Der effektive Einlagenzins ist ein Merkmal von Einlagen mit Zinskapitalisierungssystem. Er weicht vom im Vertrag genannten Nominalsatz ab.

Eine typische Einzahlung sieht so aus. Der Einleger bringt Geld als Einlage bei der Bank ein. Der Einlage wird ein Zinssatz zugeordnet. Dieser Zinssatz wird als Nominalzinssatz bezeichnet. Zinsen auf die Einlage fallen erst am Ende der Einlagefrist an und werden ausgezahlt.

Für eine Einlage mit Zinskapitalisierung gilt ein anderes Zinsberechnungsschema. Die Zinsen auf die Einlage fallen monatlich an. Und sie geben es auch monatlich aus, aber die Bank übergibt das Geld nicht an den Einleger. Und sie werden auf den Nennbetrag der Einlage angerechnet. Für diesen neuen (erhöhten) Betrag fallen im nächsten Monat Zinsen an. Das Verfahren zur Zinsberechnung – das Hinzufügen von Zinsen zum Einlagenbetrag – wird zyklisch jeden Monat wiederholt, bis die Einlage abläuft.

Wenn der Einzahlungsbetrag jeden Monat steigt, erhöht sich natürlich auch die monatliche Zinsabgrenzung. Es ist auch offensichtlich, dass die endgültigen Erträge aus einer Einlage mit Zinskapitalisierung höher sein werden als aus einer einfachen Einlage mit demselben Nominalzins und derselben Gültigkeitsdauer.

Es ist an der Zeit, das Gesagte anhand eines Beispiels zu veranschaulichen.

Ein bestimmter Bürger ein Jahr lang hunderttausend Rubel zu einem Nominalzins von 12 Prozent pro Jahr bei der Bank hinterlegt. in einem Jahr wird er einen Gewinn machen (100.000 / 100) * 12 = 12.000 Rubel.

Wer sich nicht mehr daran erinnert, wie man die Zinsen für eine Einlage berechnet, kommt hierher

Ein anderer Bürger Ich habe auch ein Jahr lang hunderttausend Rubel zu 12 % bei der Bank eingezahlt, allerdings auf einer Einlage mit Zinskapitalisierung.

Die Berechnung des Einkommens dieses Bürgers sieht anders aus: 12 % pro Jahr, also etwa 1 % pro Monat

Einkommen für den 1. Monat 10000*0,01=1000

Einkommen für den 2. Monat (100000+1000)*0,01=1010

Einkommen für den 3. Monat (101000+1010)*0,01=1020,1

Einkommen für den 4. Monat (102010+1020,1)*0,01=1030,301

Einkommen für den 5. Monat (103030,3+1030,301) *0,01=1040,61

Einkommen für den 6. Monat (104060+1040,61)*0,01=1051,01

Einkommen für den 7. Monat (105100,61+1051,01)*0,01=1061,51

Einkommen für den 8. Monat (106151,62+1061,51)*0,01=1072,13

Einkommen für den 9. Monat (107231,13+1072,13)*0,01=1083,03

Einkommen für den 10. Monat (108303,26+1083,03)*0,01=1093,86

Einkommen für den 11. Monat (109369,29+1093,86)*0,01=1104,63

Einkommen für den 12. Monat (110463,15+1104,63)*0,01=1115,68

Das Gesamteinkommen betrug 12.682,86 Rubel.

Diese. Der zweite Einzahler erhält nach Ablauf der Einzahlungsfrist 682 Rubel mehr.

Berechnen wir nun neu, wie viel Prozent der Betrag 12682,86 der ursprünglichen Hunderttausend beträgt

(12682,86/100000)*100=12,68286 % ist die Endrendite einer Einlage mit Kapitalisierung mit einem Nominalzins von 12 % pro Jahr. Diese Endrendite wird als effektive Rendite einer Einlage mit Kapitalisierung bezeichnet.

Manchmal (selten) geben Banken im Vertrag die effektive Rendite an. Sie sind jedoch gesetzlich verpflichtet, den Nominalzins anzugeben. Daher ist der Anleger gezwungen, den effektiven Zinssatz entweder selbst zu berechnen oder den Bankern zu vertrauen, in der Hoffnung, dass diese ehrlich zahlen. In der Regel erhöht die Kapitalisierung die Rentabilität der Einlage um 0,5-1,5 Prozent pro Jahr. Liegt die Nominalrendite im Bereich von 8-15 %, ist der effektive Zinssatz etwa ein halbes Prozent höher. Wenn der Nominalzinssatz 15 % oder mehr beträgt, erhöht sich die Rendite durch Kapitalisierung um ein Prozent. Dreißig Prozent pro Jahr und mehr – Kapitalisierung ergibt plus eineinhalb Prozent. Das sind alles grobe Schätzungen. Es muss gesagt werden, dass es auf dem russischen Einlagenmarkt nicht mehr möglich ist, eine Rendite von mehr als 15 % zu finden. Die Inflation sinkt und die Zinsen sinken.

Geld auf der Bank ist dank Dividendenerträgen zu einer Möglichkeit geworden, Geld zu verdienen. Es wird angenommen, dass dies der sicherste Weg ist, von der finanziellen Manipulation Ihrer eigenen Mittel zu profitieren: Sie investieren Geld, und eine professionelle Organisation, eine Bank, kümmert sich um den Umsatz und erwirtschaftet Zinsen. In den meisten Fällen wird den Kunden ein Nominalzinssatz mitgeteilt, der nicht wirklich den gesamten potenziellen Ertrag aus Einlagen widerspiegelt. Dies spiegelt sich im effektiven Zinssatz wider.

Wie hoch ist der effektive Einlagensatz?

Effektiver Zinssatz- Dies ist der Koeffizient, der zur Berechnung des aktuellen Einkommens aus der Anlage von Geldern in einer Bankeinlage verwendet wird. Er zeichnet sich durch die Berücksichtigung der Zinskapitalisierung aus und übersteigt stets den Nominalzins. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass die Kapitalisierungszinsen unter Berücksichtigung der angegebenen Häufigkeit berechnet und dem Einlagenbestand hinzugefügt werden.

Warum müssen Sie den effektiven Zinssatz kennen?

Effektiver Zinssatz Daraus werden die Gesamterträge über den Einlagezeitraum unter Berücksichtigung der Zinsen ermittelt. Wenn der Kunde diesen Indikator kennt, kann er sein mögliches Einkommen und die Machbarkeit einer Investition unter gegebenen Bedingungen realistisch einschätzen. Es ist zu beachten, dass zur Erzielung maximaler Erträge aus Einlagen solchen mit Zinskapitalisierung der Vorzug gegeben werden sollte.

Das System funktioniert so, dass im ersten Betriebsmonat der Einlage Zinsen zum Betrag hinzugerechnet werden. Für den zweiten und die folgenden Monate wird der Betrag verzinst, der sich aus der Einlage und den Dividenden für den Vormonat zusammensetzt. Als Ergebnis stellt sich heraus, dass die Gesamteinnahmen aus der Einlage den ursprünglichen Zinssatz übersteigen.

Berechnungsformel

Um zu produzieren Effektivzinsberechnung, wird die Zinseszinsformel angewendet, die den folgenden Ausdruck hat:

EU = ((1*(С/100)/N)N*m -1),

wobei EU der effektive Einlagensatz ist, also das Einkommen, das Sie am Ende der Laufzeit erhalten;

C – Bezeichnung des Nominalzinssatzes, der üblicherweise im Vertrag angegeben wird;

N – Bezeichnung der Großschreibungsintervalle im Verhältnis zu ihrer Häufigkeit;

m - Anzahl der Wiederholungen von Intervallen.

Einfluss der Wiederauffüllung oder teilweisen Entnahme auf den effektiven Satz

Wenn sich die Größe der Einlagestelle ändert, ändern sich die Dividenden auf die Einlage entsprechend – je größer die Einlagengröße, desto mehr Zinsen kann der Kunde verdienen, wenn die Einlagestelle kleiner wird, gilt das gleiche Muster.

Berechnung der Effektivzinsformel hilft Anlegern dabei, die Rentabilität ihrer Einlagen im Verhältnis zu den Zinsen zu bestimmen, die sie möglicherweise erhalten können, was äußerst praktisch ist. Außerdem kann der Kunde selbst bestimmte Konditionen für Einlagen wählen, die ihn hinsichtlich der Anlagebedingungen zufriedenstellen.

Kreditnehmer sehen sich oft mit der Tatsache konfrontiert, dass ihre Schuldentilgungskosten die tatsächlichen Beträge, die ein lächelnder Kreditsachbearbeiter und einladende Aufschriften auf Werbebannern angeben, deutlich übersteigen. Um die tatsächlichen Kosten für die Kreditrückzahlung zu verstehen, müssen Sie zunächst den Effektivzins berechnen. Was das ist und wie man ihn berechnet, verraten wir Ihnen in diesem Artikel.

Der effektive Zinssatz beträgt...

Für den Effektivzins gibt es viele Definitionen, aber alle offenbaren aus verschiedenen Blickwinkeln das gleiche Wesen. Das:

• Kreditzins, der alle Kosten für die Bedienung des Kredits, Versicherungsprogramme, Provisionen usw. umfasst.
• Der jährliche Zinseszinssatz, der den Wert zur Beurteilung der Rentabilität einer bestimmten Finanztransaktion darstellt.
• Die tatsächlichen Kosten des Kredits, die alle Kosten umfassen, die dem Kreditnehmer bei der Rückzahlung der Schulden entstehen.
• Die tatsächlichen Kosten eines Kredits, die über dem Nominalzins liegen.

Um das Wesen des effektiven Zinssatzes besser zu verstehen, werden wir später eine kleine Parallele zum angekündigten Nominalzins ziehen.

Was beinhaltet EPS für Karten?

Wir weisen Sie darauf hin, dass Sie den höchsten Effektivzins erwarten, wenn Sie sich noch heute für eine so beliebte Kreditkarte anmelden. Das EPS enthält:

• Zahlung (Provision) für die Freigabe von „Kunststoff“.
• Kartenbearbeitungsgebühr.
• Gebühr für die Führung eines Girokontos.
• Provision für Transaktionen mit der Karte.
• Gegebenenfalls eine Währungsumrechnungsgebühr.
• Bei Verstößen gegen die Bedingungen des Darlehensvertrags - eine Geldstrafe wegen Überschreitung des Limits oder verspäteter Zahlung.
• Und zwar die Rückzahlung des Schuldenbetrags und die Zahlung von Zinsen darauf zum Nominalzinssatz.

Daraus können wir folgende Schlussfolgerung ziehen: Geben Sie sich nicht mit der Bank zufrieden, die den niedrigsten Nominalzins anbietet. In einer anderen Organisation, in der dieser Wert etwas höher ist, liegt der effektive Satz möglicherweise um mehrere Prozent niedriger. Was könnte dazu führen, dass dies geschieht? Aufgrund des Fehlens einer Reihe von Provisionen (z. B. für die Führung eines Kontos, die Ausstellung einer Kreditkarte), den „freiwillig-zwangsweisen“ Kauf von Versicherungsprodukten für einen geringeren Betrag usw. zögern Sie nicht, den Kreditspezialisten um eine Ankündigung zu bitten genau das EPS. Und nur auf Basis dieses Wertes wählen Sie die kreditgebende Bank aus.

Nominal- und Effektivzinssatz

Der Nominalzins ist ein fester Wert, die Höhe der jährlichen Überzahlung für den Kredit, die Sie auf verlockenden Werbebroschüren sehen. Darin nicht enthalten sind die Kosten für Versicherungen, Provisionen und Kreditkartengebühren – also alle Kosten, die Ihnen neben der Zahlung der Zinsen für den Kredit und der Rückzahlung des Kredits entstehen.

Warum wird dem Kunden nicht sofort mitgeteilt, welcher Betrag dem Effektivzinssatz entspricht? Erstens ist dieser Wert im Voraus nur sehr schwer zu berechnen. Wenn ein Kunde beispielsweise mit einer Zahlung oder mehreren Raten in Verzug gerät, ändert sich dieser Wert aufgrund der anfallenden Vertragsstrafen gegenüber dem zu Beginn berechneten Wert nach oben. Und zweitens verliert die Bank einfach Kunden, wenn sie ihnen alle tatsächlichen Ausgaben mitteilt.

Die Tatsache, dass ein Kreditsachbearbeiter einem Kunden nur einen nominalen Zinssatz mitteilt, ist keine Täuschung oder „Aufregung“. Sicherlich wird in Ihrem Kreditvertrag die Überzahlung, die Sie angezogen hat, als Nominalzinssatz bezeichnet. Leider ist es ein Versäumnis des Kreditnehmers, dass er vor Vertragsabschluss den Betreiber nicht zumindest nach der ungefähren Höhe des effektiven Jahreszinses gefragt hat.

Nominal- und Effektivzinssatz im Verhältnis zu Einlagen

Bei Bankeinlagen ist die Situation völlig anders:

• Nomineller Zinssatz- ein fester Betrag Ihres Jahreseinkommens, ausgedrückt als Prozentsatz. Zum Beispiel 9 % pro Jahr.
• Effektiver Zinssatz- Dies ist ein variabler Betrag Ihres Gewinns, abhängig von einigen im Vertrag festgelegten Bedingungen. Bei den Einlagen liegt dieser über dem Nominalzins. Dies ist vor allem für Einlagen mit Kapitalisierung („Zinseszins“, Zinseszinsabgrenzung) charakteristisch, wenn nach einer bestimmten Zeitspanne der Betrag der aufgelaufenen Zinsen zum Einlagenbetrag addiert wird und für die nächste Zeitspanne darauf Zinsen anfallen bereits erhöhter Geldwert. Eine Investition mit 9 % pro Jahr mit Kapitalisierung bringt viel mehr Gewinn als eine ähnliche Investition ohne Kapitalisierung. Es ist auch wichtig, die Häufigkeit zu berücksichtigen: Wenn es jeden Monat auftritt, ist dies viel rentabler als wenn der Zinseszins alle sechs Monate berechnet wird.

Kommen wir nun zum „wunden“ Thema – den Krediten.

Merkmale des Effektivzinssatzes

EPS muss im Kreditvertrag angegeben werden – dies wird von der russischen Zentralbank vorgeschrieben. Viele sehen sich jedoch mit der Tatsache konfrontiert, dass ihre tatsächlichen Kosten viel höher sind als dieser Wert! Dies liegt daran, dass die Bank das EPS nach der von der Zentralbank der Russischen Föderation vorgeschlagenen Formel berechnet, was eine Reihe von Nachteilen mit sich bringt – Versicherungsprämien und einige Ihrer anderen Verluste werden nicht berücksichtigt.

Wir weisen Sie darauf hin, dass der Effektivzins ein Wert ist, der selbst bei einem idealistischen Modell einer Bank, die keine Versicherungspakete oder Provisionen anbietet, immer über dem Nominalzins liegt. Der Grund dafür ist, dass hier, wie auch bei Einlagen, „Zinseszinsen“ und Rentenzahlungen gelten: Ein Teil dient der Tilgung der Schulden, der andere Teil der Zinsen darauf. Das heißt, für jeden Monat fallen Zinsen nicht nur für den von der Bank geliehenen Betrag an, sondern auch für den Zinsbetrag, den Sie noch nicht gezahlt haben.

Berechnung des Effektivzinssatzes

Der sicherste Weg, die Kosten für die Kreditrückzahlung genau darzustellen, besteht darin, den effektiven Zinssatz mithilfe einer vorgefertigten Formel selbst zu ermitteln. Zunächst müssen Sie klären, in welchem ​​Intervall Zinsen für Ihr Darlehen anfallen – jeden Monat, jedes Quartal, jedes Jahr, kontinuierlich usw. Und natürlich müssen Sie den Nominalzinssatz des Darlehens kennen.

E = (1 + N/P) P – 1, wobei:

• E ist der Effektivzins:
• N – Nominalzins;
• P ist die Anzahl der Zinsabgrenzungsperioden in einem Jahr.

Wenn die Zinsen kontinuierlich anfallen, reicht eine andere Formel aus:

E = e N - 1, wobei:

• E – effektiver Zinssatz;
• N – Nominalzins;
• e ist eine konstante Zahl gleich 2,718.

Leider sehen die angegebenen Formeln nicht vor, dass Aufwendungen, die Ihnen im Zusammenhang mit dem Kauf von Versicherungsprodukten und der Ausstellung von Zertifikaten zwangsläufig entstehen, in das Ergebnis einbezogen werden.

Die zweite Möglichkeit, EPS zu berechnen

Eine weitere Formel, mit der sich der Effektivzins berechnen lässt, lautet wie folgt:

0 = (geometrische Progression) PV / (1 + EPS) (D p - D 1) / 365, Wo:

• PV – der Betrag der letzten Zahlung;
• D p - Datum der letzten Kreditzahlung;
• D 1 - Datum der ersten Kreditzahlung.

Die Berechnungen werden durch die Tatsache erschwert, dass Sie diese Gleichung lösen müssen, um die EPS zu ermitteln.

Eine andere Version der Formel:

K = P 1 + ((geometrische Progression) P n / (1 + EPS) B n, Wo:

• K – Kreditbetrag;
• P 1 - erste Kreditzahlung (alle Provisionen und Versicherungszahlungen müssen berücksichtigt werden);
• P n – die letzte Zahlung des Darlehens (es ist auch erforderlich, nicht nur den Rückzahlungsbetrag des Schuldners und die darauf entfallenden Zinsen, sondern auch alle Nebenzahlungen einzubeziehen);
• EIR – effektiver Zinssatz;
• In n ist der Zeitpunkt der letzten Zahlung.
• n – Monat der Zahlung auf dem Konto (12., 15., 36. usw.)

Alternative Zählmethoden

Die Effektivzinsformel ist nicht die einzige Möglichkeit, Ihnen zu sagen, was Sie tatsächlich ausgeben werden:

1. Nutzen Sie Online-Rechner, die es im Internet in Hülle und Fülle gibt, von einfach bis sehr detailliert, unter Berücksichtigung aller Zahlungen.

2. Excel verwenden:

• Die Funktion EFFECT() hilft Ihnen bei Berechnungen mit der ersten Formel.
• SERIESSUM ist nützlich für Berechnungen mit der zweiten Formel.

Somit ist festzuhalten, dass wir selbst (sowie ein Kreditspezialist) selbst bei Kenntnis des Nominalzinssatzes, der Höhe aller Provisionen und der Kosten der Versicherungsprodukte nur den ungefähren Wert des EIR berechnen können. Unabhängige Berechnungen werden durch Zinseszinsen, Rentenzahlungen und die Entstehung von Strafen bei verspäteter Zahlung erschwert, die nicht im Voraus vorhersehbar sind.

Die Bundesgesetzgebung verpflichtet die Banken, den Kunden über die Gesamtkosten des Kredits (Effektivzinssatz) und deren Berechnung zu informieren, weshalb das Bewusstsein der Russen für dieses Thema recht hoch ist. Aber nicht jeder Einleger versteht, was der effektive Zinssatz einer Einlage bedeutet und wie er sich vom Nominalzins unterscheidet. Bei der Erfassung von Einlagen mit Kapitalisierung und der Bewertung der Einlagenwerbung der Banken ist es jedoch nicht überflüssig zu wissen, wie der Effektivzins berechnet wird.

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Was bedeuten Nominal- und Effektivzins?

Bei einfachen Einlagen mit Ertragsauszahlung am Laufzeitende weicht der effektive Zinssatz laut Berechnungsformel nicht vom Nominalzins ab. Der Nominalzinssatz ist der von der Bank im Vertrag und in den Hauptbedingungen des Programms angegebene Prozentsatz.

Für Einlagen mit Ertragskapitalisierung wird der effektive Jahreszins, dessen Formel unten angegeben ist, auf besondere Weise berechnet. Damit können Sie berücksichtigen, dass auch bereits erzielte Einkünfte verzinst werden.

Sie müssen nur dann wissen, wie der Effektivzins berechnet wird, wenn ein großer Betrag über einen längeren Zeitraum bei der Bank angelegt wird. Bei kurzfristigen oder kleinen Einlagen unterscheiden sich Nominal- und Realzins kaum.

Jahreszins für eine Einlage mit Kapitalisierung: So berechnen Sie das Einkommen

Für einen Kunden, der Angebote mehrerer Banken vergleichen möchte, ist es überhaupt nicht notwendig zu wissen, wie der Effektivzins berechnet wird. Es genügt ihm, die jeweils fälligen Zahlungen für die Kaution mit Kapitalisierung in Rubel zu berechnen.

Wir haben zuvor ausführlich besprochen, wie Einlagenerträge unter Hinzurechnung von Zinsen berechnet werden, und haben die entsprechenden Formeln angegeben. Sie können diese in den Artikeln „Berechnung von Einlagen mit monatlicher Kapitalisierung“ und „Berechnung der Zinsen auf Einlagen“ einsehen.

Was versteht man unter einem effektiven Tarif: Werbemethoden der Banken

In der Werbung bedeutet der Effektivzins nicht immer den tatsächlichen Zins, den der Kunde erhält. Bei „Leiter“-Einlagen kann der Zinssatz beispielsweise im Laufe der Zeit sinken/steigen, und die Bank schreibt in den Programmbedingungen den höchsten Zinssatz in Großbuchstaben vor.

Beispielsweise fallen bei einer gestaffelten dreijährigen Renteneinlage der SKB Bank im ersten, zweiten und dritten Jahr der Laufzeit der Einlagenvereinbarung Erträge in Höhe von 5,5 %, 3,5 % und 2,5 % an. Der tatsächliche Zinssatz beträgt 3,85 %, das Finanzinstitut gibt in der Werbung auf der Website jedoch immer noch „5,5 %“ an.

Wie hoch ist der Effektivzins: Berechnungsformel

Um den Effektivzinssatz zu ermitteln, müssen Sie den Nominalzins der Einlage sowie deren Parameter kennen. Die Berechnungen berücksichtigen die Häufigkeit, mit der Erträge kapitalisiert werden.
Die Formel zur Berechnung des Effektivzinses einer Einlage lautet wie folgt:
P1 = ((1 + P/100/N/)N*m – 1),
Wo:
P – Einlagensatz
N – Anzahl der Kapitalisierungsperioden pro Jahr (bei monatlicher Durchführung ist N=12; vierteljährlich – N ist 4)
m – die Anzahl der Periodenwiederholungen (für einen Beitrag für ein Jahr m=1, für zwei Jahre m=2 usw.).
Somit wird der reale Effektivzinssatz für ein Jahr auf eine Einlage, die mit 7 % eröffnet wird und einmal im Monat Erträge kapitalisiert, nach folgender Formel berechnet:
P1 = ((1 + 7/100/12/)12*1 – 1) = 7,228 % pro Jahr.

Finden Sie den tatsächlichen Zinssatz für eine Einlage: Rechner

Ohne die oben besprochene Formel (Methode) kann der Effektivzins nicht berechnet werden. Für Kunden, die herausfinden möchten, wie stark sich Nominal- und Effektivzins unterscheiden, hilft der Rechner auf der Website der Bank nicht weiter. Ein Finanzinstitut kann jedoch unabhängig die vorberechnete Rendite der Jahreseinlage unter Berücksichtigung der Kapitalisierung angeben.

Einige Webressourcen bieten komplexe Online-Rechner an, mit denen sich der effektive Zinssatz für eine Einlage unter Berücksichtigung der Wiederauffüllung in wenigen Minuten berechnen lässt.

Nachdem die Zentralbank der Russischen Föderation Geschäftsbanken verpflichtet hatte, den Effektivzinssatz (EPR) für Kredite offenzulegen, ist dieser Satz fest in den Wortschatz unserer Landsleute eingedrungen. Mittlerweile wissen nur wenige von ihnen, was es ist. Dieser Artikel soll diese lästige Wissenslücke schließen und eine der Methoden zur Berechnung des EPS aufzeigen.

Tatsächlich ist die Bedeutung des Effektivzinssatzes ganz einfach: Er soll die tatsächlichen Kosten des Kredits aus Sicht des Kreditnehmers widerspiegeln, d auf Zahlungen für das Darlehen selbst). Solche Nebenzahlungen sind beispielsweise die berüchtigten „versteckten“ Bankprovisionen – Provisionen für die Kontoeröffnung und -führung, für die Bargeldannahme an der Kasse usw. Ein weiteres Beispiel: Wenn Sie einen Autokredit abschließen, verpflichtet Sie die Bank, das gekaufte Auto über die gesamte Kreditlaufzeit zu versichern. In diesem Fall ist die Versicherung für Sie eine obligatorische Nebenzahlung (allerdings nicht an die Bank selbst, sondern an die Versicherungsgesellschaft).

Interessanterweise hat die Zentralbank, die Geschäftsbanken verpflichtet hatte, den effektiven Zinssatz für Kredite offenzulegen und sogar eine Formel für dessen Berechnung bereitzustellen, nicht angegeben, welche konkreten Zahlungen in diese Berechnung einbezogen werden sollten. Dies hat zur Folge, dass verschiedene Banken unterschiedliche Standpunkte zu diesem Thema haben: Viele beziehen beispielsweise Versicherungsleistungen nicht in die Berechnung ein.

Der korrekteste und fairste Ansatz besteht jedoch darin, dass in die Berechnung des Effektivzinssatzes alle Zahlungen einbezogen werden, die für den Erhalt eines bestimmten Kredits erforderlich sind. Insbesondere alle obligatorischen Versicherungsleistungen.

Nachdem wir dieses Problem verstanden haben, können wir nun eine strenge Definition des Effektivzinssatzes geben.

Effektiver Zinssatz- Dies ist ein Zinseszinssatz für einen Kredit, der auf der Annahme berechnet wird, dass alle für den Erhalt eines bestimmten Kredits erforderlichen Zahlungen in dessen Rückzahlung fließen.

Das heißt, wenn infolge der Aufnahme eines Darlehens S 0 Der Kreditnehmer ist gezwungen, Zahlungen zu leisten R 0 , R 1 , R 2 , ..., R N zu bestimmten Zeitpunkten T 0 = 0,T 1 , T 2 , ..., T N entsprechend (dazu zählen sowohl Zahlungen für den Kredit selbst als auch Nebenprovisionen, Versicherungszahlungen etc.), dann der Effektivzinssatz ich ergibt sich aus der Relation

Wenn alle Zahlungen des Kreditnehmers, möglicherweise mit Ausnahme der allerersten, gleich sind ( R 1 = R 2 = ... = Rn = R), dann ist gemäß der Formel zur Berechnung der Summe einer endlichen geometrischen Progression das Verhältnis zur Bestimmung des Effektivzinses wie folgt:

.

Leider ist es selbst in einem so relativ einfachen Fall nicht möglich, den genauen Wert des Effektivzinssatzes zu ermitteln, sodass Sie ihn auswählen müssen (am besten mit einer speziellen numerischen Methode). Wie genau – das wird weiter besprochen.

Beispiel.

Für einen Kredit mit folgenden Konditionen:

• Kreditlaufzeit - 3 Jahre;
• Zinssatz (wir werden es bezeichnen J) – 18 % pro Jahr;
• Darlehensrückzahlungsplan – gleiche monatliche (Annuitäten-)Zahlungen;
• Provision für die Vermittlung eines Darlehens – 1 % seines Betrags;
• monatliche Gebühr für die Führung eines Kreditkontos - 0,1 % des Kreditbetrags

der effektive Zinssatz beträgt 22,8 %. Um dies zu überprüfen, ermitteln wir die Werte aller in Formel (3) vorhandenen Variablen:

Einsetzen dieser Werte in Formel (3) nach Reduzierung um S 0 sind wir leicht von der Gültigkeit der Gleichheit überzeugt (wenn wir natürlich den Rundungsfehler vernachlässigen):

.

Allgemeine Methode zur Berechnung des EPR

Wir haben also bereits festgestellt, dass die Höhe des Effektivzinssatzes selbst für relativ einfache Kreditgeschäfte mit keiner Formel ermittelt werden kann. Die sogenannte numerische Methoden, die es ermöglichen, den Näherungswert der gesuchten Größe in endlich vielen Schritten mit der erforderlichen Genauigkeit zu berechnen.

Die allgemeine Methode zur Approximation des Effektivzinssatzes, die wir im Folgenden besprechen werden, kann auf jedes Darlehen angewendet werden, für das in regelmäßigen Abständen Zahlungen geleistet werden. Es basiert auf Zahlen Newtons Methode, dessen Kern im Allgemeinen wie folgt ist.

Nehmen wir an, wir müssen eine Lösung für die Gleichung finden F(X) = 0, wo F(X) ist eine differenzierbare Funktion. Dann ist unter bestimmten Bedingungen die Zahlenfolge ( X (k) ), wobei der allererste Wert X(0) wird unabhängig ausgewählt und jedes weitere wird gemäß der Formel gefunden

,

konvergiert zu einer exakten Lösung dieser Gleichung. Nun spielt es für uns keine Rolle, was diese Bedingungen sind; wenn gewünscht, können Informationen über die Grenzen der Newton-Methode leicht gefunden werden.

Sehen wir uns nun an, wie man mit dieser Methode den Effektivzins berechnet.

Lassen Sie uns eine neue Menge einführen vτ = (1 + ich) -τ , was heißt Abzinsungsfaktor für den Zeitraum τ. Mit ihrer Hilfe lässt sich Formel (2), die eine allgemeine Beziehung zur Ermittlung des Effektivzinssatzes darstellt, wie folgt umschreiben:

.

Das Finden der Wurzel dieser Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Finden der Wurzel der Funktion

.

Diese Funktion hat nur eine positive Wurzel (wir sind nur an positiven Wurzeln interessiert) und sie liegt im Intervall (0, 1). Diese Wurzel kann mit der Newton-Methode leicht ermittelt werden, indem zunächst die Ableitung der Funktion berechnet wird F(X):

.

X(0) = 1, mit Formel (4) erhalten wir eine Zahlenfolge X (k) konvergiert zum exakten Wert vτ. Der ungefähre Wert des gewünschten Effektivzinssatzes ergibt sich aus folgender Beziehung:

(Es wird davon ausgegangen, dass wir die Berechnungen bei Schrittnummer abgeschlossen haben N).

Beispiel

Lassen Sie uns den effektiven Zinssatz für einen Kredit dieser Größenordnung ermitteln S 0 = 1000 britische Pfund Sterling, ausgegeben für ein Jahr zu einem einfachen Zinssatz J= 20 %. Zur Rückzahlung des Kredits hat der Kreditnehmer folgende Teilzahlungen geleistet:

• R 1 = 600 £ in 3 Monaten ( T 1 = ¼) nach Beginn der Transaktion;
• R 2 = 310 £ nach 9 Monaten ( T 2 = ¾) nach Beginn der Transaktion;
• R 3 = 194,25 £ pro Jahr ( T 3 = 1) nach Beginn der Transaktion.

Für den Zeitraum τ wählen wir ein Viertel (τ = ¼). Gemäß der oben beschriebenen Methode führen wir eine Hilfsfunktion ein

F(X) = 600 X + 310 X 3 + 194,25 X 4 - 1000

und finde seine Ableitung:

F(X) = 600 + 930 X 2 + 777 X 3 .

Wählen Sie nun als erste Näherung X(0) = 1, mit Formel (4) konstruieren wir eine Folge von Näherungswerten des Abzinsungsfaktors vτ und Effektivzins ich:

k	X (k)	ich
0	1	ich ≈ 0
1	0,95481144343303	ich ≈ 0,20317704736717
2	0,95284386714354	ich ≈ 0,21314588059674
3	0,95284030323558	ich ≈ 0,2131640308135
4	0,95284030322392	ich ≈ 0,21316403087292
5	0,95284030322392	ich ≈ 0,21316403087292

Bereits im fünften Schritt führte die Berechnung zum gleichen Ergebnis wie im vorherigen, und das mit einer Genauigkeit, die Sie wahrscheinlich nie brauchen werden. Das Ergebnis lag um mehr als 1,3 % über dem angegebenen (Nominal-)Zinssatz des Darlehens, obwohl keine versteckten Gebühren oder sonstige Nachzahlungen anfielen.

Kommentar. Der beste Weg, den Effektivzins schnell zu berechnen (ohne einen speziellen Finanzrechner oder ein Computerprogramm zur Hand zu haben), ist die Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms. Im Online-Tabelleneditor von Google sieht die gesamte Berechnung beispielsweise etwa so aus:

Reis. Berechnung des Effektivzinssatzes mit einem Tabelleneditor

Bitte beachten Sie folgende Punkte:

1. Im Tabelleneditor ist keine manuelle Berechnung der Koeffizienten für Potenzen erforderlich X für die Ableitung – sie können mithilfe der Formel ermittelt werden, wie in der ersten Abbildung dargestellt.
2. Mit der SERIESUM-Funktion (zweite Abbildung) können Sie Werte einfach als Funktion selbst berechnen F(X) und seine Ableitung.

Beispiel

Schauen wir uns nun ein komplexeres, aber relevanteres Beispiel an.

Ein Darlehen in Höhe von 24.000 Euro mit einer Laufzeit von zwei Jahren zu 12 % pro Jahr wird in monatlichen Raten nach einem differenzierten Schema zurückgezahlt. Die Gebühr für die Kreditvermittlung beträgt 1 % der Kreditsumme. Darüber hinaus wird dem Kreditnehmer monatlich eine Gebühr für die Führung eines Kreditkontos in Höhe von 0,1 % der Kreditsumme berechnet. Wir müssen den effektiven Zinssatz für dieses Darlehen ermitteln.

Lassen Sie uns zunächst einen Rückzahlungsplan für den Kredit erstellen (ohne Berücksichtigung der Zahlungsstruktur). Die Kreditrückzahlungen bilden eine arithmetische Folge mit der Anfangslaufzeit

A 1 = ( + 0,12 × ) × 24.000 = 1240 Euro

und der Unterschied

- (0,12 × × 24.000) × = - 10 Euro.

Darüber hinaus wurde der Kreditnehmer bei Erhalt des Darlehens zur Zahlung von 0,01 × 24.000 = 240 Euro gezwungen und ihm wurde jeden Monat eine Gebühr von 0,001 × 24.000 = 24 Euro in Rechnung gestellt. Das bedeutet, dass der Kreditzahlungsplan wie folgt aussieht:

Reis. Kreditzahlungsplan

Spaltenwerte“ mit Provision, Rk", mit Ausnahme des allerersten (mit Index 0), stimmen mit den Koeffizienten der Potenzen überein X y-Funktion F(X), die wir in den Berechnungen verwenden werden. Um den ersten Koeffizienten (bei Null Grad) zu erhalten X) ab der ersten Zahlung erforderlich R 0 = 240 Subtrahieren Sie den Kreditbetrag (Formel in der oberen linken Ecke):

Reis. Ermitteln der Koeffizienten der Funktion f(x)

Koeffizienten bei Grad X an der Ableitung F"(X) werden nach dem uns bereits bekannten Prinzip gefunden:

Reis. Ermitteln der Koeffizienten der Ableitung f"(x)

Jetzt können wir endlich die Newton-Methode anwenden, um den monatlichen Abzinsungsfaktor zu ermitteln (Formel in der oberen linken Ecke):

Reis. Ermittlung des monatlichen Rabattfaktors

Parallel zur Berechnung des monatlichen Abzinsungsfaktors ermitteln wir den Effektivzins ich:

Reis. Ermittlung des Effektivzinssatzes

Wie im Beispiel im vorherigen Absatz führte uns Newtons Methode in nur fünf Berechnungen zur endgültigen Antwort: Der effektive Zinssatz für das betreffende Darlehen beträgt etwa 16,38 % und liegt damit 4,38 % über dem Nominalzins.

Berechnung des EPS für eine Rente

Die oben besprochene Methode ist bei richtiger Anwendung recht praktisch. Doch in bestimmten Fällen, nämlich bei der Tilgung eines Annuitätendarlehens, lässt sich der effektive Zinssatz noch schneller und einfacher ermitteln. Tatsächlich ist der Hauptvorteil der Methode, den wir als nächstes betrachten werden, ihre größere Kompaktheit.

Schreiben wir Formel (3) – die Beziehung zur Ermittlung des Effektivzinssatzes, der bei der Rückzahlung des Darlehens mit Annuitätenzahlungen gilt – unter Verwendung des uns bereits bekannten Abzinsungsfaktors um vτ = (1 + ich) -τ :

Um die Wurzel der Gleichung (6) zu finden, können wir die uns bereits bekannte Newton-Methode verwenden. Dazu führen wir die Funktion ein

und finde seine Ableitung:

.

Nun, wenn wir als erste Näherung wählen

,

Dann können Sie mit Formel (4) eine Zahlenfolge erhalten ( X (k)), nähert sich dem genauen Wert des Abzinsungsfaktors v τ .

Beispiel

Lassen Sie uns den effektiven Zinssatz für das Darlehen aus dem ersten Beispiel ermitteln. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Bedingungen wie folgt waren:

• Kreditlaufzeit - 3 Jahre;
• Zinsrate J— 18 % pro Jahr;
• Darlehensrückzahlungsplan – gleiche monatliche (Annuitäten-)Zahlungen;
• Provision für die Vermittlung eines Darlehens – 1 % seines Betrags;
• Die monatliche Gebühr für die Führung eines Kreditkontos beträgt 0,1 % der Kreditsumme.

Wir werden den effektiven Zinssatz für dieses Darlehen weiterhin mit einem praktischen Tabellenkalkulationseditor berechnen. So sehen die Ausgangsbedingungen ungefähr aus (eine manuelle Berechnung der Zahlungsbeträge ist nicht erforderlich – Sie können die notwendigen Formeln direkt in den Tabellenzellen verwenden):

Reis. Eingabe der Anfangsbedingungen

Der nächste Schritt besteht darin, die Koeffizienten der Funktion zu berechnen F(X):

Reis. Berechnung von Funktionskoeffizienten F(X)

Der erste Koeffizient ist ebenfalls eine erste Näherung X(0) . Wir übertragen es in die entsprechende Zelle und berechnen mit der Newton-Methode mehrere Näherungen des monatlichen Abzinsungsfaktors (achten Sie auf die Formel in der oberen linken Ecke):

Reis. Berechnung des monatlichen Rabattfaktors

Gleichzeitig berechnen wir Näherungswerte des Effektivzinssatzes ich :

Reis. Berechnung des Effektivzinssatzes

Wie Sie sehen, haben wir nach acht Berechnungen erneut bestätigt, dass der effektive Zinssatz für das betreffende Darlehen etwa 22,8 % beträgt, also 4,8 % mehr als der Nominalzins.

Kommentar. Wenn Sie ein Formular ausfüllen, das dem in den Bildern gezeigten ähnelt, können Sie anschließend sofort den effektiven Zinssatz für jedes Darlehen ermitteln, das gemäß der Rentenversicherung zurückgezahlt wird, indem Sie einfach die Ausgangsbedingungen ändern.

Abschließend möchte ich noch eine wichtige allgemeine Bemerkung machen. Die von uns betrachtete Methode konvergiert garantiert (d. h. sie führt zu den gewünschten Werten des Abzinsungsfaktors und des Effektivzinssatzes), wenn wir den Wert (7) als Anfangswert wählen. Wenn wir eine andere anfängliche Näherung verwenden, kann die Methode konvergieren zweite Wurzel Funktionen F(X) – eins (der entsprechende Wert des Effektivzinssatzes ist Null). In dem von uns betrachteten Beispiel würde dies beispielsweise passieren, wenn wir als erste Näherung eine Zahl größer als 0,992 nehmen würden.

Und noch eine allgemeine Bemerkung zur Wahl der numerischen Methode. Es gibt eine Vielzahl numerischer Methoden, von denen viele durchaus zur Lösung unserer Probleme eingesetzt werden könnten. Die Newton-Methode wurde gewählt, weil sie meiner Meinung nach das optimale Gleichgewicht zwischen der Komplexität der Anwendung und der Konvergenzgeschwindigkeit aufweist (Sie erinnern sich, dass wir in keinem der Beispiele mehr als acht Berechnungen durchgeführt haben). Es gibt schnellere, aber schwieriger zu verstehende Methoden. Es gibt einfachere Methoden mit weniger Einschränkungen und garantierter Konvergenz, die jedoch eine große Anzahl von Berechnungen erfordern. Wenn wir zum Beispiel im letzten Beispiel das Bekannte verwendet haben einfache Iterationsmethode Dann müssten wir etwa hundert Berechnungen durchführen, um die erforderliche Genauigkeit zu erreichen. Es ist klar, dass diese Berechnungen vom Programm durchgeführt werden, aber dennoch.