschnittliche Volumenwert ist nach (14) gleich

   V = 3,14 · (4,01) 2 · 8,65 = 109,19 mm
   

   4

   Mit Ausdruck (18) haben wir:

   ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

   ;

   Da die Messungen mit einer Mikrometerschraube durchgeführt wurden, beträgt der Teilungswert 0,01 mm, systematische Fehler
   δd = δh = 0,01 mm. Basierend auf (16) beträgt der systematische Fehler δV

   Der systematische Fehler erweist sich daher als vergleichbar mit dem zufälligen

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse indirekter Messungen einer physikalischen Größe, die funktional mit den direkt gemessenen physikalischen Größen A, B und C zusammenhängt, bestimmen Sie zunächst den relativen Fehler der indirekten Messung e = DХ/Х inc mithilfe der in angegebenen Formeln die Tabelle (ohne Beweise).

Der absolute Fehler wird durch die Formel DX = X pr * e bestimmt,

wobei e als Dezimalzahl und nicht als Prozentsatz ausgedrückt wird.

Das Endergebnis wird auf die gleiche Weise erfasst wie bei Direktmessungen

Funktionstyp	Formel
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B
X=

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm nützlich) So nehmen Sie Messungen richtig vor http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

Beispiel: Berechnen wir den Fehler bei der Messung des Reibungskoeffizienten mit einem Dynamometer. Das Experiment besteht darin, einen Block gleichmäßig über eine horizontale Fläche zu ziehen und die ausgeübte Kraft zu messen: Sie entspricht der Gleitreibungskraft.

Mit einem Dynamometer wiegen wir den Block mit Gewichten: 1,8 N. F tr = 0,6 N

μ=0,33. Der instrumentelle Fehler des Dynamometers (wir finden ihn aus der Tabelle) beträgt Δ und = 0,05 N, Ablesefehler (halber Teilungswert)

Δo =0,05N. Der absolute Fehler bei der Messung von Gewicht und Reibungskraft beträgt 0,1 N.

Relativer Messfehler (5. Zeile der Tabelle)

Daher beträgt der absolute Fehler der indirekten Messung μ 0,22*0,33=0,074

Antwort:

Eine physikalische Größe zu messen bedeutet, sie mit einer anderen homogenen Größe zu vergleichen, die als Maßeinheit verwendet wird. Die Messung kann erfolgen mit:

1. Maße, die Beispiele für eine Maßeinheit sind (Meter, Gewicht, Litergefäß usw.),

2. Messgeräte (Amperemeter, Manometer usw.),

3. Messanlagen, worunter eine Gesamtheit von Maßen, Messgeräten und Hilfselementen verstanden wird.

Messungen können direkt oder indirekt erfolgen. In direkten Messungen eine physikalische Größe wird direkt gemessen. Direkte Messungen sind beispielsweise die Messung der Länge mit einem Lineal, der Zeit mit einer Stoppuhr und der Stromstärke mit einem Amperemeter.

Bei indirekten Messungen Sie messen direkt nicht die Größe, deren Wert ermittelt werden muss, sondern andere Größen, mit denen die gewünschte Größe durch eine bestimmte mathematische Beziehung zusammenhängt. Beispielsweise wird die Dichte eines Körpers durch Messung seiner Masse und seines Volumens bestimmt, und der Widerstand wird durch Messung seines Stroms und seiner Spannung bestimmt.

Aufgrund der Unvollkommenheit von Maßen und Messinstrumenten sowie unserer Sinne können Messungen nicht genau durchgeführt werden, d.h. Jede Messung liefert nur ein ungefähres Ergebnis. Darüber hinaus liegt der Grund für die Abweichung der Messergebnisse häufig in der Art der Messgröße selbst. Beispielsweise schwankt die von einem Thermometer oder Thermoelement an einer bestimmten Stelle in einem Ofen gemessene Temperatur aufgrund von Konvektion und Leitung innerhalb bestimmter Grenzen. Ein Maß zur Beurteilung der Genauigkeit eines Messergebnisses ist Messfehler (Messfehler).

Zur Beurteilung der Genauigkeit wird entweder der absolute Fehler oder der relative Messfehler angegeben. Absoluter Fehler ausgedrückt in Einheiten der gemessenen Größe. Beispielsweise wird die von einem Körper zurückgelegte Strecke mit einem absoluten Fehler gemessen. Der relative Messfehler ist das Verhältnis des absoluten Fehlers zum Wert der Messgröße. Im angegebenen Beispiel beträgt der relative Fehler . Je kleiner der Messfehler ist, desto höher ist seine Genauigkeit.

Je nach Herkunftsquelle werden Messfehler in systematische, zufällige und grobe (Fehlschläge) unterteilt.

1. Systematische Fehler- Messfehler, deren Wert bei wiederholten Messungen mit derselben Methode und denselben Messgeräten konstant bleibt. Die Ursachen für systematische Fehler sind:

· Fehlfunktionen, Ungenauigkeiten von Messgeräten

· Illegalität, Ungenauigkeit der verwendeten Messtechnik

Ein Beispiel für systematische Fehler wäre die Temperaturmessung mit einem Thermometer mit verschobenem Nullpunkt, die Strommessung mit einem falsch kalibrierten Amperemeter oder das Wiegen eines Körpers auf einer Waage mit Gewichten ohne Berücksichtigung der Auftriebskraft von Archimedes.

Um systematische Fehler zu beseitigen oder zu reduzieren, ist es notwendig, die Messgeräte sorgfältig zu überprüfen, gleiche Werte mit unterschiedlichen Methoden zu messen und bei bekannten Fehlern Korrekturen vorzunehmen (Korrekturen der Auftriebskraft, Korrekturen der Thermometerwerte).

2. Grobe Fehler (Fehlschläge)- eine deutliche Überschreitung des unter den gegebenen Messbedingungen erwarteten Fehlers. Fehler entstehen durch falsche Aufzeichnung der Instrumentenwerte, falsche Messwerte am Instrument oder durch Berechnungsfehler bei indirekten Messungen. Die Fehlerquelle ist die Unaufmerksamkeit des Experimentators. Der Weg zur Eliminierung dieser Fehler liegt in der Genauigkeit des Experimentators, wodurch ein Umschreiben von Messprotokollen vermieden wird.

3. Zufällige Fehler- Fehler, deren Größe sich bei wiederholten Messungen derselben Größe mit derselben Methode und denselben Instrumenten zufällig ändert. Die Quelle zufälliger Fehler ist die unkontrollierte Nichtreproduzierbarkeit der Messbedingungen. Während einer Messung können sich beispielsweise Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Luftdruck, Spannung im Stromnetz und der Zustand der Sinnesorgane des Experimentators unkontrolliert ändern. Zufällige Fehler können nicht ausgeschlossen werden. Bei wiederholten Messungen gehorchen zufällige Fehler statistischen Gesetzen und ihr Einfluss kann berücksichtigt werden.